江西省等三省十校2024届高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷含解析

2024年高考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ） A ．2-
B ．1-
C ．3-
D ．2
3．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ） A ．2B 15C ．3
D ．34． “2b =”是“函数()()
2
231f x b b x α
=--（α为常数）为幂函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
5．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF =2
2
，则下列结论中错误的是（ ）
A ．AC ⊥BE
B ．EF //平面ABCD
C ．三棱锥A -BEF 的体积为定值
D ．异面直线A
E ,B
F 所成的角为定值
6．函数()1sin f x x x x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
(x ππ-≤≤且0)x ≠的图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
7．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为3
2
，则c =（ ）
A ．22
B ．4
C ．5
D ．32
8．已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，其图象关于直线6
x π
=
对称，对满足()()122
f x f x -=的1x ，2x ，有12min
2
x x π
-=
，将函数()f x 的图象向左平移
6
π
个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（） A ．()2,6
k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤
+
∈⎢⎥⎣
⎦
C ．()5,3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ．()7,12
12k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
9．如图，在中，点M 是边
的中点，将
沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段
上一点.若二面角与二面角
的平面角相等，则直线
经过
的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
10．已知双曲线22
221(0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾
斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．
324
B ．
23
3
C ．
305
D ．
52
11．已知函数2,0
()2,0
x x
x f x e
x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2
(0,
)3e
B ．2(,0)3e
-
C ．1(,0)2e
-
D ．1(0,
)2e
12．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ） A ．45
B ．105
C ．150
D ．210
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知()1,1P 为椭圆22
+=142
x y 内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为
________________．
14．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若2a e ⋅=，3b e ⋅=，且0a b ⋅=，则a b +的取值范围是________. 15．某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：
由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多______天.
16．函数()121x
x
f x e e
b x -=---在()0,1内有两个零点，则实数b 的取值范围是________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3718a a +=，636S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ；
（Ⅱ）设n T 为数列1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项的和，求证：1n T <.
18．（12分）如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，
12AB BC BB ===，1AD =，3CD =，160ABB ∠=︒.
（1）求证：1AB B C ⊥；
（2）若平面ABCD ⊥平面11ABB A ，求二面角1D B C B --的余弦值.
19．（12分）已知多面体ABCDE 中，AE 、CD 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=，2AE CD =，AB BC CD ==，
F 是BE 的中点．
（1）求证：//DF 平面ABC ；
（2）求直线BD 与平面ABE 所成角的正弦值． 20．（12分）已知()()f x x a a R =+∈．
（1）若()21f x x ≥-的解集为[]0,2，求a 的值； （2）若对任意x ∈R ，不等式()12)4
f x x π
=++
'恒成立，求实数a 的取值范围．
21．（12分）设实数,x y 满足3x y +=. （1）若32x x y +<-，求x 的取值范围；
（2）若0x >，0y >，求证：
11
11x y
+≥+. 22．（10分）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>），点A 是C 的左顶点，点()2,3P 为C 上一点，离心率12e =.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设过点A 的直线l 与C 的另一个交点为B （异于点P ），是否存在直线l ，使得以AB 为直径的圆经过点P ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断. 【详解】
当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥， 所以函数在[]0,2π上单调递增， 令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-， 根据三角函数的性质，
当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小， 当[],2x ππ∈
时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；
当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥， 所以函数在[]2,0π-上单调递增，
令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，
当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大， 当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ， 故选：D 【点睛】
本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题. 2、A 【解析】
根据向量投影的定义，即可求解. 【详解】
a 在
b 上的投影为
6
cos 23a b a b
θ⋅-===-. 故选:A 【点睛】
本题考查向量的投影，属于基础题. 3、B 【解析】
利用正弦定理求出CD ，可得出BC ，然后利用余弦定理求出cos B ，进而求出sin B ，然后利用三角形的面积公式可计算出ABD ∆的面积. 【详解】
AD 为BAC ∠的角平分线，则BAD CAD ∠=∠.
ADB ADC π∠+∠=，则ADC ADB π∠=-∠，
()sin sin sin ADC ADB ADB π∴∠=-∠=∠，
在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin AB BD ADB BAD =∠∠，即42sin sin ADB BAD
=∠∠，①
在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC ADC =∠∠，即8sin sin CD
ADC CAD
=∠∠，②
①÷②得
21
2
CD =，解得4CD =，6BC BD CD ∴=+=，
由余弦定理得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅，sin 4
B ∴==
因此，ABD ∆的面积为1
sin 2
ABD S AB BD B ∆=⋅=故选：B. 【点睛】
本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 4、A 【解析】
根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 【详解】
∵当函数()()
2231a
f x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，
解得2b =或12
-
， ∴“2b =”是“函数()()
2231a
f x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.
故选：A. 【点睛】
本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题. 5、D 【解析】
A ．通过线面的垂直关系可证真假；
B ．根据线面平行可证真假；
C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；
D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】
A ．因为11
,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=，所以AC ⊥平面11BDD B ，
又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；
B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，故正确；
C ．因为112BEF
S
EF BB =
⨯⨯=
A 到平面11BDD
B 的距离为12h A
C == 所以11
312
A BEF BEF V S h -=⋅⋅=
为定值，故正确； D ．当11
11AC B D E =，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：
因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，
且2
22tan 12
AG AEG GE ∠===
， 当11
11AC B D F =，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：
因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，
所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且
2
23
2tan 3212AG
AEG GE
∠=
==
⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
，
由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【点睛】
本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内. 6、B 【解析】
先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解. 【详解】
由题可知()f x 定义域为)(],00,ππ⎡-⋃⎣，
()()()11sin sin f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛
⎫-=---=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，
∴()f x 是偶函数，关于y 轴对称， ∴排除C ，D.
又2
636
sin 066612f ππππππ-⎛⎫⎛⎫=-=
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，22
sin 02222f ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴()f x 在()0,π必有零点，排除A.
故选：B. 【点睛】
本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题. 7、D 【解析】
由正弦定理可知4sin 4sin 3cos c A a C C ==,从而可求出34sin ,cos 55C C =
=.通过13
sin 22
ABC S ab C ∆==可求出5b =，结合余弦定理即可求出c 的值.
【详解】 解：
4sin 3cos c A C =，即4sin 3cos c A a C =
4sin sin 3sin cos A C A C ∴=，即4sin 3cos C C =. 22sin cos 1C C += ，则34
sin ,cos 55C C ==.
1133
sin 12252ABC S ab C b ∆∴==⨯⨯⨯=，解得5b =.
22224
2cos 1521518
5
c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯
=，c ∴= 故选:D. 【点睛】
本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角C 的正弦值余弦值. 8、B 【解析】
根据已知得到函数()f x 两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得ω的值，结合其对称轴，求得θ的值，进而求得
()f x 解析式.根据图像变换的知识求得()g x 的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得()g x 的单调递减区
间. 【详解】
解：已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，00,2π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，其图像关于直线6
x π
=
对称，
对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min
1222x x π
πω
-=
=⋅，∴2ω=. 再根据其图像关于直线6
x π
=对称，可得26
2
k π
π
θπ⨯
+=+
，k ∈Z .
∴6
π
θ=
，∴()sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 将函数()f x 的图像向左平移
6π
个单位长度得到函数()sin 2cos 236g x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝
⎭的图像. 令222k x k πππ≤≤+，求得2
k x k π
ππ≤≤+
，
则函数()g x 的单调递减区间是,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z ，
故选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题. 9、A 【解析】
根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.
【详解】 二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.
故，即，两三棱锥高相等，故
，
故，故为
中点.
故选：. 【点睛】
本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
10、B
【解析】
先求出直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ），与y ＝±b a
x 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率．
【详解】 双曲线22
22x y a b
-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，
∴k l 222ab a b
=-， ∴直线l 的方程为y 22
2ab a b =
-（x ﹣c ）， 与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 222abc a b =+， ∵2AF FB =， ∴222abc a b =+2•22
23abc a b -，
∴a =，
∴c ＝2b ，
∴e 3
c a ==． 故选B ．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．
11、D
【解析】
将函数的零点个数问题转化为函数()y f x =与直线1()2
y k x =+的交点的个数问题，画出函数()y f x =的图象，易知直线1()2y k x =+过定点1(,0)2
-，故与()f x 在0x <时的图象必有两个交点，故只需与()f x 在0x >时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.
【详解】
由图知()y f x =与1()2
y k x =+有4个公共点即可，
即()
0,k k ∈切，当设切点()00,x y ， 则0
000011()2x x x k e x k x e -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0122x k e ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 2k e ∴∈.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题. 12、B
【解析】
分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.
【详解】
集合M 含有3个元素的子集共有3620C =，所以20k =．
在集合1,2,3,,i B i k =⋯（）
中： 最大元素为3的集合有2
21C =个；
最大元素为4的集合有233C =； 最大元素为5的集合有246C =；
最大元素为6的集合有2510C =；
所以12345314356610105b b b b b ++++⨯+⨯+⨯+⨯＝＝
． 故选：B ．
【点睛】
此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、230x y +-=
【解析】
设弦所在的直线与椭圆相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，利用点差法可求得直线AB 的斜率，进而可求得直线的点斜式方程，化为一般式即可.
【详解】
设弦所在的直线与椭圆相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，
由于点P 为弦的中点，则12121212
x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得121222x x y y +=⎧⎨+=⎩， 由题意得2211222214214
2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212042x x x x y y y y -+-++=， 所以，直线AB 的斜率为()()1212121222214422
x x y y x x y y +-⨯=-=-=--+⨯， 所以，弦所在的直线方程为()1112
y x -=-
-，即230x y +-=. 故答案为：230x y +-=.
【点睛】
本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程，一般利用点差法，也可以利用韦达定理设而不求法来解答，考查计算能力，属于中等题.
14、[5,)+∞
【解析】
先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解．
【详解】
由e 是单位向量．若2a e =，3b e =，
设(1,0)e =，
则(2,)a m =，(3,)b n =，
又0a b =，
则6mn =-，
则(5,)a b m n +=+， 则||25(a b +=+
又2()0m n +，
所以||5a b +，（当m n ==m n ==
即||a b +的取值范围是[5，)+∞，
故答案为：[5，)+∞．
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
15、72
【解析】
根据给定的茎叶图，得到游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案.
【详解】
由题意，根据给定的茎叶图可得，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中，
游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，
所以在全年）中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多733607220-⨯
=天. 故答案为：72.
【点睛】
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的基本知识，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16、(()
1,,1e e e -- 【解析】
设12t x =-，11,22t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，设()1122t t g t e e +-=-，函数为奇函数，()1122'0t t g t e e +-=+>，函数单调递增，()()
'021g e =<-，画出简图，如图所示，根据()221b e <<-，解得答案.
【详解】
()1112122x x x x f x e e b x e e b x --=---=---，设12t x =-，11,22t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，则12x t =+.
原函数等价于函数11222t t y e e b t +-=--，即11222t t e e b t +--=有两个解. 设()1122t t g t e e +-=-，则()()1122t t g t e e g t -+-=-=-，函数为奇函数.
()1122'0t t g t e e +-=+>，函数单调递增，()00g =，112g e ⎛⎫=-
⎪⎝⎭，112g e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 当0b =时，易知不成立；
当0b >时，根据对称性，考虑0x ≥时的情况，()()'0221g e e =<-，
画出简图，如图所示，根据图像知：故()2221e b e <<-，即1e b e <<-，
根据对称性知：()()1,,1b e e
e e ∈---. 故答案为：()()1,,1e e e e ---.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题的关键.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）21n a n =-，2n S n = （Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据等差数列公式直接计算得到答案.
（Ⅱ）211111n S n n n n n ==-+++，根据裂项求和法计算得到111
n T n =-+得到证明. 【详解】
（Ⅰ）等差数列{}n a 的公差为d ，由3718a a +=，636S =得59a =，1612a a +=，
即149a d +=，12512a d +=，解得11a =，2d =.
∴21n a n =-，2135(21)n S n n =+++
+-=. （Ⅱ）2n S n =，∴211111(1)1
n S n n n n n n n ===-++++， ∴11111111122311
n T n n n =-
+-+⋅⋅⋅+-=-<++，即1n T <. 【点睛】 本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
18、（1）证明见解析（2）10535
-
【解析】
（1）取AB 中点为O ，连接OC ，1OB ，AC ，1AB ，根据线段关系可证明ABC ∆为等边三角形，即可得AB OC ⊥；由1ABB ∆为等边三角形，可得1AB OB ⊥，从而由线面垂直判断定理可证明AB ⊥平面1OB C ，即可证明1AB B C ⊥. （2）以O 为原点，1OB ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面1BB C 和平面1B CD 的法向量，即可由法向量法求得二面角1D B C B --的余弦值.
【详解】
（1）证明：取AB 中点为O ，连接OC ，1OB ，AC ，如下图所示：
因为1AD =，3CD =，90ADC ∠=︒，
所以2AC =，故ABC ∆为等边三角形，则AB OC ⊥.
连接1AB ，因为12AB BB ==，160ABB ∠=︒，
所以1ABB ∆为等边三角形，则1AB OB ⊥.
又1OC OB O =，所以AB ⊥平面1OB C .
因为1B C ⊂平面1OB C ，
所以1AB B C ⊥.
（2）由（1）知AB OC ⊥，
因为平面ABCD 平面11ABB A AB =，OC ⊂平面ABCD ，
所以OC ⊥平面11ABB A ，
以O 为原点，1OB ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易求13OC OB =，则()0,1,0B ，)13,0,0B ，(3C ，330,,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 则(0,3BC =-，(
13,0,3B C =-，330,,22CD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面1BB C 的法向量()1111,,n x y z =，
则1110,0,n BC n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111130,330,
y z x z ⎧
-+=⎪⎨=⎪⎩令11x =，则13y =11z =， 故()11,3,1n =.
设平面1B CD 的法向量()2222,,n x y z =， 则2210,0,n CD n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则2222330,22330,y z x z ⎧--=⎪⎨⎪+=⎩
令21x =，则23y =，21z =，故231,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭，
所以
12
12
12
cos,
5
n n
n n
n n
⋅
===
.
由图可知，二面角1
D B C B
--为钝二面角角，
所以二面角1
D B C
B
--的余弦值为
35
-.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，由线面垂直判定线线垂直，由空间向量法求平面与平面形成二面角的大小，属于中档题.
19、（1）见解析；（2
【解析】
（1）取AB的中点H，连接FH、CH，推导出四边形FHCD为平行四边形，可得出//
DF CH，由此能证明//
DF 平面ABC；
（2）由//
AE CD，得//
CD平面ABE，则点D到平面ABE的距离等于点C到平面ABE的距离，在平面ABC内过点C 作CG AB
⊥于点G，CG就是C到平面ABE的距离，也就是点D到平面ABE的距离，由此能求出直线BD与平面ABE所成角的正弦值．
【详解】
（1）取AB的中点H，连接FH、CH，
H、F分别为AB、BE的中点，则//
FH AE且
1
2
FH AE
=，
AE
∵、CD均垂直于平面ABC，且2
AE CD
=，则//
CD AE，//
FH CD
∴且FH CD
=，
所以，四边形FHCD为平行四边形，则//
DF CH，
DF⊄平面ABC，CH⊂平面ABC，因此，//
DF平面ABC；
（2）由//
AE CD，AE⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，//
CD
∴平面ABE，
∴点D到平面ABE的距离等于点C到平面ABE的距离，
在平面ABC内过点C作CG AB
⊥于点G，
AE平面ABC，CG⊂平面ABC，CG AE
∴⊥，
CG AB
⊥，AE AB A
=，CG
∴⊥平面ABE，
即CG就是C到平面ABE的距离，也就是点D到平面ABE的距离，
设2
AB BC
CD
===，
则D到平面ABE的距离sin603
h BC
==BD==
因此，直线BD 与平面ABE 所成角的正弦值为364
22h BD ==．
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20、（1）1a =；（2）(]-2∞，
【解析】
（1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出a 的值；（2）利用绝对值不等式求出
()f x x a +-的最小值，把不等式()12)4
f x x π=++'化为只含有a 的不等式，求出不等式解集即可． 【详解】
（1）不等式()21f x x ≥-，即21x a x +≥-
两边平方整理得()22
32410x a x a -++-≤ 由题意知0和2是方程()22
32410x a x a -++-=的两个实数根 即2240231023a a +⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得1a = （2）因为()()()2f x x a x a x a x a x a a +-=++-≥+--=
所以要使不等式()12)4f x x π
=+'恒成立，只需232a a ≥-
当0a ≥时，232a a ≥-，解得2a ≤，即02a ≤≤；
当0a <时，232a a -≥-，解得25
a ≤，即0a <；
综上所述，a 的取值范围是(],2-∞
【点睛】
本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
21、（1）()3,+∞（2）证明见解析
【解析】
（1）依题意可得31x x x +<-，考虑到0x >，则有31x x x +<-再分类讨论可得； （2）要证明
1111x y
+≥+，即证()()11x y x y ++≥+，即证()14x y +≤.利用基本不等式即可得证； 【详解】 解：（1）由32x x y +<-及3x y +=，得31x x x +<-，
考虑到0x >，则有31x x x +<-，它可化为
()01,31,x x x x <≤⎧⎨+<-⎩或()1,31.x x x x >⎧⎨+<-⎩
即201,30,x x <≤⎧⎨+<⎩或21,230.x x x >⎧⎨-->⎩
前者无解，后者的解集为{}
3x x >，
综上，x 的取值范围是()3,+∞. （2）要证明1111x y
+≥+，即证()()11x y x y ++≥+， 由3x y +=，得()14x y ++=，即证()14x y +≤.
因为()()2
2141422x y x y ++⎡⎤⎛⎫+≤==⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦（当且仅当1x =，2y =时取等号）. 所以()14x y +≤成立， 故1111x y
+≥+成立. 【点睛】
本题考查分类讨论法解绝对值不等式，基本不等式的应用，属于中档题.
22、（1）22
11612
x y +=；（2）存在，12105y x =-- 【解析】
（1）把点()2,3P 代入椭圆C 的方程，再结合离心率，可得a,b,c 的关系，可得椭圆的方程； （2）设出直线l 的方程，代入椭圆，运用韦达定理可求得点B 的坐标，再由0PA PB ⋅=，可求得直线的方程,要注意检验直线是否和椭圆有两个交点．
【详解】
（1）由题可得2249112
a b c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴22216124a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程2211612x y += （2）由题知()4,0A -，设()00,B x y ，直线l 的斜率存在设为k ，
则():4l y k x =+与椭圆2211612
x y +=联立得()2222343264480k x k x k +++-= >0∆，2026448434k x k --=+，∴202161234k x k -+=+，022434k y k =+，∴222161224,3434k k B k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭
若以AB 为直径的圆经过点P ，
则0PA PB ⋅=，∴()2222624122496,3,03434k k k k k ⎛⎫--+---⋅= ⎪++⎝⎭
， 化简得220810k k --=，∴()()211010k k -⋅+=，解得12k =或110
k =- 因为B 与P 不重合，所以12
k =
舍. 所以直线l 的方程为12105y x =--. 【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了向量的数量积的运用，属于中档题.。