辽宁省大连渤海高级中学2019届高三上学期期中考试数学(理)试卷(有答案)(精选)

渤海高中2018-2019学年度第一学期期中
高三数学（理科）试题
考试时间：120分钟试题满分：150分
考察范围：复数向量不等式函数三角数列概率分布列
第Ⅰ卷选择题（共60分）
1、如果，，，那么（）
A．B．C． D.
2.已知复数，则
（A）(B) (C) (D)
3.已知，，由此推算：当n≥2时，有（）
A．B．
C．D．
4.设正数，y满足+y=1，若不等式对任意的，y成立，则正实数a的取值范围是（）
A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞4
5.设随机变量服从正态分布，若，则（）
A． B．C．D．
6.已知两个单位向量的夹角为，且满足，则实数的值为（）
A．-2 B．2 C．D．1 7.函数=的图象大致为( )
A．B．
C．D．
8.已知，则（）
A． B. C． D.
9. 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，不同的分派方法有（）
A.150种
B.180种
C.200种
D.280种
10.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为
（A）钱（B）钱（C）钱（D）钱
；当时，
11、已知函数的定义域为，当时，
；当时，，则( ) A．B．C．D．
12、函数是定义在上的可导函数，其导函数为且有
，则不等式的解集为（）A．B．C．D．
第Ⅱ卷（共90分）
13. 数列前项和，则.
14.函数的部分图象如
图所示，则.
15.已知点在曲线上，则曲线在点处的切线方程为
_____________.
16.如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有
，则称函数为“函数”.
下列函数①；②；③；④
是“函数”的所有序号为_______.
17.（本小题满分10分）
已知函数f ()＝A sin(ω＋φ)(其中A >0，ω>0,0<φ<2π
)的图象与轴的相交点中，相邻两个
交点之间的距离为2π
，且图象上一个最低点为
.
（1）求f ()的解析式；
（2）当∈时，求f ()的值域．
18. （本小题满分12分）
已知分别为三个内角的对边，.
（1）求； （2）若
，求
的面积.
19. （本小题满分12分） 已知等差数列的前项和为
，且
，
．
（1）求的通项公式和前项和
；
（2）设是等比数列，且
，求数列
的前n 项和
．
20. （本小题满分12分）
随着支付宝、微信等支付方式的上线，越越多的商业场景可以实现手机支付．为
了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：
(1)若从年龄在[55，65）的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中使用手机支付的人数为，求的分布列及数学期望；
(2)把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完2×2列联表，是否有以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？
可能用到的公式：
独立性检验临界值表：
21（本小题满分12分）
甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每
一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束）.
（1）求甲获得比赛胜利的概率；
（2）设比赛结束时的局数为，求随机变量的分布列和数学期望.
22.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）若与在处相切，试求的表达式；
（2）若在上是减函数，求实数的取值范围；
（3）证明不等式：.
高三数学（理科）答案
1.A
2.C
3.D
4. C
5.D
6. B
7.B
8.C
9.A 10.B 11.D12.A
13.
14. 1 15.
16. ．①③
17.解 (1)由最低点为M ，－22π
，得A ＝2.（2分）
由轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得，2T ＝2π
， 即T ＝π，所以ω＝T 2π＝π2π
＝2.（4分） 由点M ，－22π
在函数f ()的图象上， 得2sin ＋φ2π
＝－2， 即sin ＋φ4π
＝－1.
故34π＋φ＝2π－2π，∈，所以φ＝2π－611π
(∈)． 又φ∈2π，所以φ＝6π，
故f ()的解析式为f ()＝2sin6π
.（6分） (2)因为∈2π，所以2＋6π∈67π
.
当2＋6π＝2π，即＝6π
时，f ()取得最大值2； 当2＋6π＝67π，即＝2π
时，f ()取得最小值－1. 故函数f ()的值域为[－1,2]．（10分）
18.解：(Ⅰ)
...............................................................2分
................................4分
即又
...........................................6分
(Ⅱ)
...........................................8分
又由题意知，
当时等式成立.).............................10分
......................................12分
19.（1）设等差数列的首项为，公差为，
则由，，得，解得，……………3分所以，即，
，即．……………5分
20.（1）年龄在[55，65）的被调查者共5人，其中使用手机支付的有2人，则抽取的2人中使用手机支付的人数可能取值为0,1,2
；；
所以的分布列为
（2）2×2列联表如图所示
没有以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联
21.（Ⅰ）设比赛局数分别为3,4,5时,甲获胜分别为事件，
则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得：
，,，...........3分所以由互斥事件的概率加法公式可得，
甲获胜的概率为................................................6分
所以，的分布列为
的数学期望..............................................................12分
22解：（1）由已知且得：-----(2分)
又-----(3分)
（2）在上是减函数，
在上恒成立. ---- (5分) 即在上恒成立，由，
得-----(7分)
（3)由（1）可得：当时：
得：----(9分) 当时：
当时：
当时：
……当时：，
上述不等式相加得：
即：--(12分。