第_3_讲_静电探针_(1)_515407050
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这里 n 是粒子数密度，v 是粒子平均热 速度。当探针插入等离子体中，且所加 电位 V 等于等离子体电位 Vp 时，这是 无鞘层形成，从远区到探针表面均为未 扰动等离子体区。接收面积 A 上接收到
的电流主要由电子电流确定：
(2.1)
（i） 电子饱和电流区 当 V > Vp 时，电子流被加速，离子流被排斥，在探针表面附 近形成电子鞘层。 定量分析表明，当 Te >> Ti 且 V－Vp >> kTe/e 时，探针收集的 电子电流可用随机热运动通量与有效收集面积的乘积来描述， 而流向探针表面的离子要克服 V－Vp 的电位势垒才能到达探 针表面，这相当于离子随机热运动电流乘以玻尔兹曼因子，即
而对鞘内电子密度分布，由(2.7)式知有
x ≦ xs
(2.11)
ne ( x) n exp[ eV ( x) / kTe ] ne ( x s ) exp[ eV ( x) V ( x s ) / kTe ] x ≦ xs
(2.12)
由鞘边界上准中性条件，可得 ne(xs) = ni(xs) ＝ ns ，这样鞘内电子泊松方程可写为 x ≦ xs 将上式右边对 V – Vs 作 Taylor 展开，得 (2.14) 上式只有在 中括号内的项为负 时，才有非振荡解，并且才能平滑地与未扰动区的 解相匹配。 (2.13)
vi ( xs ) 2eV ( xs ) mi Te mi Cs
(成正的电荷鞘，离子在等离子体中必须被加速使 其到达鞘边界时速度达到离子声速。因此，在鞘边界和未扰动等离子体区之间还存在 一小的渗透电场即 预鞘区，其作用就是使离子加速使其到达鞘边界时速度达到离子声 速，从而满足鞘边界上 Γe = Γi 。 概言之，在探针表面到未扰动等离子体存在 3 个区域：鞘层、预鞘区和等离子体区。 当 Bohm 判据不满足，即探针表面电位 V0 > Vs 时，探针周围就不会形成鞘层，这时准 中性条件直到探针表面均成立。 习题：证明：在 Bohm 判据满足条件下，通过鞘层表面的离子饱和流表达为 (2.2) 式。
由此导出 Vs ≦ –Te/2e (2.15)
这个条件称为 Bohm 判据(1949) 。它表明只有当离子到达鞘边界时其定向运动动能至 少等于 Te/2e 时，才能在探针表面附近形成正的电荷鞘层。有时也将 Bohm 判据 表述 为：同时满足鞘层和等离子体解的鞘结构形成条件是
Vs ＝ –Te/2e 由此判据可得鞘边界处离子定向运动速度为 (2.16)
I I si exp( 1 / 2)ene Ap Cs 0.61 e ne Ap Cs
这里 Cs kTe mi 是离子声速。这样，由过渡区斜率得到 Te，
带入上式后即可求得电子密度 ne 。
（ii）过渡区
当 Vf < V < Vp 时，探针周围将形成正电荷鞘层。探针电流仍是由随机热 运动进入鞘层所形成的电流。这时电子电流 Ie 为随机热运动电流（饱和电 子流 Ise ）乘以玻尔兹曼因子：
（2.4）
因此，由过渡区特性曲线斜率可求出等离子体电子温度 Te 。 由这些定性分析可见，鞘层的有无和特性对探针应用有重要影 响。以下我们定量分析鞘结构。
2.2 鞘层结构分析 (1) —— 鞘内密度分布
当V < Vp 时，探针周围的电位分布如 下图所示。这里，我们将坐标系原点
建立在探针表面上作一维分析（即将
(2.7)
即 鞘内电子密度满足 Boltzmann 分布。通常在测量离子饱和流
Isi 时, |V(x) | >> kTe/e 条件总是满足的，因此 (2.7) 式对各种探针 几何形状均成立。另外，由于鞘外等离子体呈电中性，故上述 (2.5) ~ (2.7) 式对离子也同样成立。
2.2 鞘层结构分析 (2) —— 粒子通量
2.1 单探针原理(2) —— 鞘层结构的形成
一根绝缘的探针金属丝 (tip) 深入等离子体后，探针表面将迅速收集等离 子体中电子、离子流向表面的 粒子通量。在局域热平衡 (Te = Ti) 条件下，电 子热速度远大于离子热速度，因此单位时间内打到探针表面的电子数远远超过 离子数，即探针表面收集到的主要是电子流，或相当于探针发射正电流。这样 很快就会在探针表面积累起负电荷，使探针表面电位（V0）相对于附近未扰动 等离子体电位 Vp 具有负值（这里所有电位均相对于装置地而言）。这个负电
1 I i ene Ap vi exp e(V V p ) Ti 4
它远小于电子饱和电流，即总电流仍为电子饱和流。这里 Ap 是探针有效接收面积。
（ii）离子饱和电流区 当 V < Vf ，特别是当 V < 5Te/e 时，绝大部分电子被探针表面 电场（离子鞘）所排斥，探针电流几乎是纯离子电流贡献:
(2.6)
上积分限 vc＝{ 2e [V(x) – V(x∞)] / kTe}1/2 是电子克服探针表面负
电位所需的最小速度；erf (t) 是误差函数。若在 x 处有 | V(x) – V(x∞) |＝ | V(x) | >> kTe/e，则 (2.6)式简化为
ne ( x) n exp[eV ( x) / kTe ]
位降将排斥电子吸引离子，从而在探针表面附近形成一 正的空间电荷鞘层
（扰动区域）。这层离子鞘逐渐增厚，直到单位时间内打到探针表面的电子数 与离子数相等为止。这时探针达到的电位称 悬浮电位 Vf 。通常这个电荷鞘局 限于探针附近几个德拜长度 λD 范围内，鞘层内电中性被破坏，存在强电场。 德拜长度 λD 定义为：
me f ( x, v ) f ( x , v ) n 2kT e
vc
1/ 2
1 2 m v ( x ) eV ( x ) 2 e exp kTe
(2.5)
e[V ( x) V0 ] eV ( x) 1 ne ( x) f ( x, v)dv n exp 1 erf 2 kT e kTe
2eV ( x) eV ( x) i ( x) ni ( x)vi ( x) n exp m kT i e
( x≧ xs )
(2.9)
在鞘内，没有离子的产生源，因而离子通量是常数，即打到探针表面的离子通量由鞘 边界上通量密度决定, Γi (x＝0) = Γi (xs)。而打到探针表面的电子通量密度则由随机热 运动通量乘以探针电位的 Boltzmann 因子
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
静电探针
单探针原理 鞘层结构分析 磁场的影响 碰撞的影响 其他影响 静电探针类型 应用示例
2.1 单探针原理(1)
一根与装置壁绝缘的（悬浮的）金 属丝就构成了最简单的 Langmuir 探 针（单探针）。深入到等离子体内 的介质会与等离子体产生激烈的相
I e I se exp e(V V p ) Te
而离子的收集，按 Bohm 的鞘层形成理论，鞘外有一 预鞘区，流向探针的 离子从未扰动等离子体区经 预鞘区加速并在鞘边界达到离子声速 Cs 。探针 表面收集到的是越过鞘边界的离子形成的电流，即离子饱和电流 Isi 。故此 时探针总电流为
mi e(V V p ) 1 I I e I si ene Ap Cs exp exp( ) 2 Te 2me
(2.3)
上式是在 Te >>Ti 的假设下导出的。但精确解表明它在 Te ≈ Ti 情形下仍成立。 同时可知，由静电探针的特性曲线是无法测定离子温度的。
（ii）过渡区
由 (2.3) 式移项后对 V 求导，即可得
Te e( I I si ) (d ( I I si ) dV ) e( I I si ) (dI dV )
( ii ) 刘维定理。一组粒子在相空间中占有的体积是常数，即
dxdv = const.，因而有
f (x,v) = f (x∞,v∞)； ( iii ) 能量守恒。即
1 1 2 2 me v ( x) eV ( x) me v 2 2
考虑到未扰动区域内电子速度分布服从 Maxwell 分布，故有
I VS V VP
互作用，从而形成对局域等离子体
分布的扰动（离子鞘或称 空间电荷 鞘）。探针的工作原理就是通过这 种扰动来获取局域等离子体参数信
息，但同时又不能破坏等离子体的
宏观平衡。了解这种扰动的形成机 制对于探针设计具有重要指导意义。
2.1 单探针原理(1) —— 运用的基本假设
单探针工作的基本假设： (1) 等离子体是无限、均匀的，且处处满足 准中性条件； (2) 不存在磁场 B = 0； (3) 等离子体是稀薄的，即平均自由程 λe , λi >> a 探针尺寸 （无碰撞等离子体）； (4) 探针周围的鞘层厚度 δ << a 探针尺寸； (5) 鞘外等离子体基本上不受探针干扰，即鞘外的电子、离子 速度分布仍服从 Maxwell 分布（热平衡稳态等离子体）； (6) 鞘内不产生二次电子发射，也不与探针材料发生反应； (7) 探针表面是无限大平面，边缘效应可忽略。
1. 鞘内密度分布 要获得 鞘内任意一点 x 处的电子密度 ne(x)，需将其局域速度 分布函数对速度积分。而 x 处的速度分布函数与鞘外 x∞ 处的 速度分布函数之间的关系由下述 3 点确定： ( i ) 粒子数守恒。即在相空间中沿一个粒子的径迹观察应有 下式成立： f (x,v) dx dv = f (x∞,v∞) dx∞ dv∞；
2.2 鞘层结构分析 (4) —— 鞘层厚度
考虑探针电位足够负情形下的泊松方程。此时鞘内电子密度可忽略（这在大多数情 形下是成立的，只要离子电流足够大）。因此有 (2.18)
这里通量密度 Γi 是常数。将上式乘以 dV/dx 并完成积分，得
(2.19) 这里已假定 dV/dx|xs= 0，即忽略了电子密度过渡区。只要该过渡区厚度只占总鞘层厚 度的一小部分，这样处理的误差不大。再次积分，得 (2.20)
e ( x 0)
1 n ve exp(eV0 kTe ) 4
(2.10)
2.2 鞘层结构分析 (3) —— 鞘边界电位与玻姆判据
3. 鞘边界电位与玻姆判据
鞘边界内外离子通量守恒，即
ni ( x) ni ( xs )vi ( xs ) vi ( x) ni ( x) V ( xs ) V ( x)
探针视为半无限大平面）。鞘边界位 置记为 xs ，鞘外未扰动等离子体记为
x∞ ；相应地，探针表面电位、鞘边界
电位和鞘外未扰动等离子体电位分别 记为 V0、 Vs 和 Vp＝0 。由此 分析鞘
结构与未扰动等离子体参数之间的关
系。
2.2 鞘层结构分析 (1) —— 鞘内密度分布
鞘内电场通常由泊松方程决定
2. 粒子通量 在鞘边界附近（内和外），离子的速度也满足能量守恒关系：
1 1 mi vi2 ( x) eV ( x) mi vi2 2 2 对于冷等离子体（Te >>Ti ），可有 vi∞ = 0，故
vi(x)＝[– 2eV(x)/mi}1/2 (2.8)
同时注意到，对鞘外等离子体，由电中性条件知，离子密度亦服从 Boltzmann 分布， 即可用 (2.7) 式描述。这样，鞘外离子的通量密度 可写为：
2.1 单探针原理(3) —— V- I 特性曲线
如果在探针上 外加 一变化的偏置电压 V，探针的收集电流 I 将随之发生变化。如 图是一单探针的伏－安特性曲线示意图。图中A、B、C 3 个区分别对应 电子饱和 流 Ise 区、线性过渡区 和 离子饱和流 Isi 区。这条曲线是这么形成的： 对于未扰动等离子体，由气体动力论知，单位时间内由一侧进入通过单位面积的 粒子数（即粒子通量密度Γ）为
这里 n 是粒子数密度，v 是粒子平均热 速度。当探针插入等离子体中，且所加 电位 V 等于等离子体电位 Vp 时，这是 无鞘层形成，从远区到探针表面均为未 扰动等离子体区。接收面积 A 上接收到
的电流主要由电子电流确定：
(2.1)
（i） 电子饱和电流区 当 V > Vp 时，电子流被加速，离子流被排斥，在探针表面附 近形成电子鞘层。 定量分析表明，当 Te >> Ti 且 V－Vp >> kTe/e 时，探针收集的 电子电流可用随机热运动通量与有效收集面积的乘积来描述， 而流向探针表面的离子要克服 V－Vp 的电位势垒才能到达探 针表面，这相当于离子随机热运动电流乘以玻尔兹曼因子，即
而对鞘内电子密度分布，由(2.7)式知有
x ≦ xs
(2.11)
ne ( x) n exp[ eV ( x) / kTe ] ne ( x s ) exp[ eV ( x) V ( x s ) / kTe ] x ≦ xs
(2.12)
由鞘边界上准中性条件，可得 ne(xs) = ni(xs) ＝ ns ，这样鞘内电子泊松方程可写为 x ≦ xs 将上式右边对 V – Vs 作 Taylor 展开，得 (2.14) 上式只有在 中括号内的项为负 时，才有非振荡解，并且才能平滑地与未扰动区的 解相匹配。 (2.13)
vi ( xs ) 2eV ( xs ) mi Te mi Cs
(成正的电荷鞘，离子在等离子体中必须被加速使 其到达鞘边界时速度达到离子声速。因此，在鞘边界和未扰动等离子体区之间还存在 一小的渗透电场即 预鞘区，其作用就是使离子加速使其到达鞘边界时速度达到离子声 速，从而满足鞘边界上 Γe = Γi 。 概言之，在探针表面到未扰动等离子体存在 3 个区域：鞘层、预鞘区和等离子体区。 当 Bohm 判据不满足，即探针表面电位 V0 > Vs 时，探针周围就不会形成鞘层，这时准 中性条件直到探针表面均成立。 习题：证明：在 Bohm 判据满足条件下，通过鞘层表面的离子饱和流表达为 (2.2) 式。
由此导出 Vs ≦ –Te/2e (2.15)
这个条件称为 Bohm 判据(1949) 。它表明只有当离子到达鞘边界时其定向运动动能至 少等于 Te/2e 时，才能在探针表面附近形成正的电荷鞘层。有时也将 Bohm 判据 表述 为：同时满足鞘层和等离子体解的鞘结构形成条件是
Vs ＝ –Te/2e 由此判据可得鞘边界处离子定向运动速度为 (2.16)
I I si exp( 1 / 2)ene Ap Cs 0.61 e ne Ap Cs
这里 Cs kTe mi 是离子声速。这样，由过渡区斜率得到 Te，
带入上式后即可求得电子密度 ne 。
（ii）过渡区
当 Vf < V < Vp 时，探针周围将形成正电荷鞘层。探针电流仍是由随机热 运动进入鞘层所形成的电流。这时电子电流 Ie 为随机热运动电流（饱和电 子流 Ise ）乘以玻尔兹曼因子：
（2.4）
因此，由过渡区特性曲线斜率可求出等离子体电子温度 Te 。 由这些定性分析可见，鞘层的有无和特性对探针应用有重要影 响。以下我们定量分析鞘结构。
2.2 鞘层结构分析 (1) —— 鞘内密度分布
当V < Vp 时，探针周围的电位分布如 下图所示。这里，我们将坐标系原点
建立在探针表面上作一维分析（即将
(2.7)
即 鞘内电子密度满足 Boltzmann 分布。通常在测量离子饱和流
Isi 时, |V(x) | >> kTe/e 条件总是满足的，因此 (2.7) 式对各种探针 几何形状均成立。另外，由于鞘外等离子体呈电中性，故上述 (2.5) ~ (2.7) 式对离子也同样成立。
2.2 鞘层结构分析 (2) —— 粒子通量
2.1 单探针原理(2) —— 鞘层结构的形成
一根绝缘的探针金属丝 (tip) 深入等离子体后，探针表面将迅速收集等离 子体中电子、离子流向表面的 粒子通量。在局域热平衡 (Te = Ti) 条件下，电 子热速度远大于离子热速度，因此单位时间内打到探针表面的电子数远远超过 离子数，即探针表面收集到的主要是电子流，或相当于探针发射正电流。这样 很快就会在探针表面积累起负电荷，使探针表面电位（V0）相对于附近未扰动 等离子体电位 Vp 具有负值（这里所有电位均相对于装置地而言）。这个负电
1 I i ene Ap vi exp e(V V p ) Ti 4
它远小于电子饱和电流，即总电流仍为电子饱和流。这里 Ap 是探针有效接收面积。
（ii）离子饱和电流区 当 V < Vf ，特别是当 V < 5Te/e 时，绝大部分电子被探针表面 电场（离子鞘）所排斥，探针电流几乎是纯离子电流贡献:
(2.6)
上积分限 vc＝{ 2e [V(x) – V(x∞)] / kTe}1/2 是电子克服探针表面负
电位所需的最小速度；erf (t) 是误差函数。若在 x 处有 | V(x) – V(x∞) |＝ | V(x) | >> kTe/e，则 (2.6)式简化为
ne ( x) n exp[eV ( x) / kTe ]
位降将排斥电子吸引离子，从而在探针表面附近形成一 正的空间电荷鞘层
（扰动区域）。这层离子鞘逐渐增厚，直到单位时间内打到探针表面的电子数 与离子数相等为止。这时探针达到的电位称 悬浮电位 Vf 。通常这个电荷鞘局 限于探针附近几个德拜长度 λD 范围内，鞘层内电中性被破坏，存在强电场。 德拜长度 λD 定义为：
me f ( x, v ) f ( x , v ) n 2kT e
vc
1/ 2
1 2 m v ( x ) eV ( x ) 2 e exp kTe
(2.5)
e[V ( x) V0 ] eV ( x) 1 ne ( x) f ( x, v)dv n exp 1 erf 2 kT e kTe
2eV ( x) eV ( x) i ( x) ni ( x)vi ( x) n exp m kT i e
( x≧ xs )
(2.9)
在鞘内，没有离子的产生源，因而离子通量是常数，即打到探针表面的离子通量由鞘 边界上通量密度决定, Γi (x＝0) = Γi (xs)。而打到探针表面的电子通量密度则由随机热 运动通量乘以探针电位的 Boltzmann 因子
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
静电探针
单探针原理 鞘层结构分析 磁场的影响 碰撞的影响 其他影响 静电探针类型 应用示例
2.1 单探针原理(1)
一根与装置壁绝缘的（悬浮的）金 属丝就构成了最简单的 Langmuir 探 针（单探针）。深入到等离子体内 的介质会与等离子体产生激烈的相
I e I se exp e(V V p ) Te
而离子的收集，按 Bohm 的鞘层形成理论，鞘外有一 预鞘区，流向探针的 离子从未扰动等离子体区经 预鞘区加速并在鞘边界达到离子声速 Cs 。探针 表面收集到的是越过鞘边界的离子形成的电流，即离子饱和电流 Isi 。故此 时探针总电流为
mi e(V V p ) 1 I I e I si ene Ap Cs exp exp( ) 2 Te 2me
(2.3)
上式是在 Te >>Ti 的假设下导出的。但精确解表明它在 Te ≈ Ti 情形下仍成立。 同时可知，由静电探针的特性曲线是无法测定离子温度的。
（ii）过渡区
由 (2.3) 式移项后对 V 求导，即可得
Te e( I I si ) (d ( I I si ) dV ) e( I I si ) (dI dV )
( ii ) 刘维定理。一组粒子在相空间中占有的体积是常数，即
dxdv = const.，因而有
f (x,v) = f (x∞,v∞)； ( iii ) 能量守恒。即
1 1 2 2 me v ( x) eV ( x) me v 2 2
考虑到未扰动区域内电子速度分布服从 Maxwell 分布，故有
I VS V VP
互作用，从而形成对局域等离子体
分布的扰动（离子鞘或称 空间电荷 鞘）。探针的工作原理就是通过这 种扰动来获取局域等离子体参数信
息，但同时又不能破坏等离子体的
宏观平衡。了解这种扰动的形成机 制对于探针设计具有重要指导意义。
2.1 单探针原理(1) —— 运用的基本假设
单探针工作的基本假设： (1) 等离子体是无限、均匀的，且处处满足 准中性条件； (2) 不存在磁场 B = 0； (3) 等离子体是稀薄的，即平均自由程 λe , λi >> a 探针尺寸 （无碰撞等离子体）； (4) 探针周围的鞘层厚度 δ << a 探针尺寸； (5) 鞘外等离子体基本上不受探针干扰，即鞘外的电子、离子 速度分布仍服从 Maxwell 分布（热平衡稳态等离子体）； (6) 鞘内不产生二次电子发射，也不与探针材料发生反应； (7) 探针表面是无限大平面，边缘效应可忽略。
1. 鞘内密度分布 要获得 鞘内任意一点 x 处的电子密度 ne(x)，需将其局域速度 分布函数对速度积分。而 x 处的速度分布函数与鞘外 x∞ 处的 速度分布函数之间的关系由下述 3 点确定： ( i ) 粒子数守恒。即在相空间中沿一个粒子的径迹观察应有 下式成立： f (x,v) dx dv = f (x∞,v∞) dx∞ dv∞；
2.2 鞘层结构分析 (4) —— 鞘层厚度
考虑探针电位足够负情形下的泊松方程。此时鞘内电子密度可忽略（这在大多数情 形下是成立的，只要离子电流足够大）。因此有 (2.18)
这里通量密度 Γi 是常数。将上式乘以 dV/dx 并完成积分，得
(2.19) 这里已假定 dV/dx|xs= 0，即忽略了电子密度过渡区。只要该过渡区厚度只占总鞘层厚 度的一小部分，这样处理的误差不大。再次积分，得 (2.20)
e ( x 0)
1 n ve exp(eV0 kTe ) 4
(2.10)
2.2 鞘层结构分析 (3) —— 鞘边界电位与玻姆判据
3. 鞘边界电位与玻姆判据
鞘边界内外离子通量守恒，即
ni ( x) ni ( xs )vi ( xs ) vi ( x) ni ( x) V ( xs ) V ( x)
探针视为半无限大平面）。鞘边界位 置记为 xs ，鞘外未扰动等离子体记为
x∞ ；相应地，探针表面电位、鞘边界
电位和鞘外未扰动等离子体电位分别 记为 V0、 Vs 和 Vp＝0 。由此 分析鞘
结构与未扰动等离子体参数之间的关
系。
2.2 鞘层结构分析 (1) —— 鞘内密度分布
鞘内电场通常由泊松方程决定
2. 粒子通量 在鞘边界附近（内和外），离子的速度也满足能量守恒关系：
1 1 mi vi2 ( x) eV ( x) mi vi2 2 2 对于冷等离子体（Te >>Ti ），可有 vi∞ = 0，故
vi(x)＝[– 2eV(x)/mi}1/2 (2.8)
同时注意到，对鞘外等离子体，由电中性条件知，离子密度亦服从 Boltzmann 分布， 即可用 (2.7) 式描述。这样，鞘外离子的通量密度 可写为：
2.1 单探针原理(3) —— V- I 特性曲线
如果在探针上 外加 一变化的偏置电压 V，探针的收集电流 I 将随之发生变化。如 图是一单探针的伏－安特性曲线示意图。图中A、B、C 3 个区分别对应 电子饱和 流 Ise 区、线性过渡区 和 离子饱和流 Isi 区。这条曲线是这么形成的： 对于未扰动等离子体，由气体动力论知，单位时间内由一侧进入通过单位面积的 粒子数（即粒子通量密度Γ）为