2019-2020学年山西省运城市高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年山西省运城市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合1
282x M x ⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭
Z
,{}14N x x =-≤≤,则M N ⋂中元素个数为( ) A ．1 B ．3
C ．6
D ．无数个
【答案】B
【解析】求出集合M ，利用交集的定义得M N ⋂，即可得到结论. 【详解】
由题意得，{}{}1
28|130,1,22x M x x Z x ⎧⎫=∈<<=∈-<<=⎨⎬⎩⎭
Z
，{}14N x x =-≤≤，
所以{}0,1,2M N =I ，即M N ⋂中元素的个数是3. 故选：B. 【点睛】
本题考查了交集的元素，求出不等式解集中的整数解确定出两集合是解题的关键，属于基础题.
2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( ) A ．分层抽样法，系统抽样法 B ．分层抽样法，简单随机抽样法 C ．系统抽样法，分层抽样法 D ．简单随机抽样法，分层抽样法
【答案】B
【解析】此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样． 【详解】
依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法． 故选B ．
本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查． 3．设函数()lg(1)f x x =-，则函数(())f f x 的定义域为（ ） A ．(9,)-+∞ B ．(9,1)-
C ．[9,)-+∞
D ．[9,1)-
【答案】B
【解析】分析：先列出满足条件的不等式，()1x 0,1lg 1x 0->-->，再求解集． 详解：复合函数()()
f f x 的定义域满足1x 0->且()1f x 0->，即是
()1x 0,1lg 1x 0->-->，解得()x 9,1∈-，故选B
点睛：在抽象函数中，若已知()f x 的定义域()x a,b ∈，那么复合函数(())f g x 的定义
域指的是()g x a,b ∈（）关于x 的解集．若已知复合函数(())f g x 的定义域()x a,b ∈，()g x 的值域为()f x 的定义域．
4．已知某运动员每次投篮命中的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4,5,6,7,8表示命中,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
据此估计,该运动员三次投篮均命中的概率为( ) A ．0.40 B ．0.45
C ．0.50
D ．0.55
【答案】C
【解析】根据在这20组数据中，表示该运动员三次投篮均命中的有10组，从而得出结论. 【详解】
在这20组数据中，表示该运动员三次投篮均命中的有： 271,812,458,683,431,257,556,488,113,537，共10组， 所以，估计该运动员三次投篮均命中的概率为101
0.50202
==. 故选：C.
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题. 5．函数3
21
y x =
-的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案． 【详解】 ∵函数3
2()1
f x x =
-∴3
2
()()1
f x f x x -=
=--
∴函数3
2
()1
f x x =
-
当x 向右趋向于1时，()f x 趋向于+∞，故排除D ； 当x 向左趋向于1时，()f x 趋向于-∞，故排除B 、C. 故选A. 【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除
6．已知函数()26
log 21
f x x x =--+.在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( ) A ．()0,1 B ．()1,3
C ．()3,5
D ．()5,7
【答案】D
【解析】函数()f x 在其定义域上连续，同时可判断()50f <，()70f >，从而判断. 【详解】
函数()26
log 21
f x x x =-
-+，在其定义域上连续，
又()22
55log 53log 08f =-=<，()223
7log 72log 04
f =--=>， 故函数()f x 的零点在区间()5,7上. 故选：D. 【点睛】
本题考查了函数的零点的判断与应用，属于基础题.
7．已知函数()()1ln
11x x
x
f x e e x
--=+++,若()ln 2f a =,则1ln 2f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为( ) A ．a B ．a -
C ．2a -
D ．
1a
【答案】C
【解析】根据题意，设()()1g x f x =-，分析可得()g x 为奇函数，则有
()1ln 2ln 02g g ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，进而计算即可.
【详解】
根据题意，函数()(
)1ln 11
x
x
x
f x e e
x
--=+++，有101x x ->+，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为()1,1-， 设()()(
)11ln 1x
x
x
g x f x e e
x
--=-=++， 则()(
)()()11ln ln
11x
x
x
x x
x
g x e e
e e g x x
x
--+--=+=-+=--+，即函数()g x 为奇函数， 则有()1ln 2ln
02g g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()1ln 21ln 102f f ⎛⎫
-+-= ⎪⎝⎭
，又()ln 2f a =，
所以1ln
22f a ⎛
⎫
=- ⎪⎝⎭
.
故选：C. 【点睛】
本题考查函数的奇偶性的判断以及应用，判断函数的奇偶性是解题的关键，属于基础题. 8．正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,记为()N n MODm ≡,例如()2516MOD ≡.如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”,若执行该程序框图,当输入49N =时,则输出结果是( )
A ．58
B ．61
C ．66
D ．76
【答案】B
【解析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为1的数，根据所给的选项，得出结论. 【详解】
模拟程序的运行，可得49N =，50N =， 不满足条件()13N MOD ≡，51N =； 不满足条件()13N MOD ≡，52N =；
满足条件()13N MOD ≡，不满足条件()15N MOD ≡，53N =；
不满足条件()13N MOD ≡，54N =；不满足条件()13N MOD ≡，55N =； 满足条件()13N MOD ≡，不满足条件()15N MOD ≡，56N =；
不满足条件()13N MOD ≡，57N =；不满足条件()13N MOD ≡，58N =； 满足条件()13N MOD ≡，不满足条件()15N MOD ≡，59N =；
不满足条件()13N MOD ≡，60N =；不满足条件()13N MOD ≡，61N =；
满足条件()13N MOD ≡，满足条件()15N MOD ≡，输出61N =. 故选：B. 【点睛】
本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题.
9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[)0,+∞单调递减,()3log 4a f =,()9log 0.1b f =,()0.6
5c f =,则a ,b ,c 的大小关系为( )
A ．b c a >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．a b c >>
【答案】C
【解析】根据奇偶性得：()(
)(993log 0.1log 10log b f f f ===，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调性即可. 【详解】
由()f x 是定义在R
上的偶函数，又9931
log 0.1log log 10
==-∴(
)(
(99
331log 0.1log log log 10b f f f f ⎛⎫
===-= ⎪⎝⎭
，
而0.50.6331log log 4255<<<<<，且()f x 在[)0,+∞单调递减，
∴(()()0.6
33log log 45f f f >>，即b a c >>.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系，属于基础题.
10．函数()()2lg ,062,0
x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩则关于x 的方程()()2230f x f x +-=⎡⎤⎣⎦的根的
个数是( ) A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】B
【解析】作出()f x 的图象，解得方程()3f x =-或()1f x =，数出根的个数即可. 【详解】
作函数()f x 的图象，如下图：
由方程()()2
230f x f x +-=⎡⎤⎣⎦，即()()310f x f x +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 解得()3f x =-或()1f x =，由图象可知，方程的根的个数为6个. 故选：B. 【点睛】
本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解，属于基础题.
11．若即时起10分钟内,甲乙两同学等可能到达某咖啡厅,则这两同学到达咖啡厅的时间间隔不超过3分钟的概率为( ) A ．0.3 B ．0.36
C ．0.49
D ．0.51
【答案】D
【解析】由几何概型中的面积型得：1
277
210.511010
S P S ⨯⨯⨯==-=⨯阴正，即可得解.
【详解】
设甲、乙两同学等可能到达某咖啡厅的时间为(),x y ，则010x <≤，010y <≤，其基本事件可用正方形区域表示，如图，
则甲、乙两同学等可能到达某咖啡厅的时间间隔不超过3分钟的事件为A ， 则事件A 为：3x y -≤，其基本事件可用阴影部分区域表示，
由几何概型中的面积型可得：1277
210.511010
S P S ⨯⨯⨯==-=⨯阴正.
故选：D. 【点睛】
本题考查了几何概型中的面积型，属于基础题.
12．已知函数()()2
11
,124log 3,1x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+≥⎩,()2
21g x ax x a =++-.若对任意的1x ∈R ,
总存在实数[)20,x ∈+∞,使得()()12f x g x =成立,则实数a 的取值范围为( ) A ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．50,4⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．5,
4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】A
【解析】求出函数()f x 的值域，结合对任意的1x R ∈，总存在实数[)20,x ∈+∞，使得
()()12f x g x =成立，转化为()f x 的值域是函数()g x 值域的子集即可.
【详解】
当1x ≥时，()()()222log 3log 13log 42f x x =+≥+==，
当1x <时，()1
1111124244
x f x ⎛⎫⎛⎫=->-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的值域为1,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
，
设()g x 的值域为A ，若对任意的1x R ∈，总存在实数[)20,x ∈+∞，使得
()()12f x g x =成立，则等价转化为1
,4A ⎛⎫+∞⊆ ⎪⎝⎭
，
当0a <时，不满足条件；
当0a =时，()21g x x =-，又[)0,x ∈+∞，则()211g x x =-≥-，即[)1,A =-+∞， 满足1,4A ⎛⎫+∞⊆ ⎪⎝⎭
，即符合题意； 当0a >时，函数的对称轴为1
0x a
=-<，则()g x 在[)0,+∞上为增函数， 则()g x 的最小值为()01g a =-， 要使1,4A ⎛⎫+∞⊆ ⎪⎝⎭，则114a -≤
，即54
a ≤. 综上504a ≤≤，即实数a 的取值范围是50,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的值域，结合条件转化为两个函数值域的子集关系是解决本题的关键，属于中档题.
二、填空题
13．
)
2
3
481log 827⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭
______.
【答案】
13
【解析】直接利用指数，对数运算法则求解即可. 【详解】
)
2
3
2
3
2
3
4282323
211log 81log 2112732
3233⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫--⨯=--⨯=-⨯=-=⎢⎥ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦.
故答案为：13
. 【点睛】
本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.
14．已知函数()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且
()()21x f x g x e x +=++,则()g x =______.
【答案】()12
x x e e -- 【解析】将方程中的x 换成x -，然后利用奇偶性可得另一个方程，联立解得即可.
【详解】
∵()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2
1x
f x
g x e x +=++，
∴()()()2
1x f x g x e x --+-=+-+，即()()21x
f x
g x e
x --=++，
两式相减可得()2x
x
g x e e -=-，即()()12
x x
g x e e -=
-. 故答案为：()12
x x
e e --. 【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用，考查利用方程组的方法求函数解析式，属于基础题.
15．若函数()12
23log 22f x ax x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭在区间(),1-∞上单调递增,则实数a 的取值范围是______. 【答案】1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】令()2
3
22
t x ax x =-+
，对a 分类讨论，进而求得a 的取值范围. 【详解】
由题意，令()2
3
22
t x ax x =-+
，因()f x 在区间(),1-∞上为单调递增，则()t x 在区间(),1-∞为减函数，且()0t x >， 当0a <时，不符合题意舍去；
当0a =时，()3
22
t x x =-+为减函数，但由()0t x >得3
4x <不符合题意，故舍去； 当0a >时，()2
322
t x ax x =-+为开口向上，对称轴为1
0x a
=
>的抛物线， 所以，由题意可得11x a =≥，且()1
102
t a =-≥，
解得1
12
a ≤≤.
故答案为：1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题
16．已知函数()1
x
f x x =
-,()1,1x ∈-有以下结论:①任意()1,1x ∈-,等式()()0f x f x -+=恒成立;②任意[)0,m ∈+∞,方程()f x m =有两个不等实数根;
③存在无数个实数k ,使得函数()()g x f x kx =-在()1,1-上有3个零点;④函数()f x 在区间()1,1-上单调递增.其中正确结论有______. 【答案】①③
【解析】①根据函数奇偶性的定义判断函数是奇函数即可；②判断函数()f x 的奇偶性和最值即可判断；③根据函数图象以及函数奇偶性的性质进行判断；④根据图象即可判断. 【详解】 ①∵()1
x
f x x =
-，()1,1x ∈-， ∴()()11
x x
f x f x x x --=
=-=----，()1,1x ∈-，
即函数()f x 为奇函数，故()()0f x f x +-=恒成立，即①正确； ②∵()1
x
f x x =
-，()1,1x ∈-为奇函数， ∴()f x 为偶函数，
∴当0m =时，方程()f x m =只有一个实根， 当0m >时，方程()f x m =有两个不等实根， 即②错误；
③由()()0g x f x kx =-=，即()f x kx =， ∴()00f =，即0x =是函数的一个零点， 又∵函数()f x 为奇函数，且在()1,1-上单调递减，
∴可以存在无数个实数k ，使得函数()()g x f x kx =-在()1,1-上有3个零点，
故③正确；
④根据③中的图象知，函数()f x 在区间()1,1-上单调递减，故④错误. 故答案为：①③. 【点睛】
本题主要考查分式函数的性质，利用函数奇偶性，单调性以及数形结合是解决本题的关键，综合性强，属于中档题.
三、解答题 17．已知全集
{}65U x x =-≤≤,21log ,48M y y x x ⎧⎫
==≤≤⎨⎬⎩⎭
,{}02N x x =<<.
(1)求()
U M N ⋂ð;
(2)若{}
21C x a x a =≤≤-且C M M ⋃=,求实数a 的取值范围.
【答案】(1){|30x x -≤≤或 }2x =;(2)3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
. 【解析】（1）求得{}
32M x x =-≤≤，再利用补集和交集的定义即可；
（2）)由C M N ⋃=得C M ⊆,再对集合C 分C =∅和C ≠∅且C M ⊆，讨论即可. 【详解】
(1)由题意可得{}
32M x x =-≤≤,{}
02N x x =<<, ∴{|60U C N x x =-≤≤或}25x ≤≤ , ∴()
{|30U M N x x ⋂=-≤≤ð或 }2x =.
(2)由C M M ⋃=得C M ⊆, 当C =∅时,∴21a a >-,∴1a <,
当C ≠∅且C M ⊆时,332112212
a a a a a ≥-⎧⎪⎪
≤-⇒≤≤⎨⎪
-≤⎪⎩,
所以a 的取值范围3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
. 【点睛】
本题考查了集合的定义与运算问题，属于基础题.
18．某市公交公司为了鼓励广大市民绿色出行,计划在某个地段增设一个起点站,为了研究车辆发车的间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系,经过抽样调查五个不同时段的情形,统计得到如下数据:
调查小组先从这5组数据中选取其中的4组数据求得线性回归方程,再用剩下的1组数
据进行检验,检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数ˆy ,再求ˆy
与实际等候人数y 的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求的回归方程是“理想回归方程”.
(1)若选取的是前4组数据,求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+,并判断所求方程是否是“理想回归方程”;
(2)为了使等候的乘客不超过38人,试用所求方程估计间隔时间最多可以设为多少分钟?
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+的系数公式: ()()()
1
1
2
2
2
1
1
ˆn n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y n x y
b
x x x
nx ====---⋅⋅==
--∑∑∑∑,ˆˆa
y bx =-.
【答案】(1)ˆ 1.7 2.3y
x =+,是;(2)21分钟. 【解析】（1）由题意可得ˆb
与ˆa 的值，进而可得线性回归方程，再利用16x =，得到ˆy 的值，与题中给出的ˆy
值作差，与1比较大小得结论； （2）结合（1）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间. 【详解】 (1)∵8101214114x +++=
=,16192326
214
y +++==,
()()()()()()4
135********i
i
i x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑,
()()()
4
22
221
311320i i x x =-=-+-++=∑,
∴()()
()
4
1
4
2
1
34
ˆ 1.720
i
i
i i
i x x y y b
x x ==--==
=-∑∑. ∴ˆˆ21 1.711 2.3a
y b x =-⋅=-⨯=,∴ˆ 1.7 2.3y x =+. 当16x =时,ˆ 1.716 2.329.5y
=⨯+=,29.5290.51-=<, 所以方程ˆ 1.7 2.3y
x =+是“理想回归方程”. (2)由1.7 2.338x +≤,得21x ≤. ∴估计间隔时间最多可以设置为21分钟. 【点睛】
本题主要考查线性回归方程的计算及其应用，属于基础题. 19．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+,且对一切0x >,0y >都有
()()()f xy f x f y =+,当1x >时,()0f x >.
(1)判断()f x 的单调性并加以证明;
(2)若()42f =,解不等式()()211f x f x >-+.
【答案】(1)()f x 在()0,∞+上为增函数,证明见解析;(2)122
3x
x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭.
【解析】（1）利用定义即可证明()f x 在()0,∞+上为增函数；
（2）由题意可得()21f =，进而将不等式转化为()()42f x f x >-，再利用（1）解得即可. 【详解】
(1)()f x 在()0,∞+上为增函数, 证明如下:任取1x ,()20,x ∈+∞且12x x <, 则()()()()()222211111111x x x f x f x f x f x f x f f x f x x x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-=⋅
-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 又因为当1x >时,()0f x >,而2
1
1x x >, 所以()()22110x f x f x f x ⎛⎫
-=>
⎪⎝⎭
,所以()()21f x f x >, 所以()f x 在()0,∞+上为增函数.
(2)由定义域可得0210
x x >⎧⎨->⎩,解得1
2x >,
由已知可得()()()4222f f f =+=,
所以()21f =,()()()()21121242f x f x f f x -+=-+=-, 所求不等式可转化为()()42f x f x >-. 由单调性可得42x x >-,解得23
x <, 综上,不等式解集为122
3x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性的判定以及应用问题，考查抽象函数解不等式问题，属于基础题. 20．某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在[]25,85之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:
(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;
(2)学校从参加调查的年龄在[)35,45和[)65,75的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在[)35,45的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在[)65,75的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率. 【答案】(1)60,560
7
;(2)4
5.
【解析】（1）直接利用频率分布直方图求得平均数和中位数即可；
（2）利用分层抽样可得6人中年龄在[]35,45内有2人，设为a 、b ，在[]65,86内有4人,设为1,2,3,4，写出基本事件，利用古典概型即可. 【详解】
(1)这100位留言者年龄的样本平均数,
300.05400.1500.15600.35700.2800.1560⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,
年龄在[)25,55中的频率为:0.050.100.150.30++=, 年龄在[)25,65中的频率为:0.050.100.150.350.65+++=, 中位数在区间[)55,65中, 中位数为0.500.3055510600.357
-+
⨯=.
(2)根据分层抽样原理,可知这6人中年龄在[]35,45内有2人,设为a ､b , 在[]65,86内有4人,设为1､2､3､4.
设事件A 为“这3位发言者所得纪念品价值超过2300元”.
从这6人中选3人的所有基本事件有:1ab ､2ab ､3ab ､4ab ､12a ､13a ､14a ､23a ､
24a ､34a ､12b ､13b ､14b ､23b ､24b ､34b ､123､124､134､234,共20个.
其中事件A 的对立事件即3个人都是年龄[]65,75内, 包含的有123､124､134､234,共4个.
(写出事件A 的基本事件个数也可以) 所以()44
1205
P A =-=., 【点睛】
本题考查平均数、中位数，古典概型，在解题过程中要求学生算数要准确，频率分布直方图不要混淆各组数据的值，属于基础题.
21．设二次函数2
()f x ax bx c =++在区间[2,2]-上的最大值、最小值分别为M m 、，集合{|()}A x f x x ==.
（1）若{1,2}A =，且(0)2f =，求()f x ；
（2）若{2}A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值. 【答案】（1）2
()22f x x x =-+；（2）
634
【解析】（1）先求得0c =；若{1A =，2}，则说明()0f x x -=两根为1，2．利用韦达定理求a ，b ，再利用二次函数图象与性质求解;（2）若{2}A =，得到方程
()0f x x -=有两个相等的解都为2，根据韦达定理求出a ，b ，c 的关系式，根据a 大
于等于1，利用二次函数求最值的方法求出在[2-，2]上的m 和M ，代入g （a ）
m M =+中得到新的解析式g （a ）根据g （a ）的在[1，)+∞上单调增，求出g （a ）的最小值为g （1），求出值即可． 【详解】
（1）(0)2f =Q ，2c ∴=
{1A =Q ，2}，2(1)20ax b x ∴+-+=有两根为1，2．
由韦达定理得2
12112a
b a ⎧=⨯⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩∴12a b =⎧⎨=-⎩
2()22f x x x ∴=-+
（2）若{2}A =，方程2
(1)0ax b x c +-+=有两相等实根122x x ==，
根据韦达定理得到122b a -+=-
，22c
a
⨯=，所以4c a =，14b a =-， 22()(14)4f x ax bx c ax a x a ∴=++=+-+，[2x ∈-，2]
其对称轴方程为4113
2[,2)222
a x a a -=
=-∈ (2)162M f a ∴=-=-，11
(2)224m f a a
=-
=- 则g （a ）1116221644M m a a a a
=+=-+-
=- 又g （a ）在区间[1，)+∞上为单调递增的，
∴当1a =时，g （a ）1631644
min =-=
【点睛】
本题主要考查学生灵活运用韦达定理解决实际问题，掌握利用数形结合法解决数学问题，会求一个闭区间上二次函数的最值． 22．已知函数()()
ln 41x
f x ax =+-是偶函数.
(1)求实数a 的值; (2)设函数()()2ln 2
f x x
g x e
+=,对于任意的1x ,()222log ,log 2x m m ∈+⎡⎤⎣⎦,其中m ∈R ,
都有()()1228g x g x -≤,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)ln 2;(2)(]0,1.
【解析】（1）根据题意，由偶函数的性质可得()()f x f x =-，即
()41
ln ln 414
x x x ax ax ++=+-，变形分析可得答案；
（2）根据题意可得()82x
x
g x =+，由题意可将不等式转化为()()max min 28g x g x -≤，
令2x t =，进而转化为解不等式26121028m m ++≤，由此即可得到结论. 【详解】
（1）由()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，又
()()41
ln 41ln 4
x x
x f x ax ax -+-=++=+,
所以()()41ln ln 41ln 4ln 414
x x x x x
ax ax ax ++=+-+=+-, 即2ln 42ln 2x ax x ==,解得ln 2a =.
（2）由（1）可得，()()
ln 41ln 2x
f x x =++，则
()()()
ln 41ln 2
2ln 2
82x x f x x x x g x e
e
+++===+,
对于任意的1x ,()222log ,log 2x m m ∈+⎡⎤⎣⎦都有()()1228g x g x -≤, 所以()22log ,log 2x m m ∈+⎡⎤⎣⎦时,()()max min 28g x g x -≤, 令2x t =,则3y t t =+,[],2t m m ∈+,因为单调递增,
所以()()()()
3
3
2
max min 2261210g x g x m m m m m m -=+++-+=++,
所以26121028m m ++≤,解得31m -≤≤. 又因为0m >,实数m 的取值范围(]0,1. 【点睛】
本题考查函数奇偶性的性质，不等式恒成立的转化，解一元二次不等式，属于中档题.。