完整版二项式定理学生讲义

完整版⼆项式定理学⽣讲义
⼆项式定理
[2013年⾼考会考】
1?⼆式定理是⾼考重点考内容之⼀.分⼀般
⼤；⽬⼀般、填空
2. ⾼考主要考⼆展开式和通的⽤，具体会涉及到求特定的或系数，以及⼆式系数等，是⾼考的必考点之⼀。

【复指】
⼆式定理的核⼼是其展开式的通公式，复要熟掌握个公式，注意⼆式定理在解决有关合数中的⽤.
基础梳理
1. ⼆式定理
n on nn ?
(a+ b) = Cna + Cna b+-+ C n a b ++ Cnb ( nw N )个公式所表⽰的定理叫⼆式定理，
r
右的多式叫(a+ b)门的 ------------------- .其中的系数 Cn(r =0,1
,…，n) ⼝」 ---- 系数.
rn -r b r
叫⼆展开式的，⽤T 表⽰，即通T
- c / n-rr
n
--------------- r+ 1
r + 1
n
2. ⼆展开式形式上的特点 (1) 数. __________
(2) 各的次数都等于⼆式的指数
n,即a 与b 的指数的和 _
—
(3) 字母a 按— 排列，从第⼀开始，次数由 n 逐减 1直到零;字母
b 按—排列，从第⼀
起，次数由零逐增
1直到n.
1
n — 1 n
⑷⼆式的系数从Co , Cn, —直到 Cn , Cn.
3. ⼆式系数的性
n+ 1
⑵增减性与最⼤：⼆式系数
Cn,当k< 2
半部分是逐减⼩的；当n 是偶数，中⼀ T n
⼆式系数取得最⼤；
中两T n
1 5 T n 1的⼀式系数相等且最⼤。

(3)各⼆式系数和:
1
3
5 ■⼔
* U 4 ■
n n
n
5?9分?考⽐定，度起伏不
(1)称性:与⾸末两端“等距离”的两个⼆式系数
------ ?即 Cn= Cn
⼆式系数逐
.由称性知它的后
1.（1 + 2x）5的展开式中，X?的系数等于（
B. 40 C ? 20 D 2?若(1 + 畅5=a+b\E(a,
A. 45
B. 55 C ? 70 D 双基⾃测
)?
10
a+ b=(
80
3.若(x- 1)
A . 9 4 0 1 2 2
= a + ax+ax + ax + ax ,
B. 8 C ? 7 D
0 2
a + a+
6
4. (2011 ?重）（1 + 3x）n（其中n w N且n>6）的展开式中
A. 6
B. 7 C . 8 D . 9
21 0 1 2 2 21 5. (2011 ?安徽)(x— 1) = a + a x+ a x H—I- a
题型精炼21 X ,
考向⼀⼆展开式中的特定或特定的系数
3 \
【例1】已知在（3 X⼚______ ）n的展开式中，第6常数.
⽯
⑴求n ；
⑵求含x2的的系数；
（3）求展开式中所有的有理?
⽅法：
[1】（2011 ?⼭）若鱼）6展开式的常数
X
)?
的()?
X：与x6的系数相等，n =().
10 11
+ a = __________ .
60,常数a的 _____________ .
考向⼆⼆式定理中的
【例2】⼆式(2 x- 3y)9的展开式中，求:
(1)⼆式系数之和；
⑵各系数之和；
(3)所有奇数系数之和.
⽅法：
[ 7 +a 2 7
2J E?C 11 -2x1 - a K* ai * ? ax
0 1 2 7
求：⑴ a + a 4—⼘a ;(2) a+ a +a + a ;(3) a + a + a + a ;(4)| a | + | a | + | a | 4—⼘| a |.
1 2 7 1 3 5 7 0 2 4 6 0 1 2 7
考向三⼆式的和与
【例3] (1 + 2x) 3(1 ⼀x) 4展开式中x的系数 ______________ .答案：2
⽅法：______________________________________________________________________________________式3:求X(1 x)4 x2 (1 2x) 8 x 3 (1 3x)12展开式中x °的系数。

当堂达标
1.已知（2a? l）n的展开式的常数是第七，正整数n的（
a
A . 7 B. 8 C. 9 D. 10
2.若(2x
<3)4 ao ai x a2 x2 a3 x3 a4 x 4 , ( ao a2 a4 ) 2 (ai a3 ) 2⽩勺
( \
\ )
A.1
B.-1
C.0
D.2
3. n⾃然数，C n° 2" C n1 2n】(1)k Cn k2n k ( 1)n C n n等于()
A. 2"
B.0
C.-1
D..1
4.若多式x3 + x10-=ao+ ai(x+ 1)+…+ ag(x+ 1) 9 + aio(x+ 1)10, ag=( ).
A. 9
B. 10
C. — 9
D. ⼀10
1 10
5.求(1X2）的展开式的常数。