高三数学抛物线试题

高三数学抛物线试题
1.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线
相切，则圆面积的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设直线：.因为，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，为准线的抛物线.圆C半径最小值为，圆面积的最小值为选A.
【考点】抛物线定义
2.已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，，则直线AF的斜率，选C．
【考点】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．
3.（5分）（2011•陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是
（）
A．y2=﹣8x B．y2=8x C．y2=﹣4x D．y2=4x
【答案】B
【解析】根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．
解：∵准线方程为x=﹣2
∴=2
∴p=4
∴抛物线的方程为y2=8x
故选B
点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握．
4.若，则称点在抛物线C：外．已知点在抛物线C：
外，则直线与抛物线C的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【解析】因为点在抛物线C：外，所以由与联立方程组消得：因此，所以直线与抛物线相交.【考点】直线与抛物线位置关系
5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为
，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由抛物线的定义得，，，故，，故
，，又，故，从而．
【考点】抛物线定义.
6.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）
A．B．C．8D．﹣8
【答案】B
【解析】抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，
则其准线方程为y=﹣=2，
所以a=﹣．
故选B．
7.抛物线的准线为( )
A．x= 8B．x=-8
C．x=4D．x=-4
【答案】D
【解析】在抛物线中，所以准线方程为，选D.
8.设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取
到的最大值为__________
【答案】
【解析】∵圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，
∴可设圆心C(a，0)，其半径为3－a
∴圆C之方程为(x－a)2+y2=(3－a)2
联立抛物线与圆C之方程得：x2－2(a－1)x+6a－9=0
由题意知Δ=4(a－1)2－4(6a－9)=0a=4－
∴圆C的半径能取到的最大值为
9.已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，.
（1）求抛物线E的方程；
（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三
点共线，求点N的坐标.
【答案】（1）y2＝4x；（2）点N坐标为或.
【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线
的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，利用抛物线的准线，
得到M点的坐标，利用圆的方程得到圆心C的坐标，在中，可求出，在中，利
用相似三角形进行角的转换，得到的长，而，从而解出P的值，即得到抛
物线的标准方程；第二问，设出N点的坐标,利用N、C点坐标写出圆C的方程，利用点C的坐
标写出圆C的方程，两方程联立，由于P、Q是两圆的公共点，所以联立得到的方程即为直线
PQ的方程，而O点在直线上，代入点O的坐标，即可得到s、t的值，即得到N点坐标.
试题解析：（1）由已知得，C(2，0)．
设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．
于是，
所以，即，p＝2．
故抛物线E的方程为y2＝4x． 5分
（2）设N(s，t)．
P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．
圆D方程为，
即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0．①
又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0．②
②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0．③ 9分
P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．
因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，．
故点N坐标为或． 12分
【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质.
10.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，
设，，由抛物线定义，得．
在中，由余弦定理，得,
,
,,故选B.
【考点】1.抛物线的定义；2.基本不等式.
).若点M到该抛物线焦点11.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y
的距离为3,则|OM|等于()
A．2B．2C．4D．2
【答案】B
【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M到焦点的距离为x
+=2+=3,∴p=2,∴y2=4x.
M
∴=4×2,∴|OM|===2.故选B.
12.已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|等于()
A．2∶B．1∶2C．1∶D．1∶3
【答案】C
【解析】过点M作MM′垂直于准线y=-1于点M′,
则由抛物线的定义知|MM′|=|FM|,
所以==sin∠MNM′,
而∠MNM′为直线FA的倾斜角θ的补角.
因为直线FA过点A(2,0)、F(0,1),
=-=tanθ,
所以k
FA
所以sinθ=,
所以sin∠MNM′=,
即|FM|∶|MN|=1∶.故选C.
13.已知点A(4,4)在抛物线y2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作直线l:x=-的垂线,垂足为M,则∠MAF的平分线所在直线的方程为.
【答案】x-2y+4=0
【解析】点A在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂
足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平==-2,所以∠MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.
分线,k
MF
14.将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，
则( )
A．n＝0B．n＝1C．n＝2D．n≥3
【答案】C
【解析】结合图象可知，过焦点且斜率为和－的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两个正三角形，且不难看出符合题意的正三角形有且仅有两个．
15.已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l
1垂直于x轴,动点P在l
1
上,且满足OP⊥OQ(O
为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程.
(2)若直线l
2是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l
2
的距离最短时,求直线l
2
的方程.
【答案】(1) x2=2y(x≠0) (2) x-y-1=0或x+y+1=
【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,-2).
∵OP⊥OQ,∴当x=0时,P,O,Q三点共线,不符合题意,故x≠0.当x≠0时,得k
OP ·k
OQ
=-1,即·=-1,化
简得x2=2y,
∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0).
(2)∵直线l
2与曲线C相切,∴直线l
2
的斜率存在.
设直线l
2
的方程为y=kx+b, 由得x2-2kx-2b=0.
∵直线l
2与曲线C相切,
∴Δ=4k2+8b=0,即b=-.
点(0,2)到直线l
2
的距离
d==·
=(+)
≥×2
=.
当且仅当=,即k=±时,等号成立.此时b=-1.
∴直线l
2
的方程为x-y-1=0或x+y+1=0.
16.已知直线与抛物线相交于、两点，为抛物线的焦点．若
，则实数．
【答案】
【解析】如下图，是抛物线的准线，直线过准线与轴的交点，作
，是垂足，则，由于，所以，设
，则①，再由抛物线方程得，代入直线方程可得，所以有
②，③，由①②③解得.
【考点】直线和圆锥曲线相交问题.
17.若抛物线y2＝8x上的点(x
0，y
)到抛物线焦点的距离为3，则|y
|＝()．
A．B．2C．2D．4【答案】B
【解析】设点A(x
0，y
)，F(2,0)，过点A作AA
1
垂直l(l为抛物线的准线)于点A
1
，则|AF|＝|AA
1
|
＝x
0＋2＝3，得x
＝1，代入抛物线方程得|y
|＝＝2.
18.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A, B两点，O为坐标原点。

若|AF|＝3，则
△AOB的面积为（）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】设直线的倾斜角为及，∵，∴点到准线的距离为3，∴，即，则，∵，∴∴
的面积为，故答案选Ｃ．
【考点】抛物线的简单性质．
19.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点
，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】画图可知被在点M处的切线平行的渐近线方程应为，设，则利用求导得又点共线，即点共线，所以
，解得所以
【考点】本题考查了抛物线和双曲线的概念、性质和导数的意义，进一步考查了运算求解能力.
这一方程形式为导数法研究提供了方便，本题“切线”这一信号更加决定了“求导”是“必经之路”.根据三点共线的斜率性质构造方程，从而确定抛物线方程形式,此外还要体会这种设点的意义所在.
20.已知抛物线的准线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为．
【答案】2
【解析】根据题意，由于抛物线的准线x=2,过双曲线的右焦点(2,0),可知
m+3=4.m=1。

故可知双曲线的离心率为，故可知答案为2.
【考点】抛物线的性质
点评：主要是考查了抛物线的性质，以及双曲线的性质的运用，属于基础题。

21.若双曲线的离心率是2，则实数k的值是（）
A．—3B．C．3D．—
【答案】A
【解析】双曲线可化为，故离心率，所以.
故选A.
【考点】抛物线的简单性质．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生的基础知识的积累．
22.若抛物线的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为
A．B．C．或D．
【答案】C
【解析】由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为，解得，所以当时，焦点坐标为
；当时，焦点坐标为，故选C．
【考点】本题考查了抛物线的定义
点评：熟练掌握抛物线的定义是解决此类问题的关键，属基础题
23.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点到焦点的距离等于5，
则m
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易知抛物线开口向下，设焦点为F，由抛物线的定义知：PF=|-3|+=5,所以p=-4,所以抛
物线方程为，把点代入抛物线方程得m=。

【考点】抛物线的定义；抛物线的标准方程。

点评：熟记抛物线的焦半径公式：
(1)若P()为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点则|PF|= ；
(2) 若P()为抛物线y2=-2px(p>0)上任意一点则|PF|= ；
(3) 若P()为抛物线x2=2py(p>0)上任意一点则|PF|= ；
(4)若P()为抛物线x2=-2py(p>0)上任意一点则PF=。

24.已知点在抛物线上，则点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】抛物线的焦点F（1,0）,设P到直线l2的距离为d2,到直线l1的距离为d1,则
,因为点F到直线l2的距离
.
25.设为坐标原点，抛物线与过焦点的直线交于两点，则 .
【答案】
【解析】解：当直线与x轴不垂直时设直线l：y=k（x-1/ 2 ），
代入y2=2x，得：ky2-2y-1=0
设A（y 21 /2 ，y
1），B（y 21 x
2
/ 2，y
2
）
∴y
1•y
2
=-1
∴kOA•kOB=y
1/ y 21 /2 •y
2
/y 22 /2 ="4/" y
1
- y
2
=-4
当直线与x轴垂直时，x="1-" 2 ，y=±1
∴kOA•kOB="1/1" /2 ×-1 /1 /2 =-4
故答案为-4
26.如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。

（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q。

证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点
【答案】
【考点定位】本题主要考察抛物线的定义性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基本知识，考查运用求解能力、推理论证能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想
【解析】
27.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则
= 。

【答案】：
【解析】：焦点弦被焦点，则又
所以则
【考点】本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系，当遇到抛物线焦点弦问题时，常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立，把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题，属于难
题
28.已知抛物线（）的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且
,的面积为，则该抛物线的方程为 .
【答案】
【解析】解：由已知条件可知利用抛物线定义，可知抛物线的点M的横、纵坐标分别为
，利用|MF|=4|OF|,可解得p=2,z因此抛物线的方程为
29.（本题满分共15分）已知抛物线的焦点F到直线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，过点F作两条直线分别交抛物线于A、B和C、D，过点F作垂直于轴的直线分别
交和于点.
求证：．
【答案】解：（1）焦点，由已知得，且，解得，
故所求抛物线的方程为.
（2）设直线的方程为：，
直线的方程为：，
令
将两条直线的方程代入抛物线方程得：
于是有：，
同理得：，
故
，同理
所以直线的方程为：，①
直线的方程为：，②
将代入①式得：
将代入②式得：
所以，即
【解析】略
30.设F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则
= （）
A．9B．6C．4D．3
【答案】B
【解析】抛物线的焦点，准线方程为。

设坐标分别为，因为，所以，从而有。

由抛物线几
何性质可得，故选B
31.设抛物线的焦点为F，准线为，点，线段与抛物线交于点B，过B作
的垂线，垂足为M。

若，则__________
【答案】
【解析】略
32.已知抛物线的焦点为F，在第一象限中过抛物线上任意一点P的切线为，过P点作平行于轴的直线，过焦点F作平行于的直线交于，若，则点P的坐标为 .
【答案】
【解析】略
33.过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若则直线的倾斜角
等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得直线AB的斜率K存在
设A（a，b）B（c，d），F（1，0）则可得直线AB的方程为y=k（x-1）
联立方程
整理可得k2x2-2（k2+2）x+k2=0
∴a+c=+2，ac=1
∴a-c==；
∵
∴k=或 k=-
∵θ∈（0，）∴k=，θ=
故选：B．
34.若点在由直线y=2，y=4和抛物线所围成的平面区域内（含边界）则
的取值范围为
【答案】
【解析】略
35.过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有()
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【解析】略
36.（本题满分14分）
如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．（1）求证：四点共面；（4分）
（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：平面；
（4分）
（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．（4分
【答案】（1）略
（2）略
（3）；
【解析】（1）如图，在上取点，使，连结，
，则，．
因为，，所以四边形，都为平行四边形．
从而，．
又因为，所以，故四边形是平行四边形，
由此推知，从而．
因此，四点共面．
（2）如图，，又，所以，
．
因为，所以为平行四边形，从而．
又平面，所以平面．
（3）如图，连结
因为，，
所以平面，得．
于是是所求的二面角的平面角，即．
因为，所以
，
．
解法二：
（1）建立如图所示的坐标系，则，，，所以，故，，共面．
又它们有公共点，所以四点共面．
（2）如图，设，则，
而，由题设得，
得．
因为，，有，
又，，所以，
，从而，．
故平面．
（3）设向量截面，
于是，．
而，，得，
，解得，，所以．
又平面，
所以和的夹角等于或（为锐角）．
于是．
故．
37.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，使，过点A作与x轴重直的直线交抛物线于点C，则△BCF的面积是（）
A．64 B．32 C．16 D．8
【答案】C
【解析】略
38.如图，设抛物线的准线与x轴交地F1，焦点为F2，以F1、F2为焦点，离心率的椭圆C2与抛物线C2在x轴上方的交点为P。

（1）当m=1时，求椭圆C2的方程；
（2）延长PF2交抛物线于点Q，M是抛物线C1上一动点，且M在P与Q之间运动，当
△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时，求△MPQ面积的最大值。

【答案】略
【解析】
39.抛物线的焦点坐标是____________________.
【答案】
【解析】略
40.设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则与的面积之比=（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】：∵抛物线方程为，∴焦点F的坐标为（，0），准线方程为如图，设
A（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，F，则，
把代入抛物线，得，
∴直线AB过点与，
直线AB方程为，代入抛物线方程，解得，∵在△AEC中，BF∥AE，
∴,
故答案为.
41.抛物线上的一点到焦点的距离为1，
则点的纵坐标是
【答案】
【解析】略
42.与抛物线有共同焦点，且一条渐近线方程是的双曲线的方程是．【答案】
【解析】略
43.直线与抛物线交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为（）
A 48
w.w.*w.k.&s.5*u.c.om
B 56
C 64
D 72
【答案】A
【解析】略
44.要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】略
45.（本小题满分13分）已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD,AE,且AD,AE的斜率k
1、k
2
满足
，试推断：动直线DE是否过定点？证明你的结论。

【答案】（1）动点的轨迹的方程（2）直线DE过定点(-1,-2)
【解析】（1）设，则，∵，
∴．，
所以动点的轨迹的方程．………５分
（2）将A(m,2)代入得m="1," ∴A(1,2) …………………………６分
法一: ∵两点不可能关于x轴对称，∴DE不斜率必存在
设直线DE的方程为
由得
∴………………………８分
∵且
∴…………………９分
将代入化简得
…………………………………10分
将b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k(x+1)-2,过定点(-1,-2)…………11分
将b=2-k代入y=kx+b
得y=kx+2-k=k(x-1)+2,过定点(1,2)即为A点，舍去
∴直线DE过定点（-1，-2）…………………………………………13分
法二：设，(5分)则……７分
同理,由已知得
…………9分
设直线DE的方程为x=ty+n代入
得…………10分
∴,直线DE的方程为…12分
即直线DE过定点(-1,-2) ………13分
46.在平面直角坐标系xoy中，以点P为圆心的圆与圆x2+y2-2y=0外切且与x轴相切(两切点不重合)．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若直线mx一y+2m+5=0(m∈R)与点P的轨迹交于A、B两点，问：当m变化时，以线段AB 为直径的圆是否会经过定点?若会，求出此定点；若不会，说明理由．
【答案】（1）（＞）；（2）会定点为.
【解析】本题主要考查两圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等数学知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，由于以点p为圆心的圆与x轴相切，通过数形结合得且，解出x与y的关系，即所求的P点的轨迹方程；第二问，直
线与抛物线方程联立，消参得到关于x的方程，得到，，先写出以线段AB为直径的圆
的方程，将，代入后，得到关于m的方程，由于m∈R，所以得到
，解出唯一解，所以圆过定点（2,1）.
试题解析：⑴设，由题意知且，得
故所求点的轨迹方程为（＞） 5分
⑵设、，将代入得
∴ 7分
而以线段为直径的圆的方程为，
即，
得， 10分
整理成关于的方程
由于以上关于的方程有无数解，故，
由以上方程构成的方程组有唯一解.
由此可知，以线段为直径的圆必经过定点. 13分
【考点】1.抛物线的标准方程；2.直线与抛物线的位置关系；3.两个圆的位置关系.
47.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，抛物线上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，则，
解得
p=8；即抛物线的方程为，把M（1，m）代入，可得m=4，即M的坐标为（1，4），双曲线的左顶点为A，则a＞0，且A的坐标为，渐近线方程为，因为双曲线的一条渐近线与
直线AM平行，所以，解得，故选A
【考点】本题考查抛物线的定义，双曲线的几何性质
点评：解决本题的关键是掌握抛物线的定义，焦半径公式，以及双曲线的几何性质
48.若抛物线（）的焦点在圆外，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为抛物线（）的焦点，又因为焦点在圆外，所以 .
【考点】1.抛物线的焦点；2.点与圆的位置关系.
49.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物的准线方程为
过点M（0,-2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）.直线过点M与抛物线交于两点B,C，与直线OA交于点N.
（1）求抛物线的方程;
（2）试问: 的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。

【答案】（1）（2）2．
【解析】（1）由抛物线准线性质得，所以抛物线的方程为，（2）先利用导数求切点坐标：设，解得，所以直线的方程为．再根据直线与抛物线联立方程组，用直线斜率表示B,C坐标关系：
，
所以
试题解析：（1）由题设知，，即
所以抛物线的方程为 2分
（2）因为函数的导函数为，设，
则直线的方程为， 4分
因为点在直线上，所以．
联立解得． 5分
所以直线的方程为． 6分
设直线方程为，
由，得，
所以． 7分
由，得． 8分
所以,
故为定值2． 10分
【考点】直线与抛物线位置关系
50.已知抛物线的焦点为，点关于坐标原点对称，以为焦点的椭圆，过点
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设，过点作直线与椭圆交于两点，且，若，求的最小值。

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据题意抛物线的焦点为，所以椭圆中，再将点代入椭圆方程利
用，求得的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）根据题意直线的斜率一定不为，设直线的方程为：联立（Ⅰ）得到的椭圆方程，根据韦达定理得到：的值，利用求得的取值范围，进而得到的最小值.
试题解析：（Ⅰ）易知，椭圆方程为（5分）
（Ⅱ）由题意可设，由（6分）
设
将得（8分）
由得，（9分）
，
（11分）
令
的最小值是. （13分）
【考点】1.椭圆的方程；2.韦达定理；3.二次函数.
51.（本小题满分13分）如图，已知抛物线，过焦点F任作一条直线与相交于
两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）．
（Ⅰ）证明：动点在定直线上；
（Ⅱ）点P为抛物线C上的动点，直线为抛物线C在P点处的切线，求点Q（0，4）到直线距离的最小值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】（1）解决直线和抛物线的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论；（2）点Q到直线距离的最小值，应先根据题意设出点，再由已知条件求出直线方程，由点到直线的距离公式，可得到一个参数方程，利用基本不等式或函数单调性求出最值即可
试题解析：（1）解：依题意，F（0，1），易知AB的斜率存在，设AB的方程为．代入得，即．设，则， 2分
直线AO的方程为；BD的方程为；解得交点D的坐标为， 4分
注意到及，则有，
因此，D点在定直线上． 6分
（Ⅱ）设为曲线上一点，因为，所以的斜率为，因此直线的方程为，即． 8分
则Q（0，4）点到的距离， 10分
所以
当时取等号，所以O点到距离的最小值为． 13分
【考点】（1）直线与抛物线的综合问题（2）求最小值.
52.（本小题满分14分）已知抛物线：的焦点为，点是直线与抛物
线在第一象限的交点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线有唯一公共点，且直线与抛物线的准线交于点,试探究，在
坐标平面内是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，
说明理由.
【答案】（1）；（2）在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为.
【解析】（1）由已知设点的坐标，由抛物线的定义得，再联立，解得的值，即可得抛物线的方程；（2）设点，，由已知得直线与抛物线相切，利用导
数可得直线的方程，令可得点的坐标，利用，即可得的值.
试题解析：（1）解法1：∵点是直线与抛物线在第一象限的交点，
∴设点 1分
∵抛物线C的准线为，由结合抛物线的定义得① 2分
又点在抛物线C上，∴② 3分
由①②联立解得，∴所求抛物线的方程式为 5分
[解法2：∵点是直线与抛物线在第一象限的交点，
∴设点 1分
∵抛物线C的焦点为，由得
即① 2分
又点在抛物线C上，∴② 3分
由①②联立解得，∴所求抛物线的方程式为 -5分]
（2）解法1：由抛物线C关于轴对称可知，若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必在轴上，设 6分
又设点，由直线与抛物线有唯一公共点知，直线与抛物线相切，
由得，∴ 7分
∴直线的方程为 8分
令得，∴点的坐标为， 9分
10分
∵点在以为直径的圆上，
∴ 12分
要使方程对恒成立，必须有解得 13分
∴在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为 14分
解法2：设点，由与抛物线有唯一公共点知，直线与抛物线相切，由
得，∴ 6分
∴直线的方程为 7分
令得，∴点的坐标为 8分
∴以为直径的圆方程为：③ 10分
分别令和，由点在抛物线上得
将的值分别代入③得：④
⑤
④⑤联立解得或 12分
∴在坐标平面内若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必为或
将的坐标代入③式得，左边==右边
将的坐标代入③式得，左边=不恒等于0 13分
∴在坐标平面内是存在点，使得以为直径的圆恒过点，点坐标为为 14分
【考点】1、抛物线的方程；2、抛物线的定义；3、直线与圆锥曲线的位置关系；4、导数的几何意义.
53.已知抛物线的焦点为，直线与交于在轴上方）两点，若
，则的值为（）
A．B．C．2D．3
【答案】D．
【解析】将联立，解得，，∵所给直线经过抛物线的焦点，且其准线为，∴点到准线的距离为，点到准线的距离为，据抛物线定义可有，结合已
知条件即可确定，故选D．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
54.已知F是抛物线的焦点，直线与该抛物线交于第一象限内的点，若
，则的值是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，由消去得，则①，
②，又，，由已知③，由②③得，代入①得
（在第一象限）.
【考点】直线和抛物线位置关系.
55.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．
【答案】
【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：
原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是
，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案应填：．
【考点】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．
56.抛物线的内接ABC的三条边所在直线与抛物线均相切，设A，B两点的纵坐标分别是，则C点的纵坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的坐标分别为,，，直线方程为
，整理得，把代入直线方程得，因为直线与抛物线相切，所以，，设，
同理有，，所以，化简得，选B．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
57.已知抛物线C：y2=" 2px" (p > 0)的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第
一、四象限分别交于A、 B两点，则的值等于_____________.
【答案】3
【解析】根据抛物线的性质，设，
，又，联立可解得，可得，则
【考点】抛物线的性质
58.已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设抛物线上有一动点到准线的距离为，那么计算的最小值可先求
出的最小值，由题意可知当点平移到点时值最小，此时的值为点到直线的距离，即，所以的最小值为。

【考点】抛物线的定义及其性质.
59.（本小题满分15分）如图，设抛物线的焦点为，为抛物线的顶点．过作抛物线
的弦，直线，分别交直线于点，．。