第2课时 互余两角的三角函数关系.ppt
新北师大版九年级数学下册《三角函数的计算》优质ppt教学课件
上表的显示结果是以“度”为单位的，再按 ˚ ′ ″ 键即可显示 以“度、分、秒”为单位的结果.
根据上述方法你能求出问题1中∠A的大小吗？
sin A = 1 = 0.25. 按键顺序和显示结果为
4
SHIFT sin 0 · 2 5 = 14.477 512 19°
再按 ° ′ ″ 键可显示14˚28′39″，所以∠A=14˚28′39″.
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
知识点1 利用计算器求锐角三角函数值
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5.若用科学计算器 求边AC的长,则下列按键顺序正确的是( D )
D 39°
E
45°
C
A
【解析】（1）由题意，AC＝AB＝610 米.
（2）DE＝AC＝610米，
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝ BE ，
DE
故BE＝DEtan39°． 因为CD＝AE，
所以CD＝AB－DE·tan 39°
＝610－610×tan 39°≈116（米）. 答：大楼的高度CD约为116 米．
B．sin65°54′-sin35°54′=sin30°
C．2sin15°30′=sin31°
D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′
•2. 已知sin α＝1 ，求α，若用科学计算器计算且结果以“度、分、秒
2
”为单位，最后按键(D )
•A．AC/ON
B. SHIFT
C．MODE
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》精品课件PPT
都来当个小专家！
A
B 咋 办
2 如图,水库大坝的截面是梯形
ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底
D
BC=30m,∠ADC=1350. (1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个 C 大坝共需多少土石方(结果精确到
0.01m3 ).
先构造直 角三角形!
2020年北师大版九年级数学下册1.5《 三角函 数的应 用》课 件（共 16张pp t）
1 如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的
高度为20m,求此斜坡的倾斜角. 2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点 A
C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又 A
测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结
果精确到0.1m).
B
3. 如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯 形,其中燕尾角∠B=550,外口宽AD=180mm, 燕尾槽的尝试是70mm,求它的里口宽BC(结 果精确到1mm).
北师大版九年级数学下册 2020年北师大版九年级数学下册1.5《三角函数的应用》课件（共16张ppt）
2020年北师大版九年级数学下册1.5《 三角函 数的应 用》课 件（共 16张pp t）
2020年北师大版九年级数学下册1.5《 三角函 数的应 用》课 件（共 16张pp t）
直角三角形的边角关系
看我露一手
解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只
要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无
触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC=
20海里.设AD=x,则
北
A
tan 550 BD , tan 250 CD ,
人教版九年级数学课件《特殊角的三角函数值》
第二十八章第1节
特殊角的三角函数值
PEOPLE
EDUCATION
学校：XXXX
VERSION
OF
THE
老师：XXXX
NINTH
GRADE
MATH
VOLUME
学习目标
人教版数学九年级下册
1.运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数
值.(重点)
2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.(难点)
1
A.
2
B.
3
2
C.
3
3
3.在△ABC中，若cosA=
A.锐角三角形
D. 3
2
,tanB=
2
B.直角三角形
3，则这个三角形一定是( A)
C.钝角三角形
D.等腰三角形
人教版数学九年级下册
达标检测
4.在△ABC中，若 sinA −
1
2
1 2
+(cosB- ) =0,则∠C为(
2
D)
A.30° B.45° C.60° D.90°
BC
7
∴ ∠B=60°
∴ ∠A=90°-∠B=30°
人教版数学九年级下册
人教版数学九年级下册
人教版数学九年级下册
针对练习
已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2 ＋|sinB－
试判断△ABC的形状．
3
解：∵
|sinB－
|＝0，
2
3
∴ tanA＝1，sinB＝ ，
2
(1－tanA)2 ＋
∴sin2A+cos2A=
三角函数的有关计算 直角三角形的边角关系PPT优秀课件4
7.由锐角的三角函数值反求锐角
填表:已知一个角的三角函数值,求这个 角的度数(逆向思维)
∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A=
1．（2010·丹东中考）计算：
24 2(2 cos 45 sin 60) 4
2 3 2 6 原式 2(2 ) 2 2 4
二、用直角三角形边和角 的关系解决实际问题
例1.如图,当登山缆车的吊 箱经过点A到达点B时,它走 过了200m.已知缆车行驶的 路线与水平面的夹角为 ∠α=160,那么缆车 垂直上升的距离是多少?
如图,在Rt△ABC中, ∠C=90°,BC=ABsin160 . 你知道sin160等于多少吗? 利用科学计算器可以求得: BC=ABsin160 ≈200×0.2756≈55.12.
当缆车继续从点B到达点D时,它 又走过了200m.缆车由点B到点D的 行驶路线与水平面的夹角为 ∠β=420,由此你不能计算什么?
在Rt△BED中, DE=DBsin42°
BC=200sin42° 所以山高为： BC+DE=200sin42°+ 200sin16° =200(sin42°+ sin16°)
0.275635355 0.743144825 11.4300523 0.954450312
计算器的型号与功能可能不同,请按相应的说明书使用.
练一练
1 用计算器求下列各式的值: (1)sin560,(2)sin15049′, (3)cos200,(4)tan290, (5)tan44059′59″,(6)sin150+cos610+tan760.
a
A
α β
B
C A
β ┌
直角三角形的边角关系三角函数的计算讲课课件
互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB,tanA*tanB=1.
同角之间的三角函数关系:
sin2A+cos2A=1.
sin A tan A . cos A
特殊角300,450,600角的三角函数值.
例1 小山顶上有一电视塔，在 山脚C处测得塔顶A、塔底B的 仰角分别为45°和30°. 若塔高AB = 40m，则山高BD ≈ m（精确到1m)；
第一章 直角三角形的边角关系
1.3.1 三角函数的有关计算
回顾与思考
直角三角的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. A+B=900. 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余
a sin A cos B , c
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
b cos A sin B , c
a sin A , c b cos A , c a tan A , b
a c sin A. b c cos A.
a b tan A.
a c . sin A b c . cos A a b . tan A
A
作业布置
习题1.4 1,2题;
A
B
C 图1-13
D
1 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余各 边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
4cm
450 300
B
C
2 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余 各边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
0 300 45 ┌ B 4cm C D
小结拓展 直角三角形中的边角关系
已知两边求角 已知一边一角 已知一边一角 及其三角函数 求另一边 求另一边 B c ┌ b C a
北师大版九年级下册数学1.1锐角三角函数第2课时课件
合作探究
1.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，则sin A＝
A＝
1 .
，tan
合作探究
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，
MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值.
合作探究
解:在Rt△AMN中，由勾股定理可得MN＝ − ＝ ，
则sin∠ABC等于
.
合作探究
B等于(
A.
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝B )B. NhomakorabeaC.
，则sin
D.1
方法归纳交流 通常已知边的比值，不能直接求三角函数
值，可采用设辅助未知数“k”来解决.
合作探究
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝1，sin
B＝ ，求菱形的边长.
是(
A )
A.
B.
C.
D.
2.在△ABC中，∠C＝90°，cos
8 .
A＝ ，AB＝10，则BC＝
合作探究
＝
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则cos B
.
如图，P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为(3，4)，
则sin α＝
，cos α＝
.
合作探究
变式训练
如图，△ABC的顶点都在正方形网格中的格点上，
∴cos
∠AMN＝ ＝ ，
∵∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠AMN＝90°，
∴∠B＝∠AMN，
三角恒等变换课件
解答
根据三角函数的基本关系式，我们有 $cos^2theta = 1 - sin^2theta$，代入 $sintheta = -frac{2}{3}$， 得到 $cos^2theta = 1 - left(-frac{2}{3}right)^2 = 1 - frac{4}{9} = frac{5}{9}$，所以 $costheta = sqrt{frac{5}{9}} = frac{sqrt{5}}{3}$。再根据 $tantheta = frac{sintheta}{costheta}$，得到 $tantheta = frac{-frac{2}{3}}{frac{sqrt{5}}{3}} = sqrt{frac{2}{5}} = -frac{sqrt{10}}{5}$。
举例
利用诱导公式，将cos(π/2 - x) 转换为sin(x)，通过角度的变换
简化表达式。
函数名称的变换
总结词
通过改变函数名称来简化表达式。
详细描述
在三角恒等变换中，有时可以通过改变函数名称来简化表达式。例如，将cos(x)转换为sin(-x)，或将sin(x)转换为 cos(π/2 - x)等。这种变换通常基于三角函数的性质和恒等式。
三角恒等变换课件
目录
• 三角恒等变换概述 • 三角恒等变换的基本公式 • 三角恒等变换的技巧 • 三角恒等变换的实例解析 • 三角恒等变换的习题与解答
01
三角恒等变换概述
定义与性质
定义
三角恒等变换是数学中一种重要 的变换方法，通过代数运算将一 个三角函数式转换为另一个三角 函数式。
性质
三角恒等变换具有一些重要的性 质，如线性性质、乘积性质、幂 的性质等，这些性质在变换过程 中起着重要的作用。
特殊角的三角函数值 课件
3
2
（3） 1 3 2 2 （4）
2 1 2 3 1 8 4 8 4
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为 30°,高为7m,扶梯的长度是多少?
B 【解析】如图所示,BC=7，
∠A=30°
sinA=
BC 7 1 AB AB 2
C
A
∴AB=14
即扶梯长度为14m.
1.计算: (1)sin60°-cos45°; (2)cos60°+tan60°;
300
1 2
2 2
3 2
2 2
3 3
450 600
1
3
3 2
1 2
考考你的记性
例1 计算: (1)sin300+cos450;(2) sin2600+cos2600+tan450.
解（１） 解 （２）
sin 30 cos 45
0
0
sin 60 cos 60 tan45
2 0 2 0
45°
45°
┌
60°
┌
(4)sin45°,sin60°等于多少? (5)cos45°,cos60°等于多少?
45°
30°
(6)tan45°,tan60°等于多
少? 老师期望:
45°
┌
60°
┌
根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函 数值表>
特殊角的三角函数值表
三角函数 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα
锐角α
0
1 2 2 2
3 1 1 2 2
2
2
1 2 2
怎样计算？ 提示
3 1 1 4 4 2
30度45度60度角的三角函数值ppt课件
的关系,且它更具有灵活变换的特点,若能予以
掌握,则将有益于智力开发.
随堂练习P128
同角之间的三角函数的关系
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=900,∠A,∠B,∠C的对
边分别是a,b,c.
求证:sin2A+cos2A=1
B
证 : s 明 A i n a ,cA o b s ,a 2 b 2 c 2 , c
本领大不大 悟心来当家
如图,观察一副三角板: 它们其中有几个锐角?分别是多少度?
(1)sin300等于多少? (2)cos300等于多少? (3)tan300等于多少? (4)cot300等于多少?
300
2
2 450 1
3
450 ┌ 600 ┌
1
1
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
做一做P10 3
∴最高位置与最低位置的高度
差约为0.34m.
随堂练习P128
八仙过海,尽显才能
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为 300,高为7m,扶梯的长度是多少?
3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°
B
∠A,∠B ,∠C的对边分别是 c
a,b,c.求证:sin2A+cos2A=1
友情提示:
A
a
┌
b
C
sin2A+cos2A=1它反映了同角之间的三角函数
a ┌
ac
cb A
b
C
sinA c osA
c b
a b
tanA,
cossA sin A
c a
b a
cotA.
随堂练习P128
同角之间的三角函数的关系
平方和关系: s i2n A1c o 2A .s或 siA n1co2A s.
互余两角三角函数关系
角 三 角 形
3.边角之间 的关系
Ａ
sinA＝ a
c
cosA＝
b c
tanA＝ a b
Ｂ
c a
bＣ
概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
视线
h
（2）坡度 i ＝
l
α为坡角
h
α
l
铅
α垂
=tan
线
仰角 俯角
水平线
视线
（3）方位角
北
A
30°
西
O
东
45°
B
南
引例：山坡上种树，要求株距（相临两树间的水平
影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测
的水平地面上的影长BC=20米，斜坡坡面上的影章
CD=8米，太阳光线AD与水平地面成 26°角，斜坡
CD与水平地面BC成 30°角，求旗杆AB的高度。
（精确到1米）
A
E
B 20
F 260 D
48
C
例3
如图所示,四边形ABCD是一张矩形纸 片,∠BAC=a,(0°<a≤45°),现将其折叠,使A,C两点重合.
(1)作出折痕EF.
(2)设AC=x,EF=y,求出y与x之间函数关系式.
(3)如图所示,当45°<a<90°时,(2)中求得的函数关系式是 否成立?若成立,请说明理由;若不成立,请求出当 45°<a<90°时,y与x 之间函数关系式.
F
D
C
D
C
E
O
Aa
B
OF
E
A )a B
1、本节例题学习以后，我们可以得到解直角三角
湘教版九年级数学 4.1 正弦和余弦(学习、上课课件)
知1－练
sin 67°38′24′′； 解：sin 67°38′24′′≈ 0.924 8.
(2)用计算器求锐角α 的度数(精确到0.1 °)：
sinα＝0.516 8. α ≈ 31.1°.
解题秘方：紧扣使用计算器的操作步骤，正确 按键得出结果.
感悟新知
知1－练
3-1. [ 期末·莱阳 ] 若用我们数学课本上采用的科学计 算器计算 sin42 ° 16′，按键顺序正确的是 ( C )
解：原式＝12＋
2 2
2－13×
3 2
2＝12＋ 12－13×32-1. [ 期末·石家庄裕华区 ] 已知 α 为锐角，且sin(α－
10 ° ) =
3 2
，则
α
等于(
A
)
A． 70° B． 60°
C． 40° D． 30°
感悟新知
例3 (1)用计算器求正弦值(精确到0.000 1)：
1. sin α是完整的数学符号，是一个整体，不能理解成
sin·α . 2. 正弦符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文
字母或三个大写英文字母或数字表示的角，也可以跟度 数，如sin α，sin A，sin ∠ABC，sin ∠2，sin 70° .
感悟新知
知1－练
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1， 3
感悟新知
知2－练
例4 [母题 教材 P115 练习 T1 ]在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，请根据下列 条件分别求出∠A的正弦、余弦值： (1)a＝6，b＝8；(2)b＝2，c＝ 10.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣正弦、余弦揭示了直角三角形的边 角之间的数量关系，先利用勾股定理求 出未知边的长度，然后根据定义求∠ A的 正弦、余弦值.
《特殊角的三角函数值》PPT课件
）
D．1
3
2
【详解】sin60°＝ ，tan45°＝1，所以sin60°+tan45°＝
2．如果α是锐角， =
1
A．2
B．
2
2
3
，那么cosα的值是（
2
C．
3
2
D．
3
2
【详解】∵α是锐角，sinα＝ ，
∴α＝60°，
1
∴cosα＝cos60°＝2．
故选：A．
3
3
）
3+2
.故选B.
2
3．已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣ 3＝0，则∠A的大小为（
4、会由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数。
C O N T E N T S
计算含有特殊角的三角函数值的式子。
推导30°、45°、60°角的三角函数值。
LEARNING OBJECTIVES
1、推导30°、45°、60°角的三角函数值。
2、熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值。
3、计算含有特殊角的三角函数值的式子。
第二十八章
锐角三角函数
TOPIC 28.1 ACUTE TRIANGLE (SINE, COSINE, TANGENT VALUE OF SPECIAL ANGLE)
- .
目录
1、推导30°、45°、60°角的三角函数值。
2、熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值。
3、计算含有特殊角的三角函数值的式子。
1.对于sinα与tanα，角度越大，函数值越越大；
对于cosα，角度越大，函数值越越小.
2. 互余的两角之间的三角函数关系：
若∠A+∠B=90°，则sinA = cosB，cosA = sinB，tanA · tanB =1 .
认识三角形ppt课件
相似三角形的对应边成比例，对应角相等，面积比等于相似比的平方。
相似三角形判定条件
两角分别相等
01
如果两个三角形有两组对应的角分别相等，则这两个三角形相
似。
两边成比例且夹角相等
02
如果两个三角形有两组对应的边成比例，并且夹角相等，则这
两个三角形相似。
三边成比例
03
如果两个三角形的三组对应边都成比例，则这两个三角形相似。
等腰三角形和等边三角形
利用等腰三角形和等边三角形的特殊性质，结合三角函数进行求解。
三角函数在解决实际问题中应用
测量问题
如测量建筑物高度、河宽 等，可以通过构造直角三 角形并应用三角函数进行 求解。
物理问题
在力学、运动学等领域中， 三角函数常用于描述周期 性运动、振动等问题。
工程问题
在土木工程、水利工程等 领域中，三角函数可用于 计算坡度、角度等问题。
已知一边一角求其他两边和角
通过三角函数关系式求解其他两边长度和角度。
已知两边和夹角求第三边
运用余弦定理求解第Байду номын сангаас边长度。
三角函数在其他类型三角形中应用
锐角三角形
通过作高将锐角三角形转化为直角三角形，再利用正弦、余弦、 正切函数求解相关量。
钝角三角形
同样可以通过作高将钝角三角形转化为直角三角形进行处理。
三角形稳定性及应用
三角形的稳定性
当三角形的三条边长度确定时，其形状和大小也就唯一确定了，这种性质称为三角 形的稳定性。
应用
在建筑、桥梁、机械等领域中，常常利用三角形的稳定性来增强结构的稳固性，如 钢架桥中的三角形支撑结构。
02
三角形边长与角度关系
人教版七年级上数学《余角和补角》图形初步认识PPT教学课件(第2课时)
北
西
O 60 °
东 A
南
探究新知
射线OA的方向就是南偏东60°，即灯
塔A所在的方向．
D
北
射线OB的方向就是北偏东40°，
B
即客轮B所在的方向．
45° 40°
西
O
东
射线OC的方向就是南偏西10°，
60°
即货轮C所在的方向．
10°
C
A
南
射线OD的方向就是北偏西45°，即海岛D所在的方向．
探究新知
用方位角确定物体的画法步骤： ①先找出中心点，然后画出方向指标； ②把中心点和目的地用线连接起来； ③度量向北的射线和视线（中心点和目的地的连线）夹角.
问题情境
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球 会直接入袋，此时∠1=∠2， 其中∠FDC=90º，那么各个角与∠1有什 么关系？
问题情境
E
D
F
1
2
A
B
C
有的角与∠1的和等于90º，例如（ 有的角与∠1的和等于180º，例如（
）； ∠ADC
）．
∠ADF
探究新知
余角的定义
4.3.3 余角和补角 第2课时
知识回顾
两角间的 数量关系
互余
1 2 90
(1 90 2)
互补
1 2 180 (1 180 2)
对应图形
性质 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等
学习目标
1.了解方位角的概念. 2.能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
课堂导入
成语“四面八方”怎样理解？ 四面——东、西、南、北. 八方——东、西、南、北、东北、东南、西北、西南.
新浙教版九年级数学下册第一章《三角函数(2)》公开课课件
c a
tanA= a tanB= b
A
b
a
┌
b
C
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数
w如图,观察一副三角板: w它们其中有几个锐角?分别是多少度?
w(1)sin300等于多少?
450
w(2)cos300等于多少? w(3)tan300等于多少?
450 ┌
300600 ┌来自w请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
重新认识和评价.
w根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
做一做
B
2
1
45°
A
C
1
Sin45 ° = 2
2
cos45°= 2
2
tan45°= 1
cot45°= 1
做一做
B
2
3
60°
A
C
1
sin60°= 3
2
cos60°= 1 2
tan60°= 3
cot60°= 3
3
特殊角的三角函数值表
1.1锐角三角函数（2）
n 300,450,600角的三角函数值
脑中有“图”，心中有 “式”
w直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数.
w在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,
邻边和斜边之间的比值也随之确定.
sin A a , cos A b ,
c
c
B
sin B b , c
cosB a , c
w要能记 住有多 好
三角函数 锐角α
正弦sinα
余弦cosα
正切tanα
300
1
2
3
3
锐角三角函数与解直角三角形.pptx
4.锐角三角函数的增减性:
（同学们总结，教师归纳）
《典型考题展示》
1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（ ）
A． B. C. D.
B
2．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA= ，则BC的长是( ) （ ）
A. 2 B. 1 C. D.
6．在△ABC中，若|cosA﹣ |+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（ ）
A. B. C 解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=5，
∴∠BPC=∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
∴tan∠BPC=tan∠BAE=
E
10．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB= ，AD=1．求BC的长．
解：在Rt△ABD中，
∴AB=3
∵BD2=AB2﹣AD2
在Rt△ADC中，∵∠C=45°
考点一：锐角三角函数
1锐角函数的定义：如图，在△ABC中，∠C=90°∠A, ∠B ,∠C的对边分别是a，b，c，则sinA= cosA= tanA = 。2.特殊角的三角函数值：
特殊角
sinA
cosA
tanA
3.三角函数之间的关系：
（1）同角三角函数之间的关系：
本节课结束 同学们再见！
2、解直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
1.2.2互余两角三角函数的关系
互余两角三角函数的关系（2012•衡阳）观察下列等式①sin30°=cos60°=②sin45°=cos45°=③sin60°=cos30°=…根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=1．【考点】互余两角三角函数的关系．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案．【解答】解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案为：1．【点评】此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外sin2a+sin2（90°﹣a）=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用．（2000•东城区）如果α是锐角，且cosα=，那么cos（90°﹣α）的值是（）A．B．C．D．【考点】互余两角三角函数的关系．【专题】压轴题．【分析】此题可以把角构造到直角三角形中，根据锐角三角函数的概念，结合勾股定理，能够用同一个未知数表示三角形的三边；再根据锐角三角函数的概念以及锐角三角函数关系进行求解．【解答】解：根据题意，可以把α放到直角三角形中．由cosα=，设直角三角形中，α的邻边是4k，斜边是5k．则其对边是3k．∴sinα=．∴cos（90°﹣α）=sinα=．故选B．【点评】理解锐角三角函数的概念，掌握正余弦的转换方法．（2015秋•重庆校级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=（）A．B．C．D．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据题意和正切的概念设出b、a，根据勾股定理求出c，根据余弦的概念计算即可．【解答】解：设b=5x，∵tanB=，∴a=3x，由勾股定理得，c==x，则cosA===，故选：D．【点评】本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．（2014•祁阳县校级模拟）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB=（）A．B．C．D．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】现根据∠A的正切值求出b、c之间的关系，然后根据勾股定理求出a，根据正切函数的定义求解．【解答】解：由cosA=b=，设b=3x，则c=5x．由勾股定理知，a=4x．∴tanB==．故选B．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，求锐角三角函数值，可用设合适参数，利用锐角三角函数的概念和勾股定理来求解．（2014•闸北区一模）已知α、β都是锐角，如果sinα=cosβ，那么α与β之间满足的关系是（）A．α=βB．α+β=90°C．α﹣β=90°D．β﹣α=90°【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据α、β都是锐角，sinα=cosβ，可得α、β互为余角．【解答】解：∵α、β都是锐角，如果sinα=cosβ，sinα=cos（90°﹣α）=cosβ，∴α+β=90°，故选：B．【点评】本题考查了互为余角两三角函数的关系，两角都是锐角，一角的正弦等于另一角的余弦，这两个锐角互余．（2014秋•南部县校级月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，则tanA•tanB等于（）A．0B．1C．﹣1D．不确定【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据正切函数的定义，利用△ABC的边表示出两个三角函数，即可求解．【解答】解：tanA•tanB==1，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．（2013秋•龙凤区校级期中）∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则sin等于（）A．cos B．sin C．cosC D．cos【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】利用三角形的内角和得到∴∠A+∠B=180°﹣∠C，从而得到sin=sin=sin（90°﹣）=cos．【解答】解：∵∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，∴∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠B=180°﹣∠C，∴sin=sin=sin（90°﹣）=cos，故选A．【点评】考查了互余两角的三角函数的关系及等腰三角形的性质，解题的关键是了解互余的两角之间的关系．（2010春•揭西县期末）下列等式中正确的是（）A．sina20°+sin40°=sin60°B．cos20°+cos40°=cos60°C．sin（90°﹣40°）=cos40°D．cos（90°﹣30°）=sin60°【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【解答】解：A、sina20°+sin40°≠sin60°，故错误；B、cos20°+cos40°≠cos60°，故错误；C、sin（90°﹣40°）=sin50°=cos40°，故正确；D、cos（90°﹣30°）=cos60°，故错误．故选C．【点评】本题考查互余两角的三角函数之间的关系．（2008秋•莱阳市期末）在△ABC中，∠C=90°，，则sinA的值为（）A．B．C．D．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据=，sinA=，代入即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，∠C=90°，=，∴sinA==．故选B．【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系，注意：如果∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB．（2014•杭州模拟）若某直角三角形的一个锐角的正切值为，则这个直角三角形中另一个锐角的余弦值为．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据题意，画出图形，设两直角边为x，3x，根据勾股定理可以计算结果．【解答】解：如图所示，设BC=x，则，AC=3x，∠A的正切值为，所以AB=，∴cosB==故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数的求值运算，设参法是解决这类问题常用的方法．（2014秋•上海校级期末）已知Rt△ABC中，两直角边a=7，b=10，则tanB•sinA=．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据直角三角函数的知识，求出相应的三角函数值，从而解答本题．【解答】解：∵在Rt△ABC中，两直角边a=7，b=10∴斜边c=∴tanB=，sinA=∴tanB•sinA=【点评】本题考查三角函数的知识，关键是明确三角函数的定义．（2013秋•龙凤区校级期中）已知：0°＜α＜90°，化简：=﹣1；在Rt△ABC中，若∠C=90°，tanA•tan20°=1．那么∠A=70°．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据正切函数的定义，互余两角的正切值的积等于1进行解答．【解答】解：==﹣1；∵tanA•tan20°=1，∴∠A=90°﹣20°=70°．故答案为：﹣1，70°．【点评】考查了互余两角的三角函数的关系及等腰三角形的性质，解题的关键是了解互余的两角之间的关系．（2012•广安模拟）在△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则tanB=．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据sinA=，设BC=2x，AB=3x，根据勾股定理求出AC=x，代入tanB=求出即可．【解答】解：∵sinA==，∴设BC=2x，AB=3x，由勾股定理得：AC===x，∴tanB===．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，主要考查学生对锐角三角函数的定义的理解和运用，sinA=，cosA=，tanA=．（2012秋•宣武区校级期中）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么tanB的值等于．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据cosA=设AC=2a，AB=3a，由勾股定理求出BC=a，根据tanB=代入求出即可．【解答】解：∵cosA==，∴设AC=2a，AB=3a，由勾股定理得：BC==a，则tanB===，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理和互余两角三角函数的关系，解直角三角形等知识点的应用．（2011秋•慈利县校级期末）已知角α是锐角，且cosα=0.6，则sin（90°﹣α）=0.6．【考点】互余两角三角函数的关系．【专题】计算题．【分析】根据互余两角三角函数的关系得出sin（90°﹣α）=cosα，代入求出即可．【解答】解：∵cosα=0.6，∴sin（90°﹣α）=cosα=0.6，故答案为：0.6．【点评】本题考查了对互余两角的三角函数的关系的理解和运用，注意：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB．（2009秋•南阳校级期末）若tanα•tan50°=1，则锐角α=40度．【考点】互余两角三角函数的关系．【专题】计算题．【分析】根据锐角三角函数的定义得出如果tanα•tan50°=1，那么α+50°=90°，即可求出答案．【解答】解：∵在△ACB中∠C=90°，∠A=α，∠B=50°，∵tanA=，tanB=，∴tanA•tanB=×=1，∴∠A+∠B=90°，∵tanα•tan50°=1，∴α=90°﹣50°=40°．故答案为：40．【点评】本题主要考查对互余两角的三角函数的关系，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．（2011秋•驿城区期末）在直角△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则tanB=2．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据sinA=，假设BC=x，AB=3x，利用勾股定理求出AC=x，再利用锐角三角函数的定义得出tanB的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，∴假设BC=x，AB=3x，∴AC==2x，∴tanB===2．故答案为：2．【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理的应用，正确得出各边之间的关系是解决问题的关键．计算=1．【考点】互余两角三角函数的关系；同角三角函数的关系．【分析】sin83°=cos7°．然后将括号外的cos7°移到括号内，接下来再化简计算即可．【解答】解：原式====1．故答案为：1．【点评】本题主要考查的是同角三角函数的关系，互余两角三角函数的关系，掌握相关性质是解题的关键．（tan70°）2009•（3tan20°）2009=1．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】首先根据幂运算的性质：（ab）m=a m b m，a m a n=a m+n，进行整理；再根据互为余角的正切值互为倒数即可计算．【解答】解：（tan70°）2009•（3tan20°）2009=（）2009（tan70°）2009•32009（tan20°）2009=1．【点评】注意幂运算的性质和锐角三角函数性质的综合运用．在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB=，则tanA=，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积96．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】设c=5k，a=3k，由勾股定理可求得b=4k，可求得tanA=，接下来利用三角形的周长为48可求得两直角边的长，最后即可求得△ABC的面积．【解答】解：设c=5k，a=3k．由勾股定理得：b===4k．∴tanA==．∵△ABC的周长为48，∴5k+3k+4k=48．解得：k=4．∴3k=3×4=12，4k=4×4=16．∴△ABC的面积==96．故答案为：；96．【点评】本题主要考查的是锐角函数值的定义、勾股定理的应用，求得a、b、c的长度是解题的关键．若∠A是锐角，且cosA=，则cos（90°﹣A）=．【考点】互余两角三角函数的关系．【专题】计算题．【分析】首先根据诱导公式得出cos（90°﹣A）=sinA，再根据cosA2+sinA2=1求解即可．【解答】解：∵cosA2+sinA2=1，又A为锐角，cosA=，∴sinA=．∴cos（90°﹣A）=sinA=．故答案为：．【点评】本题考查可运用诱导公式化简求值，利用公式cosA2+sinA2=1求解是解题的关键，属于基础题．。
互余角的三角函数关系
互余角的三角函数关系sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα。
3．同角三角函数间的关系商数关系：sinA/cosA=tanA·平方关系：sin^2(A)+cos^2(A)=1三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,当角度在0°<∠A<90°间变化时，tanA>0, cotA>0.·对称性180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。
-α的终边和α的终边关于x轴对称。
180度+α的终边和α的终边关于原点对称。
90度-α的终边和α的终边关于y=x对称还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90°+α)，90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin(90°+α)=cosα对称轴与对称中心y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z) y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z) y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]倍角公式sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2α-sin^2;α=2cos^2;α-1=1-2sin^2;αtan(2α)=2tanα/(1-tan^2;α)cot(2α)=(cot^2;α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2;α/(1-tan^2;α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin^3;α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3;α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3;α)/(1-3tan^2;α) =tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3;α-3cotα)/(3cotα-1)半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/si nαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cos α)辅助角公式Asinα+Bcosα=√(A^2;+B^2;)sin(α+arctan(B/A))Asinα+Bcosα=√(A^2;+B^2;)cos(α-arctan(A/B))万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2;(a/2))cos(a)= (1-tan^2;(a/2))/(1+tan^2;(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2;(a/2))降幂公式sin^2;α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2;α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2;α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角函数图像：定义域和值域sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ，值域为Rcot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R三角函数的画法以y=sinx的图像为例，得到y=Asin(ωx+φ)的图像：方法一：y=sinx→【左移(φ>0)/右移(φ<0) ∣∣∣φ∣个单位】→y=sin(x+φ)→【纵坐标不变，横坐标伸缩到原来的(1/ω)】→y=sin(ωx+φ) →【纵坐标变为原来的A倍(伸长[A>1] / 缩短[0<A<1])】→ y=Asin(ωx+φ)方法二：y=sinx→【纵坐标不变，横坐标伸缩到原来的(1/ω)】→y=sinωx→【左移(φ>0)/右移(φ<0）∣φ∣/ω 个单位】→y=sin(ωx+φ) →【纵坐标变为原来的A倍(伸长[A>1] / 缩短[0<A<1])】→ y=Asin(ωx+φ)正弦定理于边长为a, b和c而相应角为A, B和C的三角形，有：sinA / a = sinB / b = sinC/c也可表示为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC其中R是三角形的外接圆半径。