积分基本公式

2.基本积分公式表
(1)∫0d x=C
(2)=ln|x|+C
(3)(m≠-1，x>0)
(4)(a>0,a≠1)
(5)
(6)∫cos x d x=sin x+C
(7)∫sin x d x=-cos x+C
(8)∫sec2x d x=tan x+C
(9)∫csc2x d x=-cot x+C
(10)∫sec x tan x d x=sec x+C
(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C
(12)=arcsin x+C
(13)=arctan x+C
注．(1)不是在m=-1的特例．
(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．
事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则
(ln|x|)' =(ln(-x))' =.
(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．
下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．
6. 复合函数的导数与微分
大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．
定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=ϕ(x)分别在点y0=ϕ(x0)与x0可导，则复合函数z=f[ϕ(x)]在x0可导，且
或(f oϕ)' (x0)=f '(y0)⋅ϕ'(x0)．
证．对应于自变量x0处的改变量∆x，有中间变量y在y0=ϕ(x0)处的改变量∆y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量∆z，（注意∆y可能为0）．现
∆z=f'(y0)∆⋅y+v，∆y='ϕ(x0)∆x+u，
且令，则v=∆αy，（注意，当∆y=0时，v=∆αy仍成立）．y在x 0可导又蕴含y在x0连续，即∆y=0．于是
=f '(y0)⋅ϕ '(x0)+0⋅ϕ'(x0)=f'(y0)⋅ϕ'(x0)
为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：
(1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式
，
其右端似乎约去d y后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．
(2) 计算复合函数的过程：x→−y →−z
复合函数求导的过程：z→−y →−x
：各导数相乘
例2.3.15求y=sin5x的导数．
解．令u=5x，则y=sin u．于是
y' ==cos u⋅5=5cos5x．
例2.3.16求y=lncos x的导数．
解．令u=cos x，则y=ln u．于是
．
y'
=
例2.3.17求幂函数y=x m的导数，m为任意实数．
解．因y=，令u=m ln x，则y=e u．
y' ==e u⋅m⋅
m是正整数n时，即例2.3.2．
(3) 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：
复合函数的求值：x→−y→−z→−u…v→−w
复合函数的求导：w→−v…u→−z→−y→−x
：各导数相乘
(4) 在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u，z，y等可不必写出，只要做到心中有数．
例2.3.18求的导数
解．
=．
(5) 链锁法则的微分形式是：d f(ϕ(x))=f'(ϕ(x))dϕ(x)
例2.3.19求函数y=的微分
解．d y =dsin2x=⋅2sin x dsin x
=⋅2sin x cos x d x=⋅sin2x d x．
思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.
5. 导数与微分的四则运算
设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有
公式(1) (u±v)' = u'±v'，d(u±v) = d u±d v．
公式(2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = v d u+u d v．
公式(3) (cu)' = cu'，d(cu) = c d u．
公式(4)，(v≠0)．
点击此处看公式(1)－(4)的证明．
例2.3.11求y=tan x的导数
解．(tan x)' =
==sec2x．
同理可得(cot x)' =-csc2x．
例2.3.12求y=sec x的导数．
解．(sec x)' =
=sec x tan x．
同理可得(csc x)' =-csc x cot x．
例2.3.13求y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数．
解一．y' =(1+4x)'(2x2-3x3)+(1+4x)(2x2-3x3)'
=4(2x2-3x3)+(1+4x)(2⋅2x-3⋅3x2)
=8x2-12x3+4x-9x2+16x2-36x3=4x+15x2-48x3
解二．因y =2x2+5x3-12x4，故
y' =2⋅2x+5⋅3x2-12⋅4x3=4x+15x2-48x3．
例2.3.14求函数y=(x+sin x)ln x的微分．
解．d y=ln x d(x+sin x)+(x+sin x)dln x
=ln x(d x+dsin x)+(x+sin x)d x
=ln x⋅(d x+cos x d x)+d x
=d x．
2. 导数的定义
从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.
定义.设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域)内有定义，y0=f(x0)．如果x∈X-x0，我们称∆x=x-x00(∆读作delta)为自变量的改变量，
∆y=f(x)-f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率．
如果极限
存在，则称函数y=f(x)在点x0可导(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x的导数(或微商)．记作
．
因∆x=x-x0，x=x0+∆x，故还有
．
此时，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线方程是
．
注意.∆x可正可负，依x大于或小于x0而定．
根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x0的导数的步骤是：
(1)计算函数在自变量x0+∆x处的函数值f(x0+∆x)；
(2)计算函数的改变量∆y=f(x0+∆x)-f(x0)；
(3)写出函数的差商；
(4)计算极限，即导数值
．
例2.3.1求常数函数y=c的导数．
解．因∆y=y(x+∆x)-y(x)=c-c=0，差商=0，
故=0．此处x可为任意实数，即常数函数y=c在任意点x处的导数为0．
例2.3.2设n是正整数，求幂函数y=x n在点x处的导数．
解．因
y(x+∆x)=(x+∆x)n=x n+，
∆y=y(x+∆x)-y(x)=，
故=．特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1．
例2.3.3求曲线y=x3在点(2,8) 处的切线方程．
解．在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切线斜率是：y'(2)=3⋅22=12，故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是
y-8=12⋅(x-2) ⇔ 12x-y-16=0．
注．
(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导，这样可求出X内每一点的导数y'(x)，x∈X ．于是y'(x)成为X内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c的导数是0，y=x的导数是1，y=x n的导数是等等，分别记作c' =0，x' =1，(x n)' =等等．
(2)关于改变量的记号∆，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量，就象sin x 中的sin一样，绝不能把∆x看成∆与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(∆x)2来表示∆x的平方而不写∆x2 ．
从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:
(点击此处看例2.3.4，例2.3.5，例2.3.6证明)
例2.3.4y=sin x的导数是(sin x)' =cos x，
y=cos x的导数是(cos x)' =-sin x ．
例2.3.5 y=log a x(0<a≠1)的导数是(log a x)' =．
特别，(ln x)' =1/x．
例2.3.6指数函数y=a x(0<a≠1)的导数是(a x)' =a x ln a ．
特别，(e x)' =e x．
8. 导数的导数--二阶导数
一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数：y' =f '(x)，如果它还可导，我们又可得f '(x)的导数：(y' )' =[f '(x)]' ，称为y=f(x)的二阶导数，记作
y'' =f '' (x)，或=．
如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，…的导数，对任意正整数n，n阶导数被定义为
y(n)=(y(n-1))' ，n=2，3，…
统称为函数y的高阶导数．
例2.3.22求y=sin x的n阶导数．
解．y' =cos x =sin，用归纳法不难求出
y(n)=sin．
例2.3.23若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s' (t)=v(t)是运动速度．又,二阶导数s''(t)=v' (t)=a(t)则是运动的加速度．
例2.3.24求y =arc tan x的二阶导数y'' ．
解．y' =，y'' =-(1+x2)-2(1+x2)' =．
思考题.对于可导函数y=f(x)来说，导数f ' (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f ' (x)还可导，那么f '' (x)的正或负，反映函数y=f(x)的图像的什么性态.
实验题.选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响.
7. 基本初等函数的导数与微分公式
=
' =
-' =
-x=
x=
x=
例2.3.20 求y=arcsin 的微分．
解．
．
例2.3.21求y=+arctan e x的导数．
解．．
12.二元函数的导数与微分(选学）
设z=f(x，y)是两个自变量x与y的函数，x与y的变化都会引起函数z的变化，实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了．函数z关于一个变量x的导数就称为z关于x的偏导数．记作，事实上，按导数定义，应该是
=，
同理，z关于变量y的偏导数是
=．
我们也记
．
若z=f(x，y)有连续的偏导数f'x(x，y)，f'y(x，y)，则自变量x与y的改变量∆x与∆y 的线性表达式
f'x(x，y)∆x+f'y(x，y)∆y
称为z=f(x，y)在(x，y)处对应于∆x，∆y的全微分，记作
d z=f'x(x，y)∆x+f'y(x，y)∆y．
由于自变量的微分等于自变量的改变量：d x=∆x，d y=∆y，于是二元函数的微分公式是
d z=．
例2.3.30设f(x，y)=xy+x2-2 y3，求．
解．=y+2x (把y看作常数，对x求导数)．
=x-6y2(把x看作常数，对y求导数)．例2.3.31求z=e x sin y的全微分．
解．d z=sin y d e x+e x dsin y
=sin y e x d x+e x cos y d y
=e x(sin y d x+cos y d y)．
例2.3.32设x+2y+2z-2=0确定二元函数z=z(x，y)，求．
解．对方程x+2y+2z-2=0两边求微分，则左端得
d x+2d y+2d z-2d
右端的微分是0，于是解得
d z =，
由此得，．
13.分段函数的导数(选学）
我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．函数y=f(x)在点x0的导数被定义为极限
，
这等价于=0 ，
记，则=0，由此
f(x0+∆x)-f(x0)=[u(∆x)+f’(x0)]∆x，
于是[f(x0+∆x)-f(x0)]=[u(∆x)+f’(x0)]∆x=0 ，
即f(x0+∆x) = f(x0)．如果记x=x0+∆x，则得
f(x)= f(x0) ．
这表明函数f(x)在x0连续．因此有
定理．若函数y=f(x)在x0可导，则f(x)在x0连续．
因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．例2.3.33 讨论函数
在点x=0的连续性与可导性．
解．因,,
故,且f(0)=e0=1．由此可见f(x)在x=0连续．
其次，为讨论f '(0)，我们需计算极限
．为方便计，用x代替 x，为此我们研究极限
．现在，
，
．
由此可见，极限不存在，即f(x)在x=0不可导．
你能看到，在函数y =f(x)的图像上点(1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0
定义．设函数y =f(x)定义在区间(a,b)内，x0(a,b)，如果极限
存在，则称此极限为f(x)在点x0处的右导数，记作
f+'(x0)=．
类似地，f(x)在点x0的左导数是
f-'(x0)=.
只有f+'(x0)与f-'(x0)都存在且相等时，f(x)在点x0才可导，且f '(x0)=f+'(x0)=f-'(x0)．即有
定理．设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0(a,b)．则
f '( x
)存在f-'( x0)与f+'( x0)都存在且相等．
左导数与右导数统称为单侧导数.
例2.3.34讨论函数
在x=0的可导性．
解．首先讨论f(x)在x=0 的连续性．因
，
，
f(0)=0，
故f(x)在x=0连续．
其次，因
，
，
故f(x)在x=0可导，且f'(0)=-1．
注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例如考虑函数
此时g(x)在x=0不连续，更不可导．如果你用上例方法求左右导数：g'+(0)=-1，g'-(0)=-1，得出g'(0)=-1，那就大错特错了．事实上, 上图中的原点并不属于函数g(x)的图像,因此,原点右侧的“半切线”是不存在的,也就是说,原点处的右导数是不存在的．
1. 曲线的切线斜率
我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线，切线是不能这样定义的．例如右下图中曲线在P点处的切线, 除P点外还交曲线于Q点．
为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画．
说明：点P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的给定点．
点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点, 可在P的两侧：在右侧时x>x0；在左侧时x<x0．动直线PQ是曲线的割线．
如果动点Q无限地逼近定点P时, 动直线PQ有一个极限位置T, 即极限
则称PT为曲线在P点的切线．
为确定切线PT的位置, 或建立PT的方程, 只需确定
其斜率．由于PT是PQ的极限, 从而PT的斜率是PQ斜率
的极限, 极限过程是由Q→P产生的．而
Q→P即x→x0．
设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为α, PT的斜率为k=tanα．
现在割线PQ的斜率为：
．
而切线PT的斜率为：
(PQ的斜率)
=,
由此得切线PT的方程是：y-f(x0)=k( x-x0)．。