大学数学实验期末作业论文

课程论文
题目大学数学实验课程论文
学院数学与统计学院
专业数学与金融工程
班级2010级数学与金融工程实验班
学生姓名及学号唐洪玉2010101144 郭益敏2010102131 罗文雯2010101142 王荭玥2010101131
指导教师李焕荣
职称副教授
2012 年12 月17 日
实验3 插值与数值积分
P66第11题
如图是欧洲一个国家的地图，为了计算它的国土面积，首先对地图作如下测量：以由西向东的方向为x轴，由南到北的方向为y轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y坐标y1和y2，这样得到下表的数据（单位：mm）.
图1 地图
根据地图的比例我们知道18mm相当于40km，试由测量数据计算该国国土的近似面积，与它的精确值412882
km做比较.
表1 地图边界点数据
问题分析对于这样面积的估计，求解的方法有多种，如可利用网络分割的方法进行估算，即将地图按横竖均匀分成若干矩形，先统计出边界内部的规则矩形的数量，再对包含边界的每个小矩形作更小矩形的分割，经过几次分割并统计各次股则矩形的数量，即可得到总面积的估计.
模型建立 将该地图图形放到坐标系中，如图1所示，由（7.0，44）点（表1中给出）开始测量边界的坐标点. 本题可利用梯形求积公式)x -(x 2
k 1k 1
-01
+=+∑
+=n k k k n f f T 和trapz 命令来计算该国土面积.
模型求解 编程如下：
clear
x0=[7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 ...
96.0 101.0 104.0 106.5 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0]; y0=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 ... 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68]; y1=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 ...
118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68]; hold on
plot(x0,y0,'k',x0,y1,'r'); hold off
z1=trapz(x0,y0); z2=trapz(x0,y1); z=(z2-z1)*(40/18)^2 z =
4.2414e+004
输出图形为：
20
40
60
80
100
120
140
输出国土面积计算结果为4.2414e+004.
用如下程序计算面积：
clear
x0=[7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 ...
96.0 101.0 104.0 106.5 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 ...
158.0 157.0 150.0 146.0 142.0 136.5 123.5 118.0 111.5 106.5 104.0 101.0 96.0 ...
91.0 80.5 76.5 68.5 61.0 56.0 48.0 44.5 40.5 34.0 17.5 13.0 10.5 7.0];
y0=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 ...
37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68 68 85 86 82 81 83 116 ...
122 121 121 121 124 121 118 118 116 118 117 110 110 110 100 93 72 70 59 44];
z=abs(trapz(x0,y0)*(40/18)^2)
z =
4.2414e+004
输出结果也为 4.2414e+004，则这就是该国国土的近似面积.
结果分析运用这两种程序国土面积计算结果均为 4.2414e+004，与精确值412882
km相比，相对误差为（42414-41288）/41288≈2.73%.
km是总结经查阅相关资料，这个欧洲国家是瑞士。

题目给出的精确值412882
精确的瑞士国土面积，必然与程序估算的结果有一定偏差，但是我们运用Matlab 编程运算可以得出该国土的近似面积.这能使我们更加了解自己国家或他国面积.
实验5 线性代数方程组的数值解法
P111 第5题
设国民经济由农业、制造业、和服务业三个部门构成,已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表5.6所示.
（1）如果今年对农业、制造业、和服务业的外部需求分别为50,150,100亿元,问这三个部门的总产出分别应为多少？
（2）如果三个部门地外部需求分别增加1个单位,问它们的总产出应分别增加多少?
模型及求解 设有n 个部门,记一定时期内第i 个部门地总产出为i x ,其中对第j 个部门的投入为j i x ,外部需求为i d ,则
i n
j ij i d x x +=∑=1, n i ,...,2,1=. (1)
表5.6的每一行都满足(1)式.根据直接消耗系数ij a 的定义有
j ij ij x x a /=, n j i ,...,2,1,=, (2)
注意到每个部门的总产出等于总投入,所以可将(2)式中的j x 视为第j 列的总投入.由(1)式,(2)式得
∑=+=n
j i j ij i d x a x 1
,n i ,...,2,1=. (3)
记直接消耗系数矩阵n n ij a A ⨯=)(,产出向量T
n x x x x ),...,,(21=,需求向量
T n d d d d ),...,,(21=,则(3)式可写作
d Ax x +=, (4)
或
d x A I =-)(, (5)
其中I 是单位矩阵.
(1)如果今年对农业、制造业、和服务业的外部需求分别为50,150,100亿元,问这三个部门的总产出.
编制以下以下程序解方程组(5): clear clc
B=[ 15 20 30; 30 10 45; 20 60 0];
A=[B(:,1)/100 B(:,2)/200 B(:,3)/150]%直接消耗系数矩阵A
d=[50;150;100]; %输出外部需求d
C=eye(3)-A
x=C\d
输出结果:
A =
0.1500 0.1000 0.2000
0.3000 0.0500 0.3000
0.2000 0.3000 0
C =
0.8500 -0.1000 -0.2000
-0.3000 0.9500 -0.3000
-0.2000 -0.3000 1.0000
x =
139.2801
267.6056
208.1377
即3个部门地总产出分别为139.2801 , 267.6056 ,208.1377亿元.
（2）如果三个部门地外部需求分别增加1个单位,问它们的总产出.
编程得:
clear
clc
B=[ 15 20 30;
30 10 45;
20 60 0];
A=[B(:,1)/100 B(:,2)/200 B(:,3)/150];%直接消耗系数矩阵A d=[50;150;100]; %输出外部需求d
C=eye(3)-A;
x=C\d;
dx=inv(C)
输出结果得: dx =
1.3459 0.2504 0.3443 0.5634 1.2676 0.4930
0.4382 0.4304 1.2167
结果分析 即如果三个部门地外部需求分别增加1个单位,问它们的总产出分别增加1.3459 , 0.5634,0.4382个单位.
总结 根据这道题的建立与求解，我们可以解决多种类似的问题，在一个工厂的各个生产部门之间，已知各自的内部需求或者对外投入，即可知道该工厂的总产出与总投入。

从而使工厂对自己的预期收益有更好规划。

实验6 非线性方程求解
P 137 第3题
（1）小张夫妇以按揭方式贷款买了1套价值20万元的房子，首付了5万元，每月还款1000元，15年还清。

问贷款利率是多少？
（2）某人欲贷款50万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还4500元，15年还清；第二家银行开出的条件是每年还45000元，20年还清。

从利率方面看，哪家银行较优惠（简单地假设年利率=月利率*12）
问题分析 （1）随着小张夫妇每月还款1000元，欠款减少为上个月的欠款数附带利率再扣除1000元。

这是一个迭代关系式，根据迭代关系式确定15年末应还款数的整个方程，方程中未知数为贷款利率，通过求解非线性方程即可解出贷款月利率。

（2）该问与上题类似，第一小问可以解出贷款月利率，第二小问可以求解出年利率，简单地假设年利率=月利率×12，通过比较二者的年利率的大小，可以确定哪家银行较优惠。

模型建立 （1）设第n 个月末欠款为n a ,扣除首付5万元，首月欠款0a =15万元，每月应还款b=1000元，月利率为r ，第n 年末欠款为n y 。

第一个月： 月末欠款10(1)a a r b =+- 第二个月： 月末欠款21(1)a a r b =+-； 以此类推，
第n 个月： 月末欠款1(1)n n a a r b -=+-；
可得递推关系式为：10(1)[1(1)...(1)]n n n a a r b r r -=+-+++++; 整理得：0(1)[(1)1]n n n a a r b r r =+-+-;
由此得第n 年年末欠款12120(1)[(1)1]n n n y a r b r =+-+-.
（2）由于不用考虑首付，故首月的欠款0a =50万元，第一问最后方程表达式与（1）相同，12120(1)[(1)1]n n n y a r b r r =+-+-，第二问最后方程表达式与（1）类似0(1)[(1)1]n n n y a r b r r =+-+-。

模型求解 由于方程为非线性方程，故使用fzero 命令求解。

因为（1）与（2）的第一问的方程表达式完全相同，所以函数文件中仅分为两种情况讨论即可。

用matlab 编程计算，源程序如下所示： function y=loan(r,n,a0,b,p) if p==0
y=a0*(1+r)^(12*n)-b*((1+r)^(12*n)-1)/r; else
y=a0*(1+r)^n-b*((1+r)^n-1)/r; end
clear all
n=15;a0=150000;b=1000;p=0;r1=fzero(@loan,0.5,[],n,a0,b,p) n=15;a0=500000;b=4500;p=0;r2=12*fzero(@loan,0.5,[],n,a0,b ,p)
n=20;a0=500000;b=45000;p=1;r3=fzero(@loan,1,[],n,a0,b,p) 程序运行结果： r1 =
0.0021 r2 =
0.0702 r3 =
0.0639
结果分析 (1)小张夫妇以按揭方式贷款买房子的贷款利率是0.21%;（2）第一家银行的年利率为7.02%，第二家银行的年利率为6.39%，因为7.02%>6.39%,所以第二家银行更优惠。

总结 本题对于现实生活具有高度的指导意义。

通过以上的分析可以看到，在生活中会遇到很多跟利率相关的问题，比如外汇兑换，存款，贷款，保险等，不同的银行往往会给出不同的利率或优惠方案吸引客户，作为学习过数学实验的客户，我们应该分析不同方式下的利率等问题，使我们的利益更大，开支最小。

实验7 无约束优化
教材P171页第7题
经济学中著名的Cobb-Douglas 生产函数的一般形式为
(,)Q K L aK L αβ=， 0,1αβ<< 其中Q ，K ，L ，分别表示产值、资金、劳动力，式中,,b αβ要由经济统计数据确定.现有《中国统计年鉴（2003）》给出的统计数据如下表所示，请分别用线性和非线性最小二乘拟合求出式中的,,b αβ，并解释,αβ的含义.
业人员”。

模型及求解 （1）首先，我们从线性最小二乘法的角度来分析本题并得出结果。

由题目中给出的Cobb-Douglas 生产函数(,)Q K L 随K （资本）、L （劳动力）按指数上升的函数关系：
(,)Q K L aK L αβ= （1）
其中、、a αβ为待定系数.要想从线性最小二乘的角度来分析本题，首先应该将方程转化为线性方程。

因此，对（1）两边取对数，则它可以被改写成：
ln ln ln ln Q a K L αβ=++ （2）
记1112119ln ln 1ln ln 11ln ln K L K L K L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ ， ln a αβ⎡⎤⎢⎥ψ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
， ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
1219ln ln ln Q Q Y Q ，则上述方
程可写作成
Φψ=Y （3）
令exp((1))a x =，(2)x α=，(3)x β=，则在约束条件0,1αβ<<下求解该超定方程组。

然后我们利用Matlab 软件编写如下程序：
Q=[0.7171 0.8964 1.0202 1.1962 1.4928 1.6909 1.8548... 2.1618 2.6638 3.4634 4.6759 5.8478 6.7885 7.4463... 7.8345 8.2068 9.9468 9.7315 10.4791];
K=[0.0910 0.2543 0.3121 0.3792 0.4754 0.4410 0.4517... 0.5595 0.8080 1.3072 1.7042 2.0019 2.2914 2.4941 ... 2.8406 2.9854 3.2918 3.7314 4.3500];
L=[4.8179 4.9873 5.1282 5.2783 5.4334 5.5329 6.4749... 6.5491 6.6152 6.6808 6.7455 6.8065 6.8950 6.9820... 7.0637 7.1394 7.2085 7.3025 7.3740]; B=[log(Q)]'; A1=ones(19,1); A2=[log(K)]'; A3=[log(L)]'; A=[A1,A2,A3];
x=lsqlin(A,B,[],[],[],[],[,0,0]',[,1,1]'); a=exp(x(1)) alpha=x(2) beta=x(3)
运行结果为： a =
1.0014
alpha =。