高等数学A3复习题
高等数学A复习资料及参考解答
C. x 1是 f ( x)的可去间断点 D. x 2是 f ( x)的第一类间断点
4. 为使 f ( x)
1 cos x x2 , x 0
在 x 0 处连续 ， a =（ A ）
a,
x0
1
A.
2
B. 2
C. 1
1
5. 取 x 为积分变量，定积分
ydy =（ C ）
0
D. 0
4
x
A.
(1
) dx
B.
(1 x) y
1 ex
x
x
利用常数变易法求解，其对应的齐次方程为：
(1 x)
y
y0
x
其通解为： y c ex x
常数变易，令 y u( x) ex ，代入到原方程得： u (x) 1 x
两边积分得： u(x) x c
故原方程的通解为： y x c ex x
13.设函数 f ( x) 有连续的导数， f (0) 0 且 f (0) b ，
0
0
8
3
8
V4
1 ydy
(1 y) 2
1
3
13
6 ． 设 函 数 f (x) 在 闭 区 间 [a, b] 上 连 续 ， 在 (a, b) 内 可 导 。 证 明 ： 在 ( a, b) 内 至 少 存 在 一 点
，使得
bf (b) af (a) [ f ( ) f ( )]( b a)
证明：构造辅助函数
dx 13． 3 2 x2 =
1
14． 2x 1dx = 2
1
2
arctan( x) c
6
3
13
2
三、 计算题 :
1. 已知函数 f ( x) 2x3 6 x2 a 在闭区间 [ 2,2] 上的最大值为 3，求 f ( x) 在 [ 2,2] 上的最小值 . 解： f (x) 6x2 12x
2023年考研《数学三》真题及答案【解析版】
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（）。
A ．f f不存在，存在y 0,1 x 0,1f f存在，不存在y 0,1 x 0,1f f，均存在 x 0,1 y 0,1f f，均不存在 x 0,1 y 0,1B ．C ．D ．1,x 0 22．函数f x 1 x的原函数为（）。
x 1 cos x ,x 0 ln 1 x 2x ,x 0A ．F xx 1 cos x sin x ,x 0 ln 1 x 2x 1,x 0B ．F xx 1 cos x sin x ,x 0 ln 1 x 2x ,x 0C ．F xx 1 sin x cos x ,x 0 ln 1 x 2x 1,x 0D ．F xx 1 sin x cos x ,x 03．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。
A ．a ＜0，b ＞0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＝0，b ＞0D ．a ＝0，b ＜0２０２３年考研《数学三》真题及答案【解析版】4．已知a n ＜b n （n ＝1，2，...），若级数 an 1n与bn 1n均收敛，则“级数an 1n绝对收敛”是“bn 1n绝对收敛”的（）。
A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件*5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则A E0B ＝（A ．A B *B *A *0B A * B ．B A * A *B *0A B * C ．B A * B *A *0A B * D ．A B * A *B *B A *。
）6．二次型f （x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（）。
广州大学2012-2013高等数学Ⅲ(A)解析版
广州大学2012-2013学年第一学期考试卷高等数学Ⅲ（A 卷）参考解答与评分标准一、判断题（每小题2分，共10分；对的“√”，错的“×”）1．（ √ ）有限个连续函数的复合函数是连续函数.2．（ × ）若()f x 在(),a b 内连续，则()f x 在(),a b 内有最大值.3．（ × ）若()f x 在[],a b 上不连续，则()f x 在[],a b 上不可积. 4．（ × ）若a 是()f x 的极小值点，则()0f a '=.5．（ √ ）()ln 13x +与tan x 是0x →时的同阶无穷小量.二、填空题（每空3分，共15分）1．0sin3lim2x x x →=（ 32 ）. 2．29991002(99sin 99)d x x x x x -++=⎰（ 0 ）.3．2lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ 2e - ）. 4．()0dsin d d x t e t tx=⎰（ sin xe x ）. 5．sin3lim 2x x x →+∞=（ 0 ）.三、求导数或微分（每小题6分，共18分）1．设()2ln 1y x x =++，求d y . 解：221(1)1y x x x x ''=++++------2分 221(1)11x x x x =++++------4分211x =+------5分211dy y dx dx x '==+------6分2．2sin ln 0yx x y -+=，求d d y x. 解：两边关于x 求导 22cos 0y y x yx x y''+-+=------4分 222cos 0yy x y x y x y ''+-+= 22cos 21dy y x y x y dx yx -'==+------6分3．设2(arccos )y x =，求y '. 解：2arccos (arccos )y x x '=⋅------2分 212arccos ()1()x x x '=-⋅-------4分 2arccos xx x =--------6分四、求极限（每小题6分，共12分）1．0lim xx x +→. 解：令x y x =，两边取对数得 ln ln y x x =------2分000ln lim ln lim ln lim 1x x x x y x x x+++→→→==0021lim lim()01x x x x x ++→→==-=-------5分000lim lim 1x x x y x e ++→→===------6分2．()lim 3x x x →+∞+-. 解：原式(3)(3)lim 3x x x x x x x→+∞+-++=++------2分 3lim 3x x x→+∞=++------4分 0=------6分五、求积分（每小题6分，共18分）1．21d 1x x-⎰. 解：211111()1(1)(1)211x x x x x==+--+-+------2分 21111()1211dx dx dx x x x=+--+⎰⎰⎰ 1[ln(1)ln(1)]2x x C =+--+------5分 11ln 21x C x+=+-------6分2．2204d x x -⎰.解：令2sin x t =，[0,]2t π∈，2cos dx tdt =------2分 22220044cos x dx tdt π-=⎰⎰------4分 202(1cos 2)t dt π=+⎰------5分[]202sin 2t t π=+π=------6分3．d x xe x -⎰.解：x xe dx -⎰x xde -=-⎰()x x xe e dx --=--⎰------3分()x x xe e d x --=---⎰------5分x x xe e C --=--+------6分六、证明题（6分）证明：函数()||2f x x =+在0x =处连续，但不可导. 证明：因为00lim ()lim 22(0)x x f x x f →→=+== 所以()f x 在0x =处连续------1分因为 00()(0)22(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→-+-'===-------3分00()(0)22(0)lim lim 10x x f x f x f x x---→→--+-'===--------5分 于是(0)(0)f f +-''≠，所以()f x 在0x =处不可导------6分七、应用题（每小题7分，共21分）1．某小车租赁公司有40部小车要出租，当租金定为每小时30元时，小车可全部租出去. 当租金每小时每增加1元时，就有一部小车租不出去. 试问租金定为多少时，可以获得最大收入？解：设小车每小时的租金为30x +元（0,1,2,x =），租出去的小车数为40x -部，公司每小时的收入为y . 于是(30)(40)y x x =+-212010x x =+-，------4分102y x '=-，令0y '=得5x =，稳定点为5x =.------6分由于函数只有一个稳定点5x =，依题意知：当租金为每小时35元时，公司可获得最大的收入.------7分2．求22y x x=-的单调区间与极值. 解：333414x y x x -+'=+=------1分 稳定点为34x =-，不可导点为0x =------3分3(,4)x ∈-∞-，0y '>，y 递增------4分3(4,0)x ∈-，0y '<，y 递减------5分(0,)x ∈+∞，0y '>，y 递增------6分 极大值2113333333223(4)4223224y ---=--=--=-⋅=-------7分3．求正弦曲线sin y x =与直线14x π=，32x π=，0y =所围成的平面图形的面积.解：324sin d sin d S x x x x ππππ=-⎰⎰------4分324(cos )cos x x ππππ=-+------5分 2(1)[0(1)]2=++--222=+------7分。
高等数学A三复习题(学生版)
A A 中必有一行元素（或一列）全为零 B A 中必有两行元素成比例 C A 中必有一行是其余各行的线性组合 D A 中任意一行是其余各行的线性组合 10、设 A 是 m × n 矩阵，B 是 n × m 矩阵，则（ ） A 当 m > n 时，必有行列式 AB ≠ 0 B 当 m > n 时，必有行列式 AB = 0 C 当 m < n 时，必有行列式 AB ≠ 0
⎛0 1 0 ⎞ ⎟ 23、设 A = ⎜ ⎜a 0 c ⎟， ⎜ b 0 1/ 2 ⎟ ⎝ ⎠
（1）a，b，c 满足什么条件时，r(A)=3； （2）选择 a，b，c 使得 A 为正交阵。 2 24、设方阵 A 满足 A + 2 A − 3E = O （1）问 A + 4 E 是否可逆？若可逆，求出其逆矩阵； （2）问 A + kE （其中 k 为整数）是否可逆？若可逆，求出其逆矩阵。
上述基下的坐标为 ___________________ 16、 设三维空间 V 上的两组基底： α1 , α 2 , α 3 和 β1 , β 2 , β3 ； 又 β1 = α1 + 2α 2 + α 3 , β 2 = α1 + α 2 , β3 = α1 ， V 中向量 ξ 在基 β1 , β 2 , β3 下的坐标为 (1, 2, 2)T ，则 ξ 在基 α1 , α 2 , α 3 下的坐标是 __________ 17、设 ξ1 , ξ 2 , ξ3 是 AX = 0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成（ ） A ξ1 , ξ 2 , ξ3 的一个等价向量组 B ξ1 , ξ 2 , ξ3 的一个等秩向量组 D ξ1 − ξ 2 , ξ 2 − ξ3 , ξ3 − ξ1 C ξ1 + ξ 2 , ξ 2 + ξ3 , ξ3 + ξ1 18、若 α1 = (1, −1, a, 4)T , α 2 = (−2,1,5, a − 7)T , α 3 = (a, 2, −10, −2)T 是齐次方程组 AX = 0 的基础解系， 则 a 的取值范围是（ ） a≠0 a ≠1 a ≠ −9 A B C a ≠ 1且a ≠ −9 D ） 19、设 A 为 m × n 矩阵，齐次线性方程组 AX = 0 仅有零解的充分条件是（ A A 的列向量组线性无关 B A 的列向量组线性相关 C A 的行向量组线性无关 D A 的行向量组线性相关
2016-2017 学年第二学期高等数学AII 期末试卷(试卷+A3排版+解析)
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0
13.
设由方程组
y + xyz
z+x =1
=
0
确定的隐函数
y
=
y(x)
及
z
=
z(x)，求
dy dx ,
dz dx
.
14.
设连续函数
f (x)
满足方程
f (x)
=
ˆ
3x
f
() t d t + e2x,
求
f (x).
¨(
0
3
)
(
)
15. 计算曲面积分 I = x2 − yz d y d z + y2 − zx d z d x + 2z d x d y, 其中 Σ
xOy ydx
平面上一条简单光滑的正向闭曲线，原点在其所围闭区域之外，则
=
【】
C x2 + 4y2
(A) 4π
(B) 0
(C) 2π
(D) π
6. 微分方程 xy′′ − y′ = 0 满足条件 y′(1) = 1, y(1) = 0.5 的解为
【】
(A) y = x2 + 1 44
(B) y = x2 2
1,
√ − ¨x
⩽
y
⩽
√x}，则正确的选x 项为
¨
【】
(A) f (y)g(x) d x d y = 0
(B) f (x)g(y) d x d y = 0
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0
高数A(三)期末考试答案整理安徽大学
0
⎜⎝ 0
0 4k 0
⎜ 4k
0⎞ ⎜
0
⎟ ⎟
QT
=
⎜ ⎜
0
6k ⎟⎠
⎜ ⎜⎜⎝ 0
0 2k + 6k
2 −2k + 6k
2
0⎟
−2k
+
6k
⎟ ⎟
2⎟
2k + 6k 2
⎟ ⎟⎟⎠
13、解：二次型的矩阵为
各阶顺序主子式为
⎛ 2 2 −2⎞
⎜ ⎜
2
a
−4
⎟ ⎟
⎜⎝ −2 −4 5 ⎟⎠
2 2 −2 | 2 |= 2 ， 2 2 = 2a − 4 ， 2 a −4 = 2(3a −10) ，
。
10、从一批零件中，抽取 9 个零件，测得其直径（单位：毫米）为： 19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.0，20.2，20.3
设零件直径服从正态分布 N (μ,σ 2 ) ，其中 μ 未知，σ = 0.21 （毫米）， Φ(1.96) = 0.975 ，
则这批零件平均直径 μ 的对应于置信度为 0.95 的置信区间为
⎛ 0 −1 1 ⎞
7、
⎜ ⎜⎜⎝
0 1
2 0
−01⎟⎟⎟⎠
8、30
9、9
10、（19.77，20.05）
三、计算题（本大题共 4 小题，其中第 11 题和第 13 题各 10 分，第 12 题 14 分，第 14 题 12 分，共 46 分）
11、解：将第一行的-1 倍加到其余各行，得
x1
a2
a3
80
20
四、证明题（本大题共 2 小题，每题 12 分，共 24 分）
宁波2019年数学(A3)高等职业技术教育招生考试模拟试卷-答案
宁波市2019年高等职业技术教育招生考试模拟试卷（3月）《数学》参考答案及评分标准一、选择题二、填空题（本大题共7小题，每题4分，满分28分）21.r；22．18-；23．(5,)(,3]+∞⋃-∞-24．12y x=±；25.12π；26．1024；27. 2 。
三、解答题(本大题共8小题，满分72分，评分时应根据解答过程分步计分)28．原式＝23(1lg3)lg32425++-+-+ -------------6分＝7 ---------------8分29. 解：由余弦定理2222cosc a b ab C=+-得：224a b ab+-=， -------------3分又△ABC∴1sin2ab C=整理得：4ab=， -------------6分解得2a b==。
------------8分30.（1）6，16，25，25，16，6；-----------2分（2）23452,4,7,11a a a a====，由此得到1(2)n na a n n+-=≥，---------4分由累加法得：2(1)(2)2nn na a+--=---------6分所以(1)(2)22n n n a +-=+ --------------------8分31解：由已知，可设圆M 的圆心坐标为(,0)a ，2a >-，半径为r ，得222(2)|24|3a r a r ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩， --------------------4分解得满足条件的一组解为12a r =-⎧⎨=⎩， -------------------6分所以圆M 的方程为22(1)4x y ++=. ------------------8分 32.解：（1）()sin(2)6πf x x =+所以()f x 的最小正周期为π． --------------------4分（2）因为[0,]2πx ∈，所以72[,]666πππx +∈． -------------------6分 当262ππx +=，即6πx =时，()f x 取得最大值1； 当7266ππx +=，即2πx =时，()f x 取得最小值12-． ------------------8分 33．解：(1)∵AD AB ⊥，PD AB ⊥∴PAD AB 平面⊥ -------------2分 又PAD PA 平面⊂ ∴AB AP ⊥又AB AD ⊥∴PAD ∠为二面角P ﹣AB ﹣D 的平面角。
数学(考试版)A3
模拟考试 第1页（共6页） 模拟考试 第2页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2023-2024学年八年级数学上学期期末模拟考试（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教版八上全部。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.全部选对的得3分，选错得0分）1．在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列运算中，正确的是（ ） A ．x 2+x 2＝x 4 B ．（﹣x 3y ）2＝﹣x 6y 2C ．x 6÷x 2＝x 3D ．4x 2•3x ＝12x 33．如图，△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF ，添加下列哪一个条件无法证明△ABC ≌△DEF （ ）A ．BE ＝CFB ．∠A ＝∠DC ．AC ＝DFD ．AC ∥DF4．华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ） A ．7×10﹣9B ．7×10﹣8C ．0.7×10﹣9D ．0.7×10﹣85．如图，六边形ABCDEF 的每个内角相等，若∠1＝58°，则∠2的度数为（ ）A ．58°B ．59°C ．60°D ．61°6．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC 的角平分线交AC 于点D ，DE ⊥BC 于点E ，若△ABC 与△CDE 的周长分别为13和3，则AB 的长为（ ）A ．10B ．16C ．8D ．57．若a 2+ab ＝16+m ，b 2+ab ＝9﹣m ，则a +b 的值为（ ） A ．±5B ．5C ．±4D ．48．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A 处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m 高的B 处接住她后用力一推，爸爸在C 处接住她．若妈妈与爸爸到OA 的水平距离BD 、CE 分别为1.4m 和1.8m ，∠BOC ＝90°．爸爸在C 处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）A ．1mB ．1.6mC ．1.8mD ．1.4m9．关于x 的方程的解为x ＝1，则a ＝（ ） A ．1B ．3C ．﹣1D ．﹣310．如图，已知∠AOB ＝120°，点D 是∠AOB 的平分线上的一个定点，点E ，F 分别在射线OA 和射线OB 上，且∠EDF ＝60°．下列结论：①△DEF 是等边三角形；②四边形DEOF 的面积是一个定值；③当DE ⊥OA 时，△DEF 的周长最小；④当DE ∥OB 时，DF 也平行于OA ．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个模拟考试第3页（共6页）模拟考试第4页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，请把答案填在答题卡相应题号的横线上）. 11．要使分式有意义，则x应满足的条件是．12．因式分解：2x3﹣4x2+2x＝．13．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若△A＝25°，则△CDE＝．14．如图，在△ABC中，AC＝BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG，若直线FG经过点E，则∠AEG的度数为°．15．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为．16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为．17．已知关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是．18．如图，在△ABC中，以BC为底边在△ABC外作等腰△BCP，作△BPC的平分线分别交AB，BC于点F，E．若BC＝12，AC＝5，△ABC的周长为30，点M是直线PF上的一个动点，则△MAC周长的最小值为．三、解答题（本大题共8小题，满分66分，请认真读题，冷静思考，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）19．（每小题4分，共8分）计算：（1）（a+2b）2﹣a（a+4b）；（2）．20．（每小题4分，共8分）解下列分式方程：（1）；（2）．20．（满分6分）先化简，再求值：，且a的值满足a2+2a﹣8＝0．22．（满分6分）如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠CED＝∠BAD．（1）求证：△ABC≌△DEA；（2）若∠ACB＝30°，求∠BCD的度数．23．（满分8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF；（2）△ABC的面积是；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．模拟考试 第5页（共6页） 模拟考试 第6页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________24．（满分8分）为顺利通过“文明城市”验收，我市拟对城区部分排水骨道公用设施全面更新改造，为响应城市建设的需要，需在一个月内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍，若甲、乙两工程队合作只需12天完成．（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？（2）若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．25．（满分10分如图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形ABCD ．（1）观察如图2填空：正方形ABCD 的边长为 ，阴影部分的小正方形的边长为 ； （2）观察图2，试猜想式子（m +n ）2，（m ﹣n ）2，mn 之间的等量关系，并证明你的结论； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知a ﹣b ＝5，ab ＝﹣6，求a +b 的值； ②已知a ＞0，，求的值．26．（满分12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知A （0，a ）、B （b ，0）且a 、b 满足{a +2b =?2a?2b =6．（1）求证：∠OAB ＝∠OBA ； （2）若BC ⊥AC ，求∠ACO 的度数；（3）如图2，若D 是AO 的中点，DE ∥BO ，F 在线段AB 的延长线上，∠EOF ＝45°，连接EF ，试探究OE 和EF 的关系．。
高等数学A3复习题
09级《线性代数》（A ）阶段练习题（一）答案一、填空题1.行列式1234234134124123=160. 解：123410234123412342341103411341011310103412104121412022241231012311230111-===-----123401131016000440004-==--[2.]排列12345a a a a a 的逆序数等于3，排列54321a a a a a 的逆序数等于7. 解：排列12345a a a a a 排列54321a a a a a 的逆序数之和等于10.因此排列12345a a a a a 的逆序数等于3，则排列54321a a a a a 的逆序数等于7.[3.]已知四阶行列式D 中第三列元素依次为1,2,0,1-，它们的余子式依次为5,3,7,4-，则D =-15.4.矩阵132113411,212343341A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则35828359125A B ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭.5.A 为7阶方阵，且满足T A A=-,则A =0.解: 7(1)0T A A A A AA ==-=-=-⇒=.6.272132-⎛⎫= ⎪-⎝⎭2132-⎛⎫⎪-⎝⎭. 解:事实上2212110,323201E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭故272132-⎛⎫= ⎪-⎝⎭2132-⎛⎫⎪-⎝⎭.7.设n 阶方阵A 的行列式2A =，则1*A AA E -=. 解：事实上1***111()A AA AA A A AA E A A--====. 8.设矩阵100110111A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则()12A E -+=100110011⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 解:100100100100(2,)110010010110,111001001011A E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 因此1100(2)110011A E -⎛⎫⎪+=- ⎪ ⎪-⎝⎭.9.设分块矩阵A B D O C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中A ,C 可逆,则1D -=1111A A BC O C ----⎛⎫- ⎪⎝⎭. 10.设5421,3234BC ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，且BAC E =，则1A -=131034⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 二、选择题1.如果11121311121321222313132333132332122232220,222222a a a a a a D a a a M D a a a a a a a a a ==≠=,则1()D D =. ()2;()2;()8;()8A M B M C M D M --.2.如果11121311111213212223121212223313233313132334231,423423a a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a a a -===--，则1()D B =. ()8;()12;()24;()24A B C D --.3.下列行列式中(B )的值必为零.1();A n D n 阶行列式中零元素的个数多于 2();B n D 阶行列式中有两列对应元素成比例121112122123412200000();()00n nn n n n nna a a a a a a C D D D a a a a ==.[4.]如果线性方程组304050x ky z y z kx y z +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则()k C =. ()1;()0;()3;()2A B C D -.5.1111234549162582764125D =是一个范德蒙行列式，D 的第四行元素的代数余子式之和41424344()A A A A C +++=.()12;()12;()0;()5!A B C D -.解:41424344A A A A +++=1111234504916251111=.6.,A B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有()D .();();();()A B E B A E C A B D AB BA ====.7.A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*()A A =.12();();();()n n n A AB AC AD A --.8.,A B 均为n 阶方阵，且0AB =，则必有()B .()00;()00;()||0;()0A A B B A B C A B D A B ====+=+=或或. 9.,A B 均为n 阶可逆矩阵，下列诸式()B 是正确的.()();()();T T T T T T A AB A B B A B A B =+=+ 111111()();()()C AB A B D A B A B ------=+=+.[10.]A 、B 、C 、E 均为同阶矩阵，E 为单位矩阵，若ABC E =，则下列诸式中()B 是正确的.();();();()A ACB E B BCA E C CBA E D BAC E ====.三、计算题 1.计算行列式x a a a a x a a D a a x a a a a x= .解:(1)(1)(1)(1)x a a ax n a a a aa x a a x n a x a a D a a x a x n a a x a a a a x x n a a a x+-+-==+-+-1110001100[(1)][(1)]1100110[(1)]()n a a a x a a x ax n a x n a a x a x a a a xx ax n a x a --=+-=+---=+--2.计算行列式123123123123n n n nb a a a a a b a a a D a a b a a a a a b a ++=++.解:231123112323123231123231nin i nn ii n n nn in i nnini b a a a a b a a a a b a a b a a a b a a a D a a b a a b a a b a a a a a b a b a a a b a ====+∑++∑++=+=+∑+++∑+232323112311110001100()1()1001100()n n nni n i i i nnn i i a a a b a a a bb a a b a a b a b a a b a bb a b ==-=+=+∑+=+∑+=+∑[3.]计算行列式1110110110110111D =.解：111011*********111011101(1)101110111011011111111111n n D n n n --===---2(1)21220001010(1)(1)(1)(1)(1)(1)01001111n n n n n n n n -+----=-=---=---.[4.]计算行列式123111000022000002011n n D n n n---=---.解：(1)123123121100001000022002200000200002011011n n n n n n D nn n nn n+------==------11(1)(1)!(1)(1)!(1)22n n n n n n --++=--=- [5.]当λ取何值时，齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解?解：方程组的系数行列式1111(4)(1)112D λλλλ=-=--+-当1λ=-或4λ=时，0D =，方程组有非零解.6.设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随阵.已知12A =,求1*(3)2A A --. 解：1*1****32124416(3)222()||333327A A A A A A A A ---=-=-=-=-=-. 或1*111311228116(3)2()||33327||27A A A A A A A ------=-=-=-=-⋅=-.7.已知三阶矩阵A 的逆矩阵1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,试求*1()A -.解：1***11111(),()2E A A A A A A A A A A A A A A---======故，求A . 1111100111100111100(,)12101001011001011011300100210111001022A E -⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭*15151100115212222010110,()21102201111101001002222A -⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.[8.]解矩阵方程AX B X =+,其中223231344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123111B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. 解：1()()(*)AX B X A E X B X A E B -=+⇒-=⇒=-,以下求1()A E --123100123100(,)221010025210343001001111A E E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭102110100132025210020365001111001111---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭110013213235350103,()3.2222001111111A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭将1()A E --代入(*)式可得1132107123517()331102*********X A E B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭--⎝⎭⎝⎭. 9.已知A PQ =，其中12,(2,1,2)1P Q ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭,求10A .解：10()()()()()()()A PQ PQ PQ PQ P QP QP QP Q ==()999121222221224241212PQ -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.10.已知n 阶方阵A 满足232A A E O --=,试证A 可逆，并求1A -. 解：由2332(3)2()2A EA A E O A A E E A E ---=⇒-=⇒=.由定理2.2的推论知A 可逆，且132A EA --=. 四、证明题[1.],A B 是两个n 阶方阵，且AB A B =+，证明：AB BA =. 证明:()()AB A B A E B A A E B E A E =+⇒-=⇒--=-⇒()()()()(*)A E B A E E A E B E E ---=⇒--=.由(*)式知A E -与B E -互为逆矩阵，故A E -与B E -可交换.即有:()()()()A E B E B E A E --=--⇒AB A B E BA B A E AB BA --+=--+⇒=.[2.]A 为n 阶方阵，且有2A A =，证明：A E +可逆.证明: 22()2()(*)2AA A A E A A A A A E A =⇒+=+=⇒+=,另外还有()(**)A E E A E +=+.用(**)式减(*)式，可得:()()2AA E E E +-=，因此A E+可逆，且1()2AA E E -+=-.[3.]如果A 为非奇异的对称阵，则1A -也是对称阵. 证明:由于T A A =,因此有1111()()()T T T T E A A A A A A A A ----====由定理2.2的推论知11()T A A --=,即1A -是对称阵.4.A B 、均为n 阶矩阵，且A B A B +、、均可逆.证明：1111()()A B B A B A ----+=+.证明：由于有111111()[()]()()A B B A B A A B A B A A B A ------++=+++ 11111()()()()A B E A B A A B A A A B A -----=++=++ 11()()A A B A B A E --=++=根据定理2.2的推论知：1111()()A B B A B A ----+=+.5.已知A ,B 均为n 阶矩阵，||0B ≠,A E -可逆，且1()()T A E B E --=-,求证矩阵A 可逆.证明:由1()()T A E B E --=-,当有()()()()T T T T E A E B E A E B E AB A B E =--=--=--+因此()()(*)T T T T T T AB A B A B E B A B E B -=⇒-=⇒-=对(*)式两端取行列式有()00T T A B E B B A -==≠⇒≠.A 非奇必可逆.。
《高等数学A(三)》强化训练题三及解答
2 −4 −1 1 1 0 = 0, 1 a −1
解得
-8-
a = −5.
14. 求
∫∫∫
Ω
e| z|dv, 其中 Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1.
-6-
R 1 ⎞ 2π ⎛ 1 = ⎜ 2 + 2 ⎟ ∫ dθ ∫ r 3dr 0 2b ⎠ 0 ⎝ 2a
1 ⎞ 1 ⎛ 1 = ⎜ 2 + 2 ⎟ ⋅ 2π ⋅ r 4 2b ⎠ 4 ⎝ 2a =
8. 填 π ; 理由:
R
0
π 4⎛ 1 1 ⎞ R ⎜ + ⎟. 4 ⎝ a 2 b2 ⎠
∫
l
x 2 + y 2 ds = ∫
2
∫∫
∑
dS = ∫∫
Dxy
⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dxdy ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
⎛ x 1+ ⎜ ⎜ x2 + y 2 ⎝
Dxy
2
= ∫∫
Dxy
⎞ ⎛ x ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ x2 + y2 ⎠ ⎝
2
⎞ ⎟ dxdy ⎟ ⎠
2
= 2 ∫∫
d xd y
= 2 × π ( 2) 2
=
13. 设平面 π 为曲面 z = x + y + 3 在点
2 2
x2 + y2 = 1
O
O
1
2
x
⎧ x + y + 3 = 0, (1, −2,8) 处的切平面, 直线 L : ⎨ 与平面 π 平行, 求 π 的方程与 a 的值. ⎩ x + ay − z − 4 = 0
最新-a3汇总
2005-A3习题十三中值定理一、单项选择题1）罗尔定理中的三个条件:«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»内可导，且«Skip Record If...»，是«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»成立的（）A）必要条件； B）充分条件；C）充要条件； D）既非充分也非必要条件. 2）若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内可导，且«Skip Record If...»是«Skip Record If...»内任意两点，则至少存在一点«Skip Record If...»，使下式成立（）.A）«Skip Record If...»B）«Skip Record If...»在«Skip Record If...»之间；C）«Skip Record If...»；D）«Skip Record If...».3）已知函数«Skip Record If...»，则方程«Skip Record If...»有（）A）分别位于区间（1，2），（2，3）及（3，4）内的三个根；B）四个实根，它们分别为«Skip Record If...»；C）分别位于（0，1），（1，2），（2，3），（3，4）四个实根；D）分别位于区间（1，2），（1，3），（1，4）内的三个根.4）设«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»，则满足等式«Skip Record If...»的«Skip Record If...»值（）.A）在«Skip Record If...»内可至少有一个«Skip Record If...»，使该式成立；B）在«Skip Record If...»内不存在«Skip Record If...»，使该式成立；C）在«Skip Record If...»内有一个«Skip Record If...»，使该式成立；仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢69D）在«Skip Record If...»内有两个«Skip Record If...»，使该式成立.二、设f（x）在[0，π]上连续，在（0，π）内可导。
高等数学试卷A3
高等数学试卷A3 一、一选择题1.函数的导数．A.正确B.不正确答案：B2.定积分．A.正确B.不正确答案：A3.函数的定义域为．A.正确B.不正确答案：A4.函数在点处连续．A.正确B.不正确答案：B二、二选择题5.极限．A.正确B.不正确答案：B6.是有界函数．A.正确B.不正确答案：B7.设，则微分．A.正确B.不正确答案：A8.是微分方程．A.正确B.不正确答案：B9.不定积分．A.正确B.不正确答案：A10.设，则．A.正确B.不正确答案：A三、三选择题11.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：D12.极限（）．A.B.C.D.答案：D13.不定积分（）．A.B.C.D.答案：B14.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：C15.函数的图形如图示，则函数( ).A.有一个极值点B.有两个极值点C.有三个极值点D.有四个极值点答案：C16.下列表达式成立的是（）．A.B.C.D.答案：A四、四选择题17.设则（）．A.B.C.D.答案：A18.不定积分（）．A.B.C.D.答案：D19.微分方程的通解为( )．A.B.C.D.答案：B20.函数, 则（）．A.是的驻点，但不是极值点B.是的驻点且为极小值点C.是的驻点且为极大值点D.不是的驻点答案：C。
高考数学二轮复习数列专题训练(A3打印版附答案)
高考数学二轮复习数列专题训练姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 一、单选题（共10题；共20分）1.已知各项为正数的非常数数列 {a n } 满足 a n+1=a 1a n，有以下两个结论:①若 a 3>a 2 ，则数列 {a n } 是递增数列；②数列 {a n } 奇数项是递增数列则（ ）A. ①对②错B. ①错②对C. ①②均错误D. ①②均正确 2.已知数列 {a n } 是无穷数列,则“ 2a 2=a 1+a 3 ”是“数列 {a n } 为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.已知数列 {a n } 的通项公式为 a n =2n +2 ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记 b n 为数阵从左至右的 n 列，从上到下的 n 行共 n 2 个数的和，则数列 {nb n } 的前2020项和为（ ）A.10112020B.20192020C.20202021D.101020214.等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，则“d ＝0”是“S 2n S n∈ Z”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.对于数列 {a n } ，定义 A n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a n n为数列 {a n } 的“好数”，已知某数列 {a n } 的“好数” A n =2n+1 ，记数列 {a n −kn} 的前 n 项和为 S n ，若 S n ≤S 6 对任意的 n ∈N ∗ 恒成立，则实数 k 的取值范围为（ ）A. [94，167]B. [167，73]C. [73，125]D. [125，52]6.函数 f(x)=x(x −S 1)(x −S 2)⋯(x −S 8) ，其中 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，若 a n =1n(n+1) ，则 f ′(0)= （ ）A. 112B. 14C. 18D. 197.已知函数 f(x)={(3−a)x −3,(x ≤7)a x−6,(x >7)，若数列 {a n } 满足 a n =f(n)(n ∈N +) ，且对任意 n ∈N ∗ 的都有 a n+1> a n ，那么实数 a 的值范围是（ ）A. [94,3)B. (94,3) C. (2,3) D. (1，3) 8.已知数列 {a n } 满足对 1≤n ≤3 时， a n =n ，且对 ∀n ∈N ∗ ，有 a n+3+a n+1=a n+2+a n ，则数列 {n ⋅a n }的前50项的和为（ ）A. 2448B. 2525C. 2533D. 26529.已知正项数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,a 1>1 ，且 6S n =a n 2+3a n +2 .若对于任意实数 a ∈[−2,2] .不等式a n+1n+1<2t 2+at −1(n ∈N ∗) 恒成立，则实数 t 的取值范围为（ ） A. (−∞,−2]∪[2,+∞) B. (−∞,−2]∪[1,+∞) C. (−∞,−1]∪[2,+∞) D. [−2,2]10.已知数列 {a n } 满足 a 1=12 ， a n+1=a n 22018+a n (n ∈N ∗) ，则使 a n >1 的正整数 n 的最小值是（ ） A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021二、填空题（共10题；共10分）11.已知数列 {a n } 是递增的等比数列， a 1+a 4=9,a 2a 3=8 ，则数列 {a n } 的前 n 项和等于________. 12.若无穷数列 {cos(ωn)}(ω∈R) 是等差数列，则其前10项的和为________.13.等比数列 {a n } 中， a 1+32a 6=0 ， a 3a 4a 5=1 ，则数列的前 6 项和为________． 14.已知数列 {a n } 满足 a n+1=a n cos(n +1)π+3n ，则数列 {a n } 的前40项和为________.15.已知正项数列 {a n } 和 {b n } 满足：① a 1=1 ， a 2=3 ；② a n +a n+1=2b n ， b n b n+1=a n+12 .则数列 {a n }的通项公式为 a n = ________.16.在等差数列{a n }中，已知公差d≠0，a 22＝a 1a 4 ， 若 a 1，a 3，a k 1，a k 2，⋯，a k n ，…成等比数列，则k n ＝________．17.已知数列 {a n } 满足 a n+1=3a n +10 ， b n =a n −4(n +1) ，若 b n+1>b n ，则数列 {a n } 的首项的取值范围为________.18.若正项数列 {a n } 满足 a n+1−a n <1 ,则称数列 {a n } 为D 型数列,以下4个正项数列 {a n } 满足的递推关系分别为:① a n+12−a n 2=1 ② 1an+1−1a n=1 ③ a n+1=an a n2+1 ④ a n+12−2a n =1 ，则D 型数列 {a n } 的序号为________.19.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足： S n +2a n =6−6×(23)n （ n ∈N ∗ ），则数列 {a n } 中最大项等于________.20.已知数列 {a n } 的首项 a 1=3 ，且 a n+1−a n =2n ， n ∈N ∗ ，则数列 {a n } 的通项公式 a n = ________.三、解答题（共30题；共285分）21.已知数列 {a n } 中， a 1=2 ， a n+1=2a n +2n+1 ，设 b n =an2 .（Ⅰ）求证：数列 {b n } 是等差数列； （Ⅱ）求数列 {1bn b n+1} 的前 n 项和 S n .22.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，数列 {b n } 是等比数列， a 1=b 1=2 ， S 2+S 3=S 4 ， 4a 3+6a 7=b 6 .（1）求数列 {a n } 和 {b n } 的通项公式； （2）设 c n =a n log 2b n +log 2b n a n ，求数列 {c n } 的前 n 项和 T n .23.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n =2a n −a 1 （ n ∈N ∗ ），数列 {b n } 满足 b 1=6 ，b n =S n +1a n+4 （ n ∈N ∗）．（Ⅰ）求数列 {a n } 通项公式；（Ⅱ）记数列 {1b n} 的前 n 项和为 T n ，证明： T n <12 ．24.已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且 a n+1=2(a n +1)(n ∈N ∗) . （Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列 {3b nan +2} 的前n 项和 T n .25.已知数列 {a n } 是公差为1的等差数列，数列 {b n } 是等比数，且 a 3+a 4=a 7 , b 2⋅b 4=b 5 , a 4=4b 2−b 3 数列 {c n } 满足 c n ={b 2m−1,n =3m −2b 2m ,n =3m −1a m ,n =3m其中 m ∈N ∗ .（1）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式（2）记 t n =c 3n−2c 3n−1+c 3n−1c 3n +c 3n c 3n+1(n ∈N ∗) ，求数列 {t n } 的前n 项和.26.对于任意 n ∈N ∗ ，若数列 {x n } 满足 x n+1−x n >1 ，则称这个数列为“ K 数列”. （1）已知数列： 1 ， q ， q 2 是“ K 数列”，求实数 q 的取值范围；（2）已知等差数列 {a n } 的公差 d =2 ，前 n 项和为 S n ，数列 {S n } 是“ K 数列”，求首项 a 1 的取值范围；（3）设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1=1 ，且 2S n+1−3S n =2a 1 ， n ∈N ∗ . 设 c n =λa n +(−1)n a n+1 ，是否存在实数 λ ，使得数列 {c n } 为“ K 数列”. 若存在，求实数 λ 的取值范围；若不存在，请说明理由.27.已知数列 {x n } ，如果存在常数p ，使得对任意正整数n ，总有 (x n+1−p)(x n −p)<0 成立，那么我们称数列 {x n } 为“p -摆动数列”．（Ⅰ）设 a n =2n −1 ， b n =(−12)n ， n ∈N ∗ ，判断 {a n } 、 {b n } 是否为“p -摆动数列”，并说明理由； （Ⅱ）已知“p -摆动数列” {c n } 满足 c n+1=1cn +1， c 1=1 ，求常数p 的值；（Ⅲ）设 d n =(−1)n ⋅(2n −1) ，且数列 {d n } 的前n 项和为 S n ，求证：数列 {S n } 是“p -摆动数列”，并求出常数p 的取值范围．28.已知数列 {a n } 是等差数列， a 2=3 ， a 5=6 ，数列 {b n } 的前 n 项和为 S n ，且 2b n −S n =2 . （1）求数列 {a n } 、 {b n } 的通项公式；（2）记 c n =an+2a n ⋅a n+1⋅b n 中，求数列 {c n } 的前 n 项和 T n .29.在数列{a n}中，a1=2，a n+1=4a n−3n+1，n∈N∗．（Ⅰ）证明数列{a n−n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅲ）证明不等式S n+1≤4S n，对任意n∈N∗皆成立．30.已知数列{a n}的前n项和S n=2a n−a1，且满足a1，a2+12，a3成等差数列. （1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{1a n }的前n项和为T n，求使|T n−2|<1500成立n的最小值.31.在公差为2的等差数列{a n}中，a1+1，a2+2，a3+4成等比数列. （1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n−2n}的前n项和S n. 32.已知等差数列{log3a n}的首项为1，公差为1，等差数列{b n}满足(n+1)b n=n2+2n+k．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）若c n=b na n，求数列{c n}的前n项和S n．33.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2,等比数列{b n}满足b1=a2−1,b4=a4+a5,(n∈N∗) .(I)求{a n}和{b n}的通项公式;(II)求数列{a n b n}的前n项和.34.已知{a n}是递增的数列，{b n}是等比数列.满足a1=b1=1，(b3−b2)2=b3+b4，且对任意n∈N∗，a n+12−2a n a n+1+a n2=b n2.（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的通项公式.35.定义若无穷数列{a n}满足{a n+1−a n}是公比为q的等比数列，则称数列{a n}为“ M(q)数列”.设数列{b n}中b1=1,b3=7（1）若b2=4，且数列{b n}是“ M(q)数列”，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n+1=2S n−12n+λ，请判断数列{b n}是否为“ M(q)数列”，并说明理由；（3）若数列{b n}是“ M(2)数列”，是否存在正整数m,n，使得40392019<b mb n<40402019？若存在，请求出所有满足条件的正整数m,n；若不存在，请说明理由.36.已知数列{a n}是首项为2的等比数列，若a1,a2+1,a3成等差数列.（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=log2a n，求b12−b22+b32−b42+b52−b62+⋅⋅⋅+b992−b1002的值.37.已知数列{log2(a n−1)}(n∈N∗)为等差数列，且a1=3，a3=9.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2an−1，S n为数列{b n}的前n项和，若对任意n∈N∗，总有S n<m−43，求m的取值范围.38.数列{a n}与{b n}满足a1=a，b n=a n+1−a n，S n是数列{a n}的前n项和（n∈N∗）.（1）设数列{b n}是首项和公比都为−13的等比数列，且数列{a n}也是等比数列，求a的值；（2）设b n+1−b n=2n−1，若a=3且a n≥a4对n∈N∗恒成立，求a2的取值范围；（3）设a=4，b n=2，C n=S n+2λ2n（n∈N∗，λ≥−2），若存在整数k，l，且k>l>1，使得C k=C l成立，求λ的所有可能值.39.已知数列{a n}，{b n}的各项均不为零，若{b n}是单调递增数列，且2a n=b n⋅b n+1，a n+a n+1=b n+12,a1=b2,a2=b6.（Ⅰ）求b1及数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n}满足c1=−13，c n+c n+1=(√2)b n，求数列{c2n}的前n项的和S n.40.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，若数列{S n+1}是公比为4的等比数列.（1）求S n，并求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n=n•4n+λa n，n∈N∗，若数列{b n}是递增数列，求实数λ的范围.41.设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2a n−n，n∈N+．（Ｉ）求证数列{a n+1}为等比数列，并求通项公式a n；（Ⅱ）若对任意的n∈N+，都有λa n≤S n+n−n2，求实数λ的取值范围．42.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1,S n+1−2S n=1(n∈N∗). （1）令c n=S n+1，求数列{c n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b1=1,b n+1=b n2+1a n+1.①求数列{b n}的通项公式；②是否存在正整数n，使得(b1+b2+b3+⋯+b n)⋅2n−1=n+52成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由.43.数列{a n}，{b n}，{c n}满足：b n=a n−2a n+1，c n=a n+1+2a n+2−2，n∈N∗．（1）若数列{a n}是等差数列，求证：数列{b n}是等差数列；（2）若数列{b n}，{c n}都是等差数列，求证：数列{a n}从第二项起为等差数列；（3）若数列{b n}是等差数列，试判断当b1+a3=0时，数列{a n}是否成等差数列？证明你的结论．44.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，公差d≠0，且S1，S3，S9成等比数列，数列{b n}满足b1S1+b2S2+...+b n S n=6−n2+4n+62n(n∈N∗)，{b n}的前n项和为T n.（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记R n=1a1a2+1a2a3+...+1a n a n+1，试比较R n与12T n的大小.45.在数列{a n}中，a1=1,a n+1=(1+1n)a n+n+12n（I）设b n=a nn，求数列{b n}的通项公式（II）求数列{a n}的前n项和S n46.已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且2,a n,S n成等差数列。
《大学数学A3》第10章34节练习题
《大学数学A3》第10章34节练习题《大学数学a3》第10章3、4节练习题大学数学第10章线性代数第3节和第4节中的练习A3一、选择题1.已知向量组？1.2.3.4线性独立，然后是向量组（）a、?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关b、?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关c、?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关D1.2.2.3.3.4.4.1线性独立性2、设向量组a:?1,?2,?,?s的秩为r，则下列说法正确的是（）a、一定有人在吗？sb、向量组a中任意小于r个向量的部分组必线性无关c、向量组a中任意r个向量都线性无关d、向量组A中有r吗？1.向量（如果有）必须是线性相关的。
3.以下命题是正确的（）a、含有零向量的向量组一定线性相关b、含有零向量的向量组一定线性无关c、如果A1，A2，？Am是线性相关的，那么A1可以由A2，A3确定？Am线性表示D，如果A1，A2，？Am是线性相关的，那么A1，A2，A3？Am-1线性相关4。
让matrix A？（哎呀）m？n、斧头？0只有零解的充要条件是（）a、a的列向量组线性相关b、a的列向量组线性无关c、a的行向量组线性相关d、 a的行向量是线性独立的5、n维向量组?1,?2,?,?s(3?s?n)线性无关的充要条件是（）a、有一组数字K1，K2，？，不是都是零，？，KS，做K1？1.k2？2.ks？s0b、？1.2.s中的任意两个向量是线性独立的；c、?1,?2,?,?s中存在一个向量，它不能由其余向量线性表示；d、?1,?2,?,?s中任意一个向量都不能由其余向量线性表示6.已知矩阵A和B的秩是R（A）？2，r（b）？4，那么R（AB）的值可以是（）a、2b、3c、4d、67.设a为n阶方阵，R（a）？N1.1.2是斧头吗？两种不同的0解，然后是ax？0的通解是（k是以下选项中的任意常数）（）a、k?1b、k?2c、k(?1??2)d、k(?1??2)8、设v1,v2,v3是非齐次线性方程组ax?b的解向量，则（）是ax?b的解a、 2v1？v2？v3b、12v？13v112？4v3c、v11?v2?v3d、 2v？13v112？6v3 II。
MK_09-10(1)高数A(三)答案
[‰Y'•Q~ÜNf^—
( X , Y ) 关于 Y 的边缘分布律为
1 1 1 3 P (Y = −1) = P ( X = −1, Y = −1) + P ( X = 0, Y = −1) + P ( X = 1, Y = −1) = + + = 8 8 8 8 1 1 1 P (Y = 0) = P ( X = −1, Y = 0) + P ( X = 0, Y = 0) + P ( X = 1, Y = 0) = + 0 + = 8 8 4 1 1 1 3 P (Y = 1) = P ( X = −1, Y = 1) + P ( X = 0, Y = 1) + P ( X = 1, Y = 1) = + + = 8 8 8 8
λ
得到 a =
2
λ
（2）设总体 X 的样本值为 x1 , x2 ,
L (λ ) = ∏
i =1
n
⎧ 1 n ⎫ ⎛2⎞ n f ( xi ) = ⎜ ⎟ i∏ xi iexp ⎨− ∏ xi 2 ⎬ ⎝ λ ⎠ i =1 ⎩ λ i =1 ⎭
n
n
大学高数三期末复习题(答案)
10级高数（3）期末复习题(答案)一、单项选择题：1、若lim 0n n u →∞=，则级数∑∞=1n n u （D ）A 、条件收敛B 、收敛C 、发散D 、可能收敛也可能发散2、 lim 0n n u →∞=是级数∑∞=1n n u 收敛的（ B ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要3、下面曲面为柱面的是（ C ）A 、22z x y =+ B 、 22214zx y +-=C 、222x y -=D 、2222x y z r ++=4、在空间直角坐标系下，方程()()22212(3)1x y z -+-+-=表示的图形是（ B ）A 、圆B 、球面C 、平面D 、柱面 5、下列级数中条件收敛的是（B ）A 、1(1)nn ∞=-∑ B 、11(1)1nn n ∞=-+∑C 、211(1)nn n∞=-∑ D 、1(1)(1)nnn q q∞=->∑6、下列级数中绝对收敛的是（D ）A 、21cosn nπ∞=∑ B 、11(1)1nn n ∞=-+∑C 、11(1)sinn n nπ∞-=-∑ D 、1(1)(1)nnn q q∞=->∑7、下列级数中收敛的是（B ）A 、121n n n ∞=+∑B 、121(1)ln n n n∞-=-∑C 、 05()3nn ∞=-∑D 、1121n n ∞=+∑8、微分方程0)(43='-''y y y x 的阶数是( B )A 、1B 、2C 、3D 、4 9、 =+⋅+∞→∞→22223sin)(lim yx y x y x （B ）A 、0B 、3C 、31 D 、∞10、 微分方程x e y -=''的通解是(C )A 、xCey -= B 、x Ce y =C 、21C x C e y x ++=-D 、21C x C e y x ++-=- 11、下列方程中（C ）是线性微分方程微分方程A 、21y x y '=-B 、(ln ln )dy y y x dxx=-C 、tan sec dy y x x dx-= D 、(76)()0x y dx x y dy -++=12、下列方程中（A ）是可分离变量的微分方程A 、tan 0dy y x dx-= B 、(ln ln )dy y y x dxx=-C 、tan sec dy y x x dx-= D 、(76)()0x y dx x y dy -++=二、填空题：1、 幂级数∑∞=+122n nnxn 的收敛半径R = ，收敛域为 2、幂级数21(2)nn x n ∞=-∑的收敛半径R = ，收敛域为3、幂级数2121n n xn ∞=-∑的收敛域为4、改变二次积分1(,)yeeI d y f xy d x=⎰⎰的积分次序，则I = ；21)21,21[-1]1,1[-)1,1(-⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),(5、改变二次积分11(,)xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I = ； 6、设f 是连续函数，D 是由22 , 0x y x y +≤≥确定的区域，则在极坐标系下，二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰先r 后θ的二次积分是 7、设f 是连续函数，D 由曲线222 ,x y y +=围成则在极坐标下，化二重积分22()Df x y d σ+⎰⎰为先r 后θ的二次积分是 ； 8、11(1)n n n ∞=+∑＝ ，1123n n -∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑＝9、设级数111p n n∞-=∑，则当p 时级数收敛，当p 时级数发散；10、设 ln(ln ),z x y =+则(1,)e dz＝ 11、xoy 平面上的双曲线22236x y -=绕y 轴旋转所得曲面方程是____________________12用某种材料做一个开口的长方体容器，其外形长5m ，宽3m ，高为8m,厚20cm ，则所需材料的近似值为 __________________三、计算题：1、方程222238x y z ++=确定函数(,)z z x y =，求,z zx y∂∂∂∂， ⎰⎰100),(ydxy x f dy ⎰⎰20cos 0)sin ,cos (πθθθθrdrr r f d 112>2≤63)(2222=-+y z x ]2.08,4.05,4.03:[6.28||6.28)2.0(53)4.0(83)4.0(852.0,4.0,4.0,8,5,3,:(3---=∆=∆∴-=-**+-**+-**=∆+∆+∆=≈∆-=∆-=∆-=∆====内高为内长为内宽为注外高外长外宽设解mu V zxy y xz x yz du u z y z y x xyz u ⎰⎰πθθ0sin 20)(rdr r f d dyedx 2121+36.28mzy zy F F yzz x z x F F xz z F y F x F z y x z y x F ：zy zx z y x 3264,362642832),,(222-=-=-=∂∂-=-=-=∂∂===∴-++=则设解2、设22x z x y=+求z x∂∂和z y∂∂，2322'2122232222221222222)(])([)(2)(21y x xyy x x yz y x yyx xy x x y x x z yx x z ：y +-=+=∂∂∴+=+⋅+-+=∂∂∴+=--已知解3、设2yz x ye =，求2z x y∂∂∂和22z y∂∂)2()1()1()1(222,22222222222y e x e x y e x yz y e x yex e x yz y xe xyexeyx z xye xz yex z ：yyyyyyyyyyy+=++=∂∂+=+=∂∂+=+=∂∂∂=∂∂∴=已知解4、设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1),(1,0,1),(2,0,1)xx xy xxz f f f -2)1,0,2(2),,(0)1,0,1(2),,(2)1,0,0(2),,(2),,(),,(2222=∴==-∴==∴=+=++=xxz xxz xy xy xx xx x f z y x f f y z y x f f z z y x f xz y z y x f zxyzxyz y x f ：已知解5、 设 22(,)z f x y xy =+，f 为可微函数，求,z zx y∂∂∂∂212122222222),(,),(),(xf yf x f y f y vv fyu uf yz yf xf y f x f x vv f x u u f x z xyy x v y x y x u ，xy y x f z ：v u v u +=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∴+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∴=+=+=设已知解6、 设22,3,42,v z u x y v x y u==+=+求yzx z ∂∂∂∂,22222222222222222222222222)3()43(2)3()24(2)3(222'')3()33(4)3()24(6)3(464''24,3y x y xy x y x y x y y x uyv u uvu u v yz y x xy x y y x y x x y x uxv u uvu u v x z yx v y x u ，uv z ：y y x x +--=++-+=-=-=∂∂∴+--=++-+=-=-=∂∂∴+=+==设已知解7、求2Dx ydxdy ⎰⎰，D 为抛物线22y x =和直线12x =所围成的区域)243(]3[]2[:0]22[,),(0),(,),(),(:7111211311122222122212222212222222212222222=-=======∴=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--------dy yy dy yx ydx x dy dx yx ydy x dx ydxdyx ydy x dx ydxdyx ydy x ，x ，y y x ydy x dx dxdy y x f dxdyy x f D y x f ，x D ，y y x y x f yyx xDx xDx xx x Dx xD或解二则由定积分性质可知轴对称的区间时为关于的奇函数为关于由于本题必有上连续时在则当轴对称关于若积分区域的奇函数关于解一8、 求2(),Dx y dxdy +⎰⎰ 其中D 是由曲线1 y x=和直线 ,2y x y ==围成的区域。
高数三期末考试题及答案
高数三期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B3. 判断下列级数是否收敛。
∑(1, 2, 3, 4, ...)A. 收敛B. 发散答案：B4. 求解微分方程dy/dx+y=x的通解。
A. y = e^(-x)∫x dx + CB. y = e^(x)∫x dx + CC. y = e^(-x)∫e^x dx + CD. y = e^(x)∫e^(-x) dx + C答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=sinx的二阶导数是______。
答案：-cosx2. 求极限lim(x→0) (sinx/x)。
答案：13. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，求其顶点坐标。
答案：(2, 0)4. 计算二重积分∬D xy dA，其中D为x^2+y^2≤1的闭区域。
答案：π/2三、解答题（每题10分，共30分）1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+1的极值点。
解：首先求导数y'=3x^2-12x+9，令y'=0，解得x=1或x=3。
然后检查二阶导数y''=6x-12，发现x=1时y''<0，x=3时y''>0，因此x=1为极大值点，x=3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。
解：首先进行积分运算，得到∫(x^2-4x+4) dx = (1/3)x^3-2x^2+4x。
然后将积分上限2和下限0代入，计算得到(1/3)(2)^3-2(2)^2+4(2)- [(1/3)(0)^3-2(0)^2+4(0)] = 8/3 - 8 + 8 = 8/3。
3. 求解微分方程dy/dx-2y=e^(2x)。
高等数学-期末考试题-A3
西安交通大学城市学院2009-2010学年上学期高等数学期末考试模拟试题（文科）姓名班级学号成绩考试时间：120分钟满分：100分命题人：高兵龙说明：1、考生必须在规定时间内完成该试卷；2、必须使用黑色签字笔作答；3、考生必须按时交卷。
4、（7分）设)(x y y =由⎩⎨⎧=+-=52arctan 2te ty y t x 所确定，求dx dy，并求出0=t 处曲线的切线方程.解：5、（8分）已知曲线nx x f =)(，求：(1)曲线在点（１,１）处的切线方程； (2)设该切线与x 轴的交点为)0,(n ξ，试计算).(lim n n f ξ∞→解：四、（6分）证明当10<<x 时，xxe x-+<112 证明：五、（8分）已知函数)(x f 在]2008,0[上连续，在)2008,0(内可导，且0)2008(=f ，求证：在)2008,0(内至少存在一点c ，使cc f c f )()('-=成立． 证明：六、（8分）设某厂生产某种商品的固定成本为200（百元），每生产一个单位产品，成本增加5（百元），已知需求函数q =100—2p （其中p 为价格，q 为产量），问产量多少时利润最大？并求最大利润. 解：七、（10分）求函数21xy x x =+-的单调区间、极值、凸性区间、拐点及渐近线，并作出函数的图形。
解：西安交通大学城市学院2009-2010学年上学期高等数学期末考试模拟试题（文科）参考答案一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1. 92. !)2(n n-3. 1 4．22e 5.C xxx +-sin 2cos 6. 4-三、计算题（共5小题，共32分） 1.（5分） 解：2. 解：⎰+-dx e e x x 11⎰⎰+-+=dx e dx e ex x x1111分 ⎰⎰--+-+=dx ee dx e e xxx x 11 3分 ⎰⎰--+++++=)1(11)1(11xx x x e d ee d e 4分 C e e x x ++++=-)1ln()1ln( 5分3. 解：点连续在点可导，故在1)(1)(==x x f x x f 1分)1(lim lim 21)1(21++=∴-+→-→bx ax ex x x 0=+b a 即 3分1)1(lim )1()1(21-++-='-→++x b a e f x x 又 21)1(2lim 11lim 1)1(21=--=--=++→-→x x x e x x x 5分 1)1()1(lim )1(21-++-++='-→-x b a bx ax f xa x axax x bx ax x x =--=-+=--→→1lim 1lim 2121 6分 2,2-==∴b a 7分4．解：对522=+-te ty y 两边对t 求导0222=+--t e dtdyty y dt dy 222--=ty y e dt dy t 3分22)1)((\22-+-==ty t y e dt dx dt dy dx dy t 5分 2,0,23,0====y x dx dy t 时 切线方程：223+=x y 7分5．解：（1）1)(-='n nx x f ，n f k ='=)1( ２分切线方程 )1(--=n nx y ４分（2）令0=y 得n n x 1-=故nn n 1-=ξ ６分 )(lim n n f ξ∞→nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→1lim )1(11lim -⋅-∞→⎪⎭⎫⎝⎛-=n n n 1-=e 8分四、 证明：)1()1()(2x e x x f x+--=令 1分 则 1)21()(2--='xex x f 3分04)(2<-=''x xe x f内单调减少在所以)1,0()(x f ' 4分 单调减少从而，故又)(,0)(0)0(x f x f f <'=' 5分 即，故又,0)0()(0)0(=<=f x f fxxe x -+<112 6分五、证明：令 )()(x xf x F =， 1分则)(x F 在]2008,0[上连续，在)2008,0(内可导， 3分 且0)2008()0(==F F ，由罗尔定理得 5分至少存在一点c ，使0)('=c F ，即0)()('=+c f c c f ，也即cc f c f )()('-= 得证。
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09级《线性代数》（A ）阶段练习题（一）答案一、填空题1.行列式1234234134124123=160. 解：123410234123412342341103411341011310103412104121412022241231012311230111-===-----123401131016000440004-==--[2.]排列12345a a a a a 的逆序数等于3，排列54321a a a a a 的逆序数等于7. 解：排列12345a a a a a 排列54321a a a a a 的逆序数之和等于10.因此排列12345a a a a a 的逆序数等于3，则排列54321a a a a a 的逆序数等于7.[3.]已知四阶行列式D 中第三列元素依次为1,2,0,1-，它们的余子式依次为5,3,7,4-，则D =-15.4.矩阵132113411,212343341A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则35828359125A B ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭.5.A 为7阶方阵，且满足T A A=-,则A =0.解: 7(1)0T A A A A AA ==-=-=-⇒=.6.272132-⎛⎫= ⎪-⎝⎭2132-⎛⎫⎪-⎝⎭. 解:事实上2212110,323201E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭故272132-⎛⎫= ⎪-⎝⎭2132-⎛⎫⎪-⎝⎭.7.设n 阶方阵A 的行列式2A =，则1*A AA E -=. 解：事实上1***111()A AA AA A A AA E A A--====. 8.设矩阵100110111A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则()12A E -+=100110011⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 解:100100100100(2,)110010010110,111001001011A E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 因此1100(2)110011A E -⎛⎫⎪+=- ⎪ ⎪-⎝⎭.9.设分块矩阵A B D O C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中A ,C 可逆,则1D -=1111A A BC O C ----⎛⎫- ⎪⎝⎭. 10.设5421,3234BC ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，且BAC E =，则1A -=131034⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 二、选择题1.如果11121311121321222313132333132332122232220,222222a a a a a a D a a a M D a a a a a a a a a ==≠=,则1()D D =. ()2;()2;()8;()8A M B M C M D M --.2.如果11121311111213212223121212223313233313132334231,423423a a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a a a -===--，则1()D B =. ()8;()12;()24;()24A B C D --.3.下列行列式中(B )的值必为零.1();A n D n 阶行列式中零元素的个数多于 2();B n D 阶行列式中有两列对应元素成比例121112122123412200000();()00n nn n n n nna a a a a a a C D D D a a a a ==.[4.]如果线性方程组304050x ky z y z kx y z +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则()k C =. ()1;()0;()3;()2A B C D -.5.1111234549162582764125D =是一个范德蒙行列式，D 的第四行元素的代数余子式之和41424344()A A A A C +++=.()12;()12;()0;()5!A B C D -.解:41424344A A A A +++=1111234504916251111=.6.,A B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有()D .();();();()A B E B A E C A B D AB BA ====.7.A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*()A A =.12();();();()n n n A AB AC AD A --.8.,A B 均为n 阶方阵，且0AB =，则必有()B .()00;()00;()||0;()0A A B B A B C A B D A B ====+=+=或或. 9.,A B 均为n 阶可逆矩阵，下列诸式()B 是正确的.()();()();T T T T T T A AB A B B A B A B =+=+ 111111()();()()C AB A B D A B A B ------=+=+.[10.]A 、B 、C 、E 均为同阶矩阵，E 为单位矩阵，若ABC E =，则下列诸式中()B 是正确的.();();();()A ACB E B BCA E C CBA E D BAC E ====.三、计算题 1.计算行列式x a a a a x a a D a a x a a a a x= .解:(1)(1)(1)(1)x a a ax n a a a aa x a a x n a x a a D a a x a x n a a x a a a a x x n a a a x+-+-==+-+-1110001100[(1)][(1)]1100110[(1)]()n a a a x a a x ax n a x n a a x a x a a a xx ax n a x a --=+-=+---=+--2.计算行列式123123123123n n n nb a a a a a b a a a D a a b a a a a a b a ++=++.解:231123112323123231123231nin i nn ii n n nn in i nnini b a a a a b a a a a b a a b a a a b a a a D a a b a a b a a b a a a a a b a b a a a b a ====+∑++∑++=+=+∑+++∑+232323112311110001100()1()1001100()n n nni n i i i nnn i i a a a b a a a bb a a b a a b a b a a b a bb a b ==-=+=+∑+=+∑+=+∑[3.]计算行列式1110110110110111D =.解：111011*********111011101(1)101110111011011111111111n n D n n n --===---2(1)21220001010(1)(1)(1)(1)(1)(1)01001111n n n n n n n n -+----=-=---=---.[4.]计算行列式123111000022000002011n n D n n n---=---.解：(1)123123121100001000022002200000200002011011n n n n n n D nn n nn n+------==------11(1)(1)!(1)(1)!(1)22n n n n n n --++=--=- [5.]当λ取何值时，齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解?解：方程组的系数行列式1111(4)(1)112D λλλλ=-=--+-当1λ=-或4λ=时，0D =，方程组有非零解.6.设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随阵.已知12A =,求1*(3)2A A --. 解：1*1****32124416(3)222()||333327A A A A A A A A ---=-=-=-=-=-. 或1*111311228116(3)2()||33327||27A A A A A A A ------=-=-=-=-⋅=-.7.已知三阶矩阵A 的逆矩阵1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,试求*1()A -.解：1***11111(),()2E A A A A A A A A A A A A A A---======故，求A . 1111100111100111100(,)12101001011001011011300100210111001022A E -⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭*15151100115212222010110,()21102201111101001002222A -⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.[8.]解矩阵方程AX B X =+,其中223231344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123111B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. 解：1()()(*)AX B X A E X B X A E B -=+⇒-=⇒=-,以下求1()A E --123100123100(,)221010025210343001001111A E E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭102110100132025210020365001111001111---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭110013213235350103,()3.2222001111111A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭将1()A E --代入(*)式可得1132107123517()331102*********X A E B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭--⎝⎭⎝⎭. 9.已知A PQ =，其中12,(2,1,2)1P Q ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭,求10A .解：10()()()()()()()A PQ PQ PQ PQ P QP QP QP Q ==()999121222221224241212PQ -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.10.已知n 阶方阵A 满足232A A E O --=,试证A 可逆，并求1A -. 解：由2332(3)2()2A EA A E O A A E E A E ---=⇒-=⇒=.由定理2.2的推论知A 可逆，且132A EA --=. 四、证明题[1.],A B 是两个n 阶方阵，且AB A B =+，证明：AB BA =. 证明:()()AB A B A E B A A E B E A E =+⇒-=⇒--=-⇒()()()()(*)A E B A E E A E B E E ---=⇒--=.由(*)式知A E -与B E -互为逆矩阵，故A E -与B E -可交换.即有:()()()()A E B E B E A E --=--⇒AB A B E BA B A E AB BA --+=--+⇒=.[2.]A 为n 阶方阵，且有2A A =，证明：A E +可逆.证明: 22()2()(*)2AA A A E A A A A A E A =⇒+=+=⇒+=,另外还有()(**)A E E A E +=+.用(**)式减(*)式，可得:()()2AA E E E +-=，因此A E+可逆，且1()2AA E E -+=-.[3.]如果A 为非奇异的对称阵，则1A -也是对称阵. 证明:由于T A A =,因此有1111()()()T T T T E A A A A A A A A ----====由定理2.2的推论知11()T A A --=,即1A -是对称阵.4.A B 、均为n 阶矩阵，且A B A B +、、均可逆.证明：1111()()A B B A B A ----+=+.证明：由于有111111()[()]()()A B B A B A A B A B A A B A ------++=+++ 11111()()()()A B E A B A A B A A A B A -----=++=++ 11()()A A B A B A E --=++=根据定理2.2的推论知：1111()()A B B A B A ----+=+.5.已知A ,B 均为n 阶矩阵，||0B ≠,A E -可逆，且1()()T A E B E --=-,求证矩阵A 可逆.证明:由1()()T A E B E --=-,当有()()()()T T T T E A E B E A E B E AB A B E =--=--=--+因此()()(*)T T T T T T AB A B A B E B A B E B -=⇒-=⇒-=对(*)式两端取行列式有()00T T A B E B B A -==≠⇒≠.A 非奇必可逆.。