中考数学专题复习38几何最值之胡不归问题(全国通用解析版)

问题分析
从前有个少年外出求学.某天不幸得知老父亲病危的消息.便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”.虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地.但他义无反顾踏上归途.当赶到家时.老人刚咽了气.小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说.老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？
看到这里很多人都会有一个疑问.少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家.那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 模型展示：
如图.一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1.在直线MN 上运动的速度为V 2.且V 1<V 2.A 、B 为定点.点C 在直线MN 上.确定点C 的位置使
21
AC BC
V V +
的值最小．
121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭
.记12V k V =. 即求BC +kAC 的最小值．
构造射线AD 使得sin∠DAN =k .CH /AC =k .CH =kAC ．
V 1
V 2
V 1
驿道
砂石地
A
B
C
V 2
V 1
M
N
C
B
A
几何最值之胡不归问题
方法技巧
将问题转化为求BC +CH 最小值.过B 点作BH ∠AD 交MN 于点C .交AD 于H 点.此时BC +CH 取到最小值.即BC +kAC 最小．
最值解法：在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中.关键是构造与kPB 相等的线段.将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．
【例1】如图.平行四边形ABCD 中.∠DAB =60°.AB =6.BC =2.P 为边CD 上的一动点.则
3
2
PB PD
的最小值等于________．
【解析】已知∠A =60°.且sin60°=
3
2
.故延长AD .作PH ∠AD 延长线于H 点. A
B
C
D
P
M
H
P D
C
B
A
A
B
C
D
P
H M 题型精讲
即可得3PH =
.∠3
PB =PB +PH ． 当B 、P 、H 三点共线时.可得PB +PH 取到最小值.即BH 的长.解直角∠ABH 即可得BH 长．
【例2】（2021·重庆中考真题）在等边ABC 中.6AB =.BD AC ⊥ .垂足为D .点E 为AB 边上一点.点F 为直线BD 上一点.连接EF ．
图1 图2
图3
（1）将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段EG .连接FG ．
∠如图1.当点E 与点B 重合.且GF 的延长线过点C 时.连接DG .求线段DG 的长； ∠如图2.点E 不与点A .B 重合.GF 的延长线交BC 边于点H .连接EH .求证：
3BE BH BF +=；
（2）如图3.当点E 为AB 中点时.点M 为BE 中点.点N 在边AC 上.且2DN NC =.点F 从BD 中点Q 沿射线QD 运动.将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP .连接FP .当1
2
NP MP +
最小时.直接写出DPN △的面积． 【答案】（1）21；∠见解析；（243
【分析】
（1）
∠连接AG .根据题意得出∠ABC 和∠GEF 均为等边三角形.从而可证明∠GBC ∠∠GAC .进一步求出AD =3.AG =BG =23然后利用勾股定理求解即可；∠以点F 为圆心.FB 的长
为半径画弧.与BH 的延长线交于点K .连接KF .先证明出∠BFK 是顶角为120°的等腰三角形.然后推出∠FEB ∠∠FHK .从而得出结论即可；
（2）利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形.构造出1
2
NP MP NP PJ +
=+.当N 、P 、J 三点共线的时候满足条件.然后利用相似三角形的判定与性质分别计算出PN 与DN 的长度.即可得出结论． 【详解】
（1）解：∠如图所示.连接AG .
由题意可知.∠ABC 和∠GEF 均为等边三角形. ∠∠GFB =60°. ∠BD ∠AC . ∠∠FBC =30°.
∠∠FCB =30°.∠ACG =30°. ∠AC =BC .GC =GC . ∠∠GBC ∠∠GAC （SAS ）. ∠∠GAC =∠GBC =90°.AG =BG . ∠AB =6.
∠AD =3.AG =BG =3 ∠在Rt ∠ADG 中.(
)
2
22223321DG AD AG =+=
+=
∠21DG =
∠证明：以点F 为圆心.FB 的长为半径画弧.与BH 的延长线交于点K .连接KF .如图. ∠∠ABC 和∠GEF 均为等边三角形. ∠∠ABC =60°.∠EFH =120°. ∠∠BEF +∠BHF =180°. ∠∠BHF +∠KHF =180°. ∠∠BEF =∠KHF .
由辅助线作法可知.FB =FK .则∠K =∠FBE . ∠BD 是等边∠ABC 的高. ∠∠K =∠DBC =∠DBA =30°. ∠∠BFK =120°. 在∠FEB 与∠FHK 中.
FEB FHK FBE K
FB FK ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∠∠FEB ∠∠FHK （AAS ）. ∠BE =KH .
∠BE +BH =KH +BH =BK . ∠FB =FK .∠BFK =120°. ∠BK 3BF .
即：3BE BH BF +=；
（2）如图1所示.以MP 为边构造∠PMJ =30°.∠PJM =90°.则PJ =1
2
MP . ∠求1
2
NP MP +
的最小值.即为求NP PJ +的最小值.
如图2所示.当运动至N、P、J三点共线时.满足NP PJ
+最小.
此时.连接EQ.则根据题意可得EQ∠AD.且EQ=1
2 AD.
∠∠MEQ=∠A=60°.∠EQF=90°.∠∠PEF=60°.
∠∠MEP=∠QEF.
由题意.EF=EP.
∠∠MEP∠∠QEF（SAS）.
∠∠EMP=∠EQF=90°.
又∠∠PMJ=30°.
∠∠BMJ=60°.
∠MJ∠AC.
∠∠PMJ=∠DNP=90°.
∠∠BDC=90°.
∠四边形ODNJ为矩形.NJ=OD.由题.AD=3.BD=33
∠MJ∠AC.
∠∠BMO∠∠BAD.
∠
1
4 BM BO MO
BA BD AD
===.
∠OD=3
4
BD93OM=
3
4
AD=
9
4
.
设PJ=x.则MJ3.OJ3-9 4 .
由题意可知.DN =2
3
CD =2. 9
324x -
=. 解得：113
x =
. 即：PJ =
113
12
. ∠9311343
4123
PN =-=
. ∠114343
22233
DPN
S
DN PN =
=⨯⨯=
． 【例3】已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A .(3,0)B 两点.与y 轴交于点C .
=3OC ．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）过点A 作AM BC ⊥.垂足为M .求证：四边形ADBM 为正方形；
（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点.当PBC ∆面积最大时.求点P 的坐标； （4）若点Q 为线段OC 上的一动点.问：1
2
AQ QC +是否存在最小值？若存在.求岀这个最小值；若不存在.请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为：2
43y x x =-+.顶点(2,1)D -；(2)证明见解析；(3)点
33,24P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；(4)存在.12AQ QC +的最小值为
2
33+． 【详解】
(1)函数的表达式为：()()()
2
y a x 1x 3a x 4x 3=--=-+.
即：3a=3.解得：a=1.
故抛物线的表达式为：2y x 4x 3=-+. 则顶点D(2,1)-； (2)
OB OC 3==.OBC OCB 45∠∠︒∴==.
∠A(1,0).B(3,0).∠ OB=3.OA=1. ∠AB=2.
∠AM MB ABsin452︒=== 又∠D(2.-1). ()()
22
21102-+--=
∠AM=MB=AD=BD. ∠四边形ADBM 为菱形. 又∠AMB 90∠︒=.
∴菱形ADBM 为正方形；
(3)设直线BC 的解析式为y=mx+n.
将点B 、C 的坐标代入得：30
3m n n +=⎧⎨
=⎩
. 解得：1
3
m n =-⎧⎨
=⎩.
所以直线BC 的表达式为：y=-x+3. 过点P 作y 轴的平行线交BC 于点N.
设点()
2
P x,x 4x 3-+.则点N (x,x+3)-.
则()()
22ΔPBC 133
S PN OB x 3x 4x 3x 3x 222
=
⨯=-+-+-=--. 302-
<.故ΔPBC S 有最大值.此时3x 2=. 故点33P ,2
4⎛⎫- ⎪⎝⎭
； (4)存在.理由：
如图.过点C 作与y 轴夹角为30︒的直线CF 交x 轴于点F.过点A 作AH CF ⊥.垂足为H.交y 轴于点Q. 此时1HQ CQ 2
=
.
则
1
AQ QC
2
+最小值=AQ+HQ=AH.
在Rt∠COF中.∠COF=90°.∠FOC=30°.OC=3.tan∠FCO=FO CO
.
3.
∠F(3
利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：y3x3
=+…∠.∠∠COF=90°.∠FOC=30°.
∠∠CFO=90°-30°=60°.
∠∠AHF=90°.
∠∠FAH=90°-60°=30°.
3
∠Q(0,3 ).
利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：
33 y x
=+
联立∠∠并解得：
133 x
4
-
=.
故点
13333
H
-+
⎝⎭
.而点A(1,0).
则
23
3+
=
AH
.
即
1
AQ QC
2
+的最小值为
2
3
3+．
1．如图.△ABC中.AB＝AC＝10.tanA＝2.BE∠AC于点E.D是线段BE上的一个动点.则
5
5
CD BD
的最小值是______.
【答案】B
【详解】
如图.作DH∠AB于H.CM∠AB于M．提分作业
∠BE∠AC. ∠∠AEB=90°. ∠tanA=
BE
AE
=2.设AE=a.BE=2a. 则有：100=a 2+4a 2. ∠a 2=20.
5-25. 5
∠AB=AC.BE∠AC.CM∠AB.
5 ∠∠DBH=∠ABE.∠BHD=∠BEA. ∠5
sin DH AE DBH BD AB ∠===
. 5
5
BD=CD+DH. ∠CD+DH≥CM. 5
5 5
BD 的最小值为5 故选B ．
2．在平面直角坐标系中.将二次函数()2
0y ax a =>的图象向右平移1个单位.再向下平
移2个单位.得到如图所示的抛物线.该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧).
1OA =.经过点A 的一次函数()0y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C .且与抛物
线的另一个交点为D .ABD ∆的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方.求ACE ∆面积的最大值.并求出此时点E 的坐标；
（3）若点P 为x 轴上任意一点.在(2)的结论下.求3
5
PE PA +的最小值． 【答案】(1)21322y x x =--；11
22y x =+；(2)ACE ∆的面积最大值是2516
.此时E 点坐标为3
15,28⎛⎫- ⎪
⎝⎭；(3)3
5
PE PA +的最小值是3. 【详解】
解：(1)将二次函数()2
0y ax a =>的图象向右平移1个单位.再向下平移2个单位.得到
的抛物线解析式为()2
12y a x =--. ∠1OA =.∠点A 的坐标为()1,0-. 代入抛物线的解析式得.420a -=.∠1
2
a =. ∠抛物线的解析式为()2
1122y x =
--.即21322
y x x =--． 令0y =.解得11x =-.23x =.∠()3,0B . ∠4AB OA OB =+=. ∠ABD ∆的面积为5.∠152ABD D S AB y ∆=
⋅=.∠5
2
D y =. 代入抛物线解析式得.2513222x x =--.解得1
2x =-.24x =.∠54,2D ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 设直线AD 的解析式为y kx b =+.
∠5420k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩.解得：12
12k b ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
. ∠直线AD 的解析式为1122
y x =+． (2)过点E 作EM y 轴交AD 于M .如图.设213,22E a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.则1
1,2
2M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.
∠22111313
2222222
EM a a a a a =
+-++=-++. ∠112ACE AME CME S S S EM ∆∆∆=-=
⨯⋅()22113121342224a a a a ⎛⎫
=-++⨯=--- ⎪⎝⎭
.
2
1325
4216
a ⎛⎫=--+
⎪⎝⎭. ∠当32a =
时.ACE ∆的面积有最大值.最大值是2516.此时E 点坐标为315,2
8⎛⎫
- ⎪⎝⎭．
(3)作E 关于x 轴的对称点F .连接EF 交x 轴于点G .过点F 作FH AE ⊥于点H .交x 轴于点P . ∠3
15,28E ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
.1OA =. ∠35122AG =+=.158
EG =.∠
5
4
21538
AG EG ==. ∠90AGE AHP ∠=∠=. ∠3sin 5PH EG EAG AP AE ∠=
==.∠3
5
PH AP =. ∠E 、F 关于x 轴对称.∠PE PF =.
∠3
5
PE AP FP HP FH +=+=.此时FH 最小. ∠1515
284
EF =
⨯=.AEG HEF ∠=∠. ∠4
sin sin 5
AG FH AEG HEF AE EF ∠=∠===. ∠415
354
FH =⨯=． ∠3
5
PE PA +
的最小值是3．
3．已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数.0b >）经过点(1,0)A -.点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．
（∠）当2b =时.求抛物线的顶点坐标；
（∠）点(,)D D b y 在抛物线上.当AM AD =.5m =时.求b 的值； （∠）点1(,)2Q Q b y +
在抛物线上.22AM QM +332.求b 的值． 【答案】（∠）(1,4)-；（∠）321b =-；（∠）4b =. 【详解】
解：（∠）∠抛物线2
y x bx c =-+经过点(1,0)A -.
∠10b c ++=．即1c b =--．
当2b =时.22
23(1)4y x x x =--=--.
∠抛物线的顶点坐标为(1,4)-．
（∠）由（∠）知.抛物线的解析式为21y x bx b =---． ∠点(,)D D b y 在抛物线21y x bx b =---上.
∠2
11D y b b b b b =-⋅--=--．
由0b >.得02
b
b >
>.10b --<. ∠点(,1)D b b --在第四象限.且在抛物线对称轴2
b
x =的右侧． 如图.过点D 作DE x ⊥轴.垂足为E .则点(,0)E b ． ∠1AE b =+.1DE b =+．得AE DE =． ∠在Rt ADE ∆中.45ADE DAE ︒∠=∠=． ∠2AD AE =． 由已知AM AD =.5m =. ∠5(1)2(1)b --=+． ∠321b =．
（∠）∠点1
(,)2
Q Q b y +
在抛物线21y x bx b =---上. ∠2113()()12224
Q b y b b b b =+-+--=--． 可知点13
(,)224
b Q b +
--在第四象限.且在直线x b =的右侧． 2
222(
)QM AM QM +=+.可取点(0,1)N . 如图.过点Q 作直线AN 的垂线.垂足为G .QG 与x 轴相交于点M . 有45GAM ︒∠=.2
AM GM =. 则此时点M 满足题意． 过点Q 作QH
x ⊥轴于点H .则点1(,0)2
H b +．
在Rt MQH ∆中.可知45QMH MQH ︒∠=∠=．
∠QH MH =.2QM MH =． ∠点(,0)M m . ∠310()()242b b m --
-=+-．解得124
b m =-． 332
224
AM QM +=
. 111332
2[()(1)]22[()()]24
2
2
4
4
b b b ---++--=． ∠4b =．
4．如图.已知抛物线y x ＋2）（x ﹣4）（k 为常数.且k ＞0）与x 轴从左至右依次
交于A.B 两点.与y 轴交于点C.经过点B 的直线y x ＋b 与抛物线的另一交点为
D ．
（1）若点D 的横坐标为﹣5.求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P.使得以A.B.P 为顶点的三角形与∠ABC 相似.求k 的值；
（3）在（1）的条件下.设F 为线段BD 上一点（不含端点）.连接AF.一动点M 从点A 出发.沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F.再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止.当点F 的坐标是多少时.点M 在整个运动过程中用时最少？
【答案】（1）；（2）或；（3）当点F 坐标为（﹣）时.点M在整个运动过程中用时最少.
【解析】（1）抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）.令y＝0.解得x＝﹣2或x＝4.∠A（﹣2.0）.B （4.0）．
∠直线经过点B（4.0）.∠×4＋b＝0.解得b＝.
∠直线BD解析式为：
当x＝﹣5时.y＝.∠D（﹣）．
∠点D（﹣）在抛物线y＝x＋2）（x﹣4）上.∠5＋2）（﹣5﹣4）＝.
∠．∠抛物线的函数表达式为：（x＋2）（x﹣4）．即
．
（2）由抛物线解析式.令x＝0.得y＝﹣k.∠C（0.﹣k）.OC＝k．
因为点P在第一象限内的抛物线上.所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似.只可能是∠ABC∠∠APB或∠ABC∠∠PAB．
∠若∠ABC∠∠APB.则有∠BAC＝∠PAB.如答图2﹣1所示．
设P（x.y）.过点P作PN∠x轴于点N.则ON＝x.PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB.即：.
∠．∠P（＋k）.代入抛物线解析式y＝x＋2）（x﹣4）.
得x＋2）（x﹣4x＋k.整理得：x2﹣6x﹣16＝0.解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合.舍去）.
∠P（8.5k）．∠∠ABC∠∠APB.
∠..．
∠若∠ABC∠∠PAB.则有∠ABC＝∠PAB.如答图2﹣2所示．
设P（x.y）.过点P作PN∠x轴于点N.则ON＝x.PN＝y．
tan∠ABC＝tan∠PAB.即：.
∠．∠P（x.x＋）.代入抛物线解析式y（x＋2）（x﹣4）.
得x＋2）（x﹣4x.整理得：x2﹣4x﹣12＝0.
解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合.舍去）.∠P（6.2k）．
∠∠ABC∠∠PAB.
.∠.解得.
∠k＞0.∠.综上所述.或．
（3）作DK∠AB.AH∠DK.AH交直线BD于点F.
∠∠DBA＝30°.∠∠BDH＝30°.∠FH＝DF×sin30°.∠当且仅当AH∠DK时.AF＋FH 最小.
点M在整个运动中用时为：.∠l BD：.∠F X＝A X＝﹣2.∠F（﹣）.。