数学---吉林省通化市梅河口五中2016-2017学年高一(下)期中试卷(文科)(解析版)
2020届吉林省梅河口市五中2017级高三下学期模拟考试数学(文)试卷及解析
2020届吉林省梅河口市五中2017级高三下学期模拟考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,A =2,3},()(){|120}B x x x =+-≤,则A B ⋂等于( )A. {}1B. {}1,2C. {0,1,2,3}D. {1,-0,1,2,3}【答案】B【解析】分别求出集合A,B,由此能求出A B ⋂． 【详解】集合A {1,=2,3},()()B {x |x 1x 20}{x |1x 2}=+-≤=-≤≤,{}A B 1,2∴⋂=．故选B ．2.已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-,i 为虚数单位,则21z z +=-（ ）A. 1i --B. 1i +C. 312i - D. 312i +【答案】D【解析】21z z +=-323122ii i -=+- ,选D.3.命题“R,x ∀∈3210x x -+≤”的否定是( )A. 不存在0R,x ∈320010x x -+≤ B. 0R,x ∃∈320010x x -+≥C. 0R,x ∃∈320010x x -+> D. R,x ∀∈3210x x -+>【答案】C【解析】全称命题的否定为∀→∃,对结论进行否定,即可得到结果.【详解】由全称命题的否定是特称命题,可得命题32R,10x x x ∀∈-+≤的否定是“32000R,10x x x ∃∈-+>”,故选:C4.已知向量()()4,1,5,2a b =-=-且()()//a b ma b +-,则m =A. 1B. 1-C. 75D. 75- 【答案】B【解析】根据题意,求得()()1,1,45,2a b ma b m m +=--=+--,根据()()a b ma b +-//,列出关于m 的方程,即可求解．【详解】由题意,向量()()4,1,5,2a b =-=-,则()()1,1,45,2a b ma b m m +=--=+--因为()()a b ma b +-//,所以(1)(2)1(45)m m -⨯--=⨯+,解得1m =-,故选B ．5.已知 1.22a =,0.81()2b -=,52log 2c =,则a, b, c 的大小关系为（ ） A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【详解】试题分析：因为0.80.81()22b -==,所以由指数函数的性质可得0.8 1.2122b a <=<=,552log 2log 41c ==<,因此c b a <<,故选A.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题,属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质,所以也是常常是命题的热点,对于这类问题,解答步骤如下：（1）分组,先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较,每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理,将各个数按顺序排列.。
吉林省通化市梅河口五中高一数学下学期段考试题(概率)
2012-2013学年吉林省通化市梅河口五中高一（下）段考数学试卷（概率）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确选项，每题4分，共48分）1．（4分）在两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据题意确定为几何概型中的长度类型，找出2m处界点，挂在大于2m处，再求出其比值．解答：解：记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则灯只能在中间2m的绳子上挂，所以事件A发生的概率．故选B点评：本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出大于或小于的界点来．2．（4分）从甲、乙、丙、丁4人中选3人当代表，则甲被选中的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由于所有的选法有种，其中，甲被选中的选法有种，由此求得甲被选中的概率．解答：解：所有的选法有=4种，其中，甲被选中的选法有=3种，故甲被选中的概率是，故选D．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．3．（4分）在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：求出三角形的面积；再求出据三角形的直角顶点的距离不大于1的区域为扇形，扇形是四分之一圆，求出四分之一圆的面积；利用几何概型概率公式求出该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率．解答：解：三角形ABC的面积为到此三角形的直角顶点的距离不大于1的区域是四分之一圆，面积为所以该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率是P=故选B．点评：本题考查几何概型的计算，解题的关键是分析满足“到此三角形的直角顶点的距离”的点的性质，得到该区域的面积．4．（4分）从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A．1B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：根据已知中五件正品，一件次品，我们易得共有6件产品，由此我们先计算出从中任取出两件产品的事件个数，及满足条件“恰好是一件正品，一件次品”的基本事件个数，然后代入古典概型概率公式，可求出答案．解答：解：由于产品中共有5件正品，一件次品，故共有6件产品从中取出两件产品共有：C62==15种其中恰好是一件正品，一件次品的情况共有：C51=5种故出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率P==故选C点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，计算出满足条件的基本事件总数及其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键．5．（4分）已知地铁列车每10min到站一次，且在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是地铁列车每10min到站一次，共有10min，满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只有1min，根据概率等于时间长度之比，得到结果．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是地铁列车每10min到站一次，共有10分钟满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只要1分钟，记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，∴事件A发生的概率P=．故选A．点评：本题是一个等可能事件的概率，概率之比是时间长度之比，是一个不能列举出的事件数，是一个几何概型，注意解题的格式．6．（4分）连续投掷两次骰子得点数m，n作为点P坐标，则点P在圆x2+y2=25的外部的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：先计算出基本事件总数，再计算出事件“点P在圆x2+y2=25外”包含的基本事件数，再由公式求出概率即可解答：解：由题意以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标（m，n），这样的点共有36个“点P在圆x2+y2=25外”包含的基本事件有（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共21个故点P在圆x2+y2=25外的概率是=故选C．点评：本题考查古典概率模型及其概率计算公式，解题的关键是计算出所有的基本事件的个数以及所研究的事件所包含的基本事件总数．本题计算事件所包含的基本事件数用的是列举法，对一些规律不明显的事件所包含基本事件的统计经常用列举法．7．（4分）在正方形ABCD内任取一点P，则使∠APB＜90°的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：点P在正方形ABCD内，若使∠APB＜90°，则P应在以AB为直径的半圆外部，所以使∠APB＜90°的概率是半圆外的面积比上正方形的面积．解答：解：如图，设正方形的边长为a：图中白色区域是以AB为直径的半圆当P落在半圆内时，∠APB＞90°；当P落在半圆上时，∠APB=90°；当P落在半圆外时，∠APB＜90°；故使∠APB＜90°的概率P==1﹣故选C．点评：本题考查的知识点是几何概型，关键是要画出满足条件的图形，结合图形分析，找出满足条件的点集对应的图形面积及图形的总面积．8．（4分）同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，这100个铜板更可能是下面哪种情况（）A．这100个铜板两面是一样的B．这100个铜板两面是不同的C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不同的D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不同的考点：分布的意义和作用．专题：阅读型．分析：向上抛一个铜板，铜板落地时有0.5的概率正面朝上，有0.5的概率反面向上，同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同的概率是极小的，这样的事件是一个概率非常小的事件，不可能发生．解答：解：向上抛一个铜板，铜板落地时有0.5的概率正面朝上，有0.5的概率反面向上，∴同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同的概率是，这样的事件是一个概率非常小的事件，不可能发生，∴只有这100个铜板是两面一样的，故选A．点评：本题考查分布的意义和作用，是一个理解概率意义的题目，做出事件发生的概率是一个极小的数字，是不可能发生的．9．（4分）把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组只有一个解的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用分布计数原理求出骰子投掷2次所有的结果，通过解二元一次方程组判断出方程组有唯一解的条件，先求出不满足该条件的结果个数，再求出方程组有唯一解的结果个数，利用古典概型的概率公式求出方程组只有一个解的概率．解答：解：骰子投掷2次所有的结果有6×6=36种，由方程组可得得（b﹣2a）y=3﹣2a，当b﹣2a≠0时，方程组有唯一解．当b=2a时包含的结果有：当a=1时，b=2；当a=2时，b=4，当a=3时，b=6共三个，所以方程组只有一个解包含的基本结果有36﹣3=33种，由古典概型的概率公式得只有一个解的概率为=，故选B．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，求某个事件的概率，应该先判断出事件的概型，再选择合适的概率公式求出事件的概率，常考的是古典概型，属于基础题．10．（4分）有4条线段，长度分别为1、3、5、7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用组合的意义分别求出：从这四条线段中任取三条的方法和所取三条线段能构成一个三角形的方法，再根据古典概型的计算公式即可得出．解答：解：从这四条线段中任取三条，共有中情况．其中只有当取3，5，7时，才能组成三角形．因此所取三条线段能构成一个三角形的概率P=．故选A．点评：正确理解组合的意义及三条线段能组成三角形的条件是解题的关键．11．（4分）同时掷3枚硬币，那么互为对立的事件是（）A．至少有1枚正面和最多有1枚正面B．最多有1枚正面和恰有2枚正面C．不多于1枚正面和至少有2枚正面D．至少有2枚正面和恰有1枚正面考点：互斥事件与对立事件．专题：阅读型．分析：至少有一枚正面包括有一正两反，两正一反，三正三种情况，最多有一枚正面包括一正两反，三反，两种情况，像这样列举出选项中包含的事件情况，分析出事件之间的关系．解答：解：由题意知至少有一枚正面包括有一正两反，两正一反，三正三种情况，最多有一枚正面包括一正两反，三反，两种情况，故A不正确，最多有一枚正面包括一正两反，三反与恰有2枚正面是互斥的但不是对立事件，故B 不正确，不多于一枚正面一正两反，三反，至少有2枚正面包括2正和三正，故C正确，至少有2枚正面包括2正和三正，与恰有1枚正面是互斥事件，故D不正确，故选C．点评：本题考查互斥事件和对立事件的关系，对于题目中出现的两个事件，观察两个事件之间的关系，这是解决概率问题一定要分析的问题，本题是一个基础题．12．（4分）某算法的程序框图如图所示，如果从集合{x|﹣5≤x≤5，x∈Z}任取一数作为x 值输入，则输出的y值大于或等于2的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式；选择结构．专题：概率与统计．分析：利用程序框图可得所有的结果共有11个，其中满足输出的y值大于或等于2的有7个，由此求得输出的y值大于或等于2的概率．解答：解：当x=﹣5时，则输出值y=5，当x=﹣4时，则输出值y=4，当x=﹣3时，则输出值y=3，当x=﹣2时，则输出值y=2，当x=﹣1时，则输出值y=，当x=0时，则输出值y=1，当x=1时，则输出值y=2，当x=2时，则输出值y=1，当x=3时，则输出值y=log23，当x=4时，则输出值y=2，当x=﹣5时，则输出值y=log25，综上可得，所有的结果共有11个，其中满足输出的y值大于或等于2的有7个，故输出的y值大于或等于2的概率等于，故选 B．点评：本题主要考查程序框图的应用，古典概率的求法，属于基础题．二、填空题（每题5分，共20分，将答案写在答题纸上）13．（5分）从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由题意，从数字1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，总数为A42=12，事件“两位数大于40”只能是十位是4，个数是其余三个数中的一个，求出此事件包含的基本事件数，求出事件的概率．解答：解：由题意从数字1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，总数为=12，事件“两位数大于40”包含的基本事件数是1×3=3个，故事件“两位数大于40”的概率是=，故答案为．点评：本题考查等可能事件的概率，考查概率基本公式的应用，考查分析判断的能力及计数的方法．解题的关键是理解事件“两位数大于40”确定此事件的计数方法，属于中档题．14．（5分）向面积为S的△ABC内任投一点P，则随机事件“△PBC的面积大于”的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率，即可考虑画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．解答：解：记事件A={△PBC的面积大于}，基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（D、E分别是三角形的边上的三等分点），因为△ADE∽△ABC，且相似比为，∴=，∴阴影部分的面积是整个三角形面积的，所以P（A）==．故答案为：．点评：本题主要考查了几何概型．由这个题目可以看出，解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，同学们需要注意．15．（5分）如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC 和∠BOC都不小于30°的概率．考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题可选用面积计算概率，作∠AOD=∠BOE=30°，分别求扇形AOB、DOE的面积，也可从角度考虑，同时也可利用弧DE的长度是弧AB长度的．选用“测度”为角度计算更加简洁．解答：解：记事件A=“作射线OC，使∠AOC 和∠BOC都不小于30°”；作射线OD、OE，使∠AOD=∠BOE=30°，当OC在∠DOE内时，∠AOC 和∠BOC都不小于30°，则：P=．故答案为：．点评：解决几何概型的求概率问题，关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用几何图形的几何度量来求随机事件的概率．变换测度，一题多解，同时选用不同的“测度”有时可简化解题．16．（5分）在2升小麦种子中混入2粒患白粉病的种子，从中随机取出0.5升，则含有白粉病种子的概率．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意可得，将事件：“从中随机取出0.5升，含有白粉病种子”分成两类，一类是从中随机取出0.5升，含有两个白粉病种子，另一类是从中随机取出0.5升，含有一个白粉病种子．两类所求的概率属于几何概率，代入几何概率的计算公式可求得答案，最后再根据互斥事件的概率公式计算即得．解答：解：记“从中随机取出0.5升，含有白粉病种子”为事件A，由题意可得，事件A分成两类，一类是从中随机取出0.5升，含有两个白粉病种子，另一类是从中随机取出0.5升，含有一个白粉病种子．（1）从中随机取出0.5升，含有两个白粉病种子时，所求的概率属于几何概率，由几何概率的计算公式可得P1==；（2）从中随机取出0.5升，含有一个白粉病种子时，所求的概率也属于几何概率，由几何概率的计算公式可得P2=×=；∴根据互斥事件的概率公式，得从中随机取出0.5升，则含有白粉病种子的概率+=．故答案为：．点评：本题考查几何概型，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题（共3小题，满分32分）17．（10分）某汽车站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该汽车站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．（1）列出所有基本事件；（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）根据三类客车分别记为上、中、下，由小曹坐车的原则先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，可列出所有的基本事件；（2）由列举法可得所有可能的客车通过顺序的情况，分析可得该人可以乘上上等车的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：（1）三类客车分别记为上、中、下．则有如下的基本事件：①上﹣中﹣下；②上﹣下﹣中；③中﹣上﹣下；④中﹣下﹣上；⑤下﹣上﹣中；⑥下﹣中﹣上．因此，基本事件总数为6个．（2）小曹能乘上上等车的事件记为A，则A中包含上述事件中的：③中﹣上﹣下；④中﹣下﹣上；⑤下﹣上﹣中，共3个故P（A）==．点评：本题考查等可能事件的概率计算，关键是用列举法分析出客车通过的全部顺序与可以乘上上等车的情况．18．（10分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．点评：本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．19．（12分）利用随机模拟的方法计算图中阴影部分（曲线y=2x与x轴，x=1，x=﹣1围成的部分）的面积．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出．解答：解：由定积分的几何意义可得：S阴影====．故阴影部分的面积为．点评：熟练掌握导数的运算法则和微积分基本定理是解题的关键．11。
吉林省梅河口市2016_2017学年高一数学下学期期中试题理
吉林省梅河口市2016-2017学年高一数学下学期期中试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.请将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项符合题意，请将正确答案转涂到答题卡相应的位置） 1.不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(－1,2]B.[－1,2]C. (－∞，－1)∪[2，＋∞)D.(－1,2]2.下列说法正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c是共线向量C ．a b a b +=- 则0a b ⋅=D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=3.若a<b<0，则下列不等式不能成立的是 ( )A.1a －b >1a B.1a >1bC.|a|>|b|D.a 2>b 24.已知a ，b 的夹角是120°，且(2,4)a =--，b = a 在b 上的投影等于（ ）A ．2-B ． ．．25.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于 ( )． A.π3 B.π4 C.π6 D.π126．已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0上的一个动点，则|AM |的最小值是( )A ．5B ．3C ．2 2D. 6557．设0,0.a b>>3a 与3b的等比中项，则11a b+的最小值为 （ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．148.已知平面向量a 与b 的夹角为3π，且1b =,2a b += a = （ ）A．1 B ．2 D ．3 9．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.1810.若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－1211．数列{}n a 是递减的等差数列，{}n a 的前n 项和是n S ，且96S S =，有以下四个结论①08=a ； ②若对任意,n N +∈都有k n S S ≤成立，则k 的值等于7或8时； 存在正整数k ，使0=k S ； ④存在正整数m ，使m m S S 2=.其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④12.已知函数()()x a x x f +=1. 设关于x 的不等式()()x f a x f <+的解集为A . 若A ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21, 则实数a 的取值范围是( ) A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,251 B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,231 C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-231,00,251D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-251, 第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案转填到答题卡相应的位置）13. 在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________.14.数列{}n a 的通项公式cos12n n a n π=+,前n 项和为n S ,则2016S =___________. 15.设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为________．16.函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称，y x ,满足不等式)2(2x x f -0)2(2≤-+y y f ，)2,1(M ，),(y x N ， O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，ON OM ∙的取值范围为___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请将正确答案转填到答题卡相应的位置） 17．（本小题满分10分）已知ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，设向量(,)m a b = ，(sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =--（1）若//m n，求证：ABC ∆为等腰三角形 （2）若m p ⊥ ,边长2c = 角C = 3π，求ABC ∆的面积18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，153=S ，3a 和5a 的等差中项为9 （1）求n a 及n S （2）令)(14*2N n a b n n ∈-=，求数列{}n b 的前n 项和n T 19．（本小题满分12分）解关于x 的不等式()()3110m x x +-+>⎡⎤⎣⎦，其中m R ∈20、已知数列{}n b 的前n 项和23.2n n nB -=()I 求数列{}n b 的通项公式；()II 设数列{}n a 的通项[(1)]2n n n n a b =+-⋅，求数列{}n a 的前n 项和n T .21.(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且B cos ＝108， cos ∠ADC ＝－14.(1)求sin ∠BAD 的值； (2)求AC 边的长． 22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数，为偶数.（1）求a 2， a 3，a 4的值；（2）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S ，并求满足0n S >的所有正整数n 的值。
【全国百强校】吉林省梅河口五中2016-2017学年高一下学期期末考试理数试题
绝密★启用前【全国百强校】吉林省梅河口五中2016-2017学年高一下学期期末考试理数试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、关于的方程的两个实根分别在区间和上，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．3、在中，角对边分别为，且，则（ ）A ．或B ．C ．D ．或A． B． C． D．5、已知，则的终边落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6、已知，则的最小值为（）A． B．6 C． D．7、在等差数列前项和为，若，则的值为（）A．9 B．12 C．16 D．178、若等比数列前项和为，且满足，则公比等于（）A．1 B．-1 C． D．不存在9、（）A． B． C． D．10、已知，则（）A． B． C． D．11、已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（）A．-4 B．-6 C．-8 D．-10第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）12、已知数列满足，则取最小值时__________．13、已知数列前项的和为，则数列的前项的和为__________．14、在中，若，则__________．15、已知非零向量满足，则__________．三、解答题（题型注释）16、某厂生产甲产品每吨需用原料和原料分别为2吨和3吨，生产乙产品每吨需用原料和原料分别为2吨和1吨．甲、乙产品每吨可获利润分别为3千元和2千元．现有12吨原料，8吨原料．问计划生产甲产品和乙产品各多少吨才能使利润总额达到最大．17、已知向量满足，，函数．（Ⅰ）求在时的值域；（Ⅱ）已知数列 ，求的前项和．18、已知数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和．19、已知中，．是的角平分线，交于．（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的长．20、已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．21、（Ⅰ）关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；（Ⅱ）关于的不等式的解集为，求的值．参考答案1、A2、C3、A4、D5、B6、C7、A8、C9、A10、C11、B12、813、14、15、16、计划生产甲产品和乙产品分别为1吨和5吨能使得总利润最大.17、（I）；（II）.18、（I）；（II）.19、（I）；（II）.20、（1）（2）21、（I）；（II），或.【解析】1、试题分析：令f（x）=x2+（a+2b）x+3a+b+1，由题意可得f（0）＝3a+b+1＜0…①，f（1）＝4a+3b+2＞0…②，f（−1）＝2a−b+2＞0…③．画出不等式组表示的可行域，令目标函数z=a+b，如图所示：由求得点A，由，求得点C．当直线z=a+b经过点A时，z=a+b=；当直线z=a+b经过点C时，z=a+b=，故z=a+b的范围为考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系2、∵点和在直线的两侧，∴，化为，解得，故选C.3、，∴，∴，∵，∴或，故选A.4、由，故，故选D.5、∵，∴为一、二象限角或在轴正半轴上，∵，∴为二、三象限角在轴负半轴上，∴为第二象限角，故选B.6、，故答案为.点睛：本题考查三角函数的化简求值，考查基本不等式的应用，属于中档题；基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．7、∵，∴得：，，故选A.8、∵，∴，即，∵，∴，解得，故选C.9、，故选A.10、∵，根据诱导公式可得：，故选C.11、试题分析：成等比数列，所以，解得，.考点：等差数列与等比数列.12、∵（），∴，，…，累加得：，又∵，∴，∴，∵，当且仅当时取等号，∴取最小值时，故答案为.点睛：本题考查数列的通项，涉及基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题；通过，利用累加法可知，进而可知，利用基本不等式计算即得结论.13、∵（），∴（），∴，∴，，故数列是以1为首项，4为公比的等比数列，故其前项的和为，故答案为.14、∵由正弦定理可得，∴，令，，（），利用余弦定理有，∵，∴，故答案为.15、∵，∴，即，则，故答案为.16、试题分析：首先由题意利用，满足的约束条件，以及目标函数，然后画出可行域，找到最优解求是最值.试题解析：计划生产甲产品和乙产品分别为吨，则满足的约束条件为，总利润．约束条件如图所示，恰好在点处取得最大值，即计划生产甲产品和乙产品分别为1吨和5吨能使得总利润最大．点睛：本题考查了简单线性规划的应用；根据是明确题意，列出约束条件，根据约束条件画可行域，求目标函数的最值；求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.17、试题分析：（Ⅰ）利用平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用可求解析式，由，可求的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求值域；（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得，可求得，利用，由等差数列的求和公式即可得解.试题解析：（Ⅰ）当时，，所以（Ⅱ）所以又，所以18、试题分析：（Ⅰ）通过对变形可知，进而计算可得结论；（Ⅱ）通过可知，利用错位相减法计算可得结论.试题解析：（Ⅰ）可得，又，所以数列为公比为2的等比数列，所以，即（Ⅱ），设则所以，所以.点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.19、试题分析：（Ⅰ）在三角形与三角形中，分别利用正弦定理列出关系式，根据为角平分线，互补两角正弦值相等，即可求出的值；（Ⅱ）三角形ABC面积=三角形面积+三角形面积，利用三角形面积公式列出关系式，即可求出的长。
吉林省长五中、田家炳实验中学联考高一下学期期中数学试卷
2016-2017学年吉林省长春五中、田家炳实验中学联考高一（下）期中数学试卷一、选择题.（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知=（﹣2，1），=（x，﹣），且∥，则x=（）A．1 B．2 C．3 D．52．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．3．设，是两个非零的平面向量，下列说法正确的是（）①若•=0，则有|+|=|﹣|；②|•|=||||；③若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||+||；④若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ．A．①③B．①④C．②③D．②④4．设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）A．B．C． D．5．在△ABC中，若a=2，b=2，B=60°，则角A的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣ B．C．1 D．8．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知S7=49，则a2，a6的等差中项是（）A．B．7 C．±7 D．9．等差数列{a n}的前n项和S n，若S5=35，a3﹣a5=4，则S n的最大值为（）A．35 B．36 C．6 D．710．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．17611．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=（）A．26 B．27 C．28 D．2912．数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+2=a n+1﹣a n（n∈N*），则a2017=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2二、填空题.（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．在等差数列{a n}中，a5+a10+a15+a20=20，则S24=．14．已知⊥，||=2，||=3，且与垂直，则实数λ的值为．15．已知△ABC的一内角为120°，并且三边长构成公差为2的等差数列，则△ABC的面积为．16．在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为．三、解答题.（本大题共5小题，合计56分）17．（10分）已知向量=31﹣22，=41+2，其中1=（1，0），2=（0，1），求：（1）•和|+|的值；（2）与夹角θ的余弦值．18．（10分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，（1）a2=﹣1，S15=75，求a n与S n；（2）a1+a2+a3+a4=124，a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3=156，S n=210，求项数n．19．（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（1）求角A；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．20．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A是锐角，且b=2a•sinB．（Ⅰ）求∠A的度数；（Ⅱ）若a=7，△ABC的面积为10，求b2+c2的值．21．（12分）{an}满足a1=4，且a n=4﹣（n＞1），记b n=．（1）求证：{b n}为等差数列．（2）求{a n}的通项公式．2016-2017学年吉林省长春五中、田家炳实验中学联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题.（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知=（﹣2，1），=（x，﹣），且∥，则x=（）A．1 B．2 C．3 D．5【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】直接利用向量的共线的充要条件求解即可．【解答】解：知=（﹣2，1），=（x，﹣），且∥，所以x==1．故选：A．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．2．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（2﹣3）⊥，可得（2﹣3）•=0，解出即可．【解答】解：=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=2（2k﹣3）﹣6=0，解得k=3．故选：C．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．3．设，是两个非零的平面向量，下列说法正确的是（）①若•=0，则有|+|=|﹣|；②|•|=||||；③若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||+||；④若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ．A．①③B．①④C．②③D．②④【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算律．【分析】①当•=0时，判断|+|=|﹣|成立；②利用数量积判断|•|=||||不一定成立；③当=λ时，判断|+|=||+||不一定成立；④当|+|=||﹣||时，得出、共线，即可判断正误．【解答】解：对于①，当•=0时，|+|===|﹣|，∴①正确；对于②，∵•=||||cos＜，＞，∴|•|=||||不一定成立，②错误；对于③，当=λ时，则|+|=|λ+|=|||λ+1|，||+||=|λ|+||=||（|λ|+1），|+|=||+||不一定成立，∴③错误；对于④，当|+|=||﹣||时，∴ +2•+=﹣2||||+，∴•=﹣||||，∴共线，即存在实数λ，使得=λ，∴④正确．综上，正确的是①④．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时应熟练地掌握平面向量的有关概念，是基础题．4．设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）A．B．C． D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；95：单位向量．【分析】设与的夹角为θ，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得•=﹣，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵|+|=1，∴（ +）2=2+2•+2=1…（*）∵向量、均为单位向量，可得||=||=1∴代入（*）式，得1+2•+1=1=1，所以•=﹣根据向量数量积的定义，得||•||cosθ=﹣∴cosθ=﹣，结合θ∈[0，π]，得θ=故选C【点评】本题已知两个单位向量和的长度等于1，求它们的夹角，考查了得数量积的定义、单位向量概念和向量的夹角公式等知识，属于基础题．5．在△ABC中，若a=2，b=2，B=60°，则角A的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【考点】%1：梅涅劳斯定理；HP：正弦定理．【分析】直接利用正弦定理求得sinA，结合三角形中的大边对大角得答案．【解答】解：∵a=2，b=2，B=60°，∴由正弦定理，得=，∴sinA=，又a＜b，∴A=30°．故选：A．【点评】本题考查正弦定理的应用，考查了三角形的解法，是中档题．6．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【考点】GZ：三角形的形状判断；HR：余弦定理．【分析】已知2c2=2a2+2b2+ab，由余弦定理知c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解得cosC=﹣．由0＜C＜π，可得．【解答】解：∵2c2=2a2+2b2+ab，由余弦定理知c2=a2+b2﹣2abcosC，∴可解得cosC=﹣．∵0＜C＜π，∴．故选：D．【点评】本题主要考察了余弦定理的应用，考察了三角形的形状判断，属于基本知识的考查．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣ B．C．1 D．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．8．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知S7=49，则a2，a6的等差中项是（）A．B．7 C．±7 D．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由S7=49结合等差数列的性质求得a4=7，再由等差中项的概念列式求解a2，a6的等差中项．【解答】解：在等差数列{a n }中，由S 7=49，得：a 4=7， ∴a 2，a 6的等差中项是a 4=7． 故选：B ．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，关键是由S 7=49求得a 4，是基础题．9．等差数列{a n }的前n 项和S n ，若S 5=35，a 3﹣a 5=4，则S n 的最大值为（ ）A ．35B ．36C ．6D ．7【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】由题意易得a 5=3，进而可得公差和通项公式，可知数列{a n }的前6项均为正值，从第7项开始全为负，故数列的前6项和最大，求值即可．【解答】解：由等差数列的性质可得S 5==35，解得a 3=7，又a 3﹣a 5=4，所以a 5=3，设等差数列{a n }的公差为d ，则d==﹣2，故a n =a 3+（n ﹣3）d=13﹣2n ，令13﹣2n ≤0可得n ≥6.5 故数列{a n }的前6项均为正值，从第7项开始全为负， 故数列的前6项和最大，即S 6=S 5+a 6=35+1=36， 故选B【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，从数列的变化趋势入手是解决问题的关键，属基础题．10．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11=（ ） A ．58 B ．88 C ．143 D ．176【考点】8F ：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．【分析】根据等差数列的定义和性质得 a 1+a 11=a 4+a 8=16，再由S 11=运算求得结果．【解答】解：∵在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16， ∴a 1+a 11=a 4+a 8=16，∴S11==88，故选B．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=（）A．26 B．27 C．28 D．29【考点】8F：等差数列的性质．【分析】根据等差数列的前n项和公式表示出S9，利用等差数列的性质即可求出a5的值，然后把所求的式子利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．【解答】解：由S9==9a5=81，得到a5=9，则a2+a5+a8=（a2+a8）+a5=3a5=27．故选B【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．12．数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+2=a n+1﹣a n（n∈N*），则a2017=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【考点】8H：数列递推式．【分析】利用已知可得a n+6=a n．可得a2017=a6×334+3=a3．【解答】解：∵a1=1，a2=2，a n+2=a n+1﹣a n（n∈N*），∴a3=2﹣1=1，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣2，a6=﹣1，a7=1，a8=2．…．∴a n+6=a n．则a2017=a6×334+3=a3=1．故选：A．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题.（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．在等差数列{a n}中，a5+a10+a15+a20=20，则S24=120．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．【解答】解：等差数列{a n}中，a5+a10+a15+a20=20，∴2（a1+a24）=20，解得a1+a24=10，则S24==24×5=120．故答案为：【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知⊥，||=2，||=3，且与垂直，则实数λ的值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】运用向量数量积的性质，主要是向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：||=2，||=3，且与垂直，可得（）•（）=0，可得λ2﹣22+（2λ﹣1）•=0，由⊥，可得•=0，即有4λ﹣2×9+0=0，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查向量数量积的性质，主要是向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．15．已知△ABC的一内角为120°，并且三边长构成公差为2的等差数列，则△ABC的面积为．【考点】%H：三角形的面积公式；84：等差数列的通项公式．【分析】因为三角形三边构成公差为2的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+2，最小的边为x﹣2，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣2，x，x+2，则cos120°==﹣，解得x=5，所以三角形的三边分别为：3，5，7则△ABC的面积S=×3×5sin120°=．故答案为：．【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．16．在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为2．【考点】HS：余弦定理的应用．【分析】设AB=c AC=b BC=a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．【解答】解：设AB=c AC=b BC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时，此时a=，c=符合题意因此最大值为2另解：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，由正弦定理，有====2，所以AB=2sinC，BC=2sinA．所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°﹣A）+4sinA=2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+4sinA=cosA+5sinA=2sin（A+φ），（其中sinφ=，cosφ=）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：2【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．涉及了解三角形和函数思想的运用．三、解答题.（本大题共5小题，合计56分）17．（10分）（2011•云南模拟）已知向量=3﹣22，=41+2，其中1=（1，=（0，1），求：0），（1）•和|+|的值；（2）与夹角θ的余弦值．【考点】9U：平面向量数量积坐标表示的应用；93：向量的模；9J：平面向量的坐标运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．=（1，0），2=（0，1）的值表示出向量、，然后根【分析】（1）先根据据向量的数量积运算和向量模的运算求出答案．（2）先求出向量、的模，然后根据，将数值代入即可得到答案．﹣22，=41+2，其中1=（1，0），2=（0，【解答】解：由已知，向量=31），∴，（1），．（2）由上得，，∴．【点评】本题主要考查向量的模、平面向量的坐标运算、数量积运算．属基础题．18．（10分）（2017春•吉林期中）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，（1）a2=﹣1，S15=75，求a n与S n；（2）a1+a2+a3+a4=124，a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3=156，S n=210，求项数n．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】（1）利用等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a n与S n．（2）利用等差数列的通项公式得4（a1+a n）=（a1+a2+a3+a4+a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3），从而求出a1+a n=70，由此能求出项数n．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a2=﹣1，S15=75，∴，解得a1=﹣2，d=1，∴a n=﹣2+（n﹣1）×1=n﹣3．S n==．（2）∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a2+a3+a4=124，a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3=156，S n=210，∴4（a1+a n）=（a1+a2+a3+a4+a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3）=124+156=280，∴a1+a n=70，∴=，解得n=6．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列的项数n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．19．（12分）（2016春•南充期末）已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（1）求角A；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，确定出B+C的度数，即可求出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cosBcosC﹣sinBsinC=，∴cos（B+C）=，又∵0＜B+C＜π，∴B+C=，∵A+B+C=π，∴A=；（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA，得（2）2=（b+c）2﹣2bc﹣2bc•cos，把b+c=4代入得：12=16﹣2bc+bc，整理得：bc=4，则△ABC的面积S=bcsinA=×4×=．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20．（12分）（2010春•宣武区期末）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A是锐角，且b=2a•sinB．（Ⅰ）求∠A的度数；（Ⅱ）若a=7，△ABC的面积为10，求b2+c2的值．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，可把b=2a•sinB变形为sinB=2sinAsinB，从而解出sinA，进而求出A．（2）利用三角形的面积公式可得bc=40，代入余弦定理即可求出b2+c2的值．【解答】解：（Ⅰ）∵b=2a•sinB，∴由正弦定理知：sinB=2sinAsinB，∵∠B是三角形内角，∴sinB＞0，∴sinA=，∴∠A=60°或120°，，∵∠A是锐角，∴∠A=60°．（Ⅱ）∵a=7，△ABC的面积为10，∴10=bcsin60°，∴bc=40；由余弦定理得72=b2+c2﹣2bccos60°，∴b2+c2=89．【点评】本题主要利用了正弦定理的变形a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，三角形面积公式和余弦定理，注意整体思想的应用．21．（12分）（2017春•吉林期中）{an}满足a1=4，且a n=4﹣（n＞1），记b n=．（1）求证：{b n}为等差数列．（2）求{a n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式；8C：等差关系的确定．【分析】（1）由已知得=2×，从而，进而，由此能证明{b n}为等差数列，公差为．（2）由=，得=，由此能求出a n =．【解答】（1）证明：∵{a n }满足a 1=4，且a n =4﹣（n ＞1），∴=2×，，∵b n =，∴，∴b n ﹣b n ﹣1=，∴{b n }为等差数列，公差为．（2）解： =，∴=，∴，∴a n =．【点评】本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用．。
吉林省梅河口五中2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题
梅河口市第五中学2016---2017学年 (高二)年级下学期一、 第Ⅰ卷 选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项符合题意。
请把正确答案填在答题卷的答题栏内.）1．i 是虚数单位，R b ∈，i b )12-+（是实数，则复数ib ib z 22+-=在复平面内表示的点位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．集合{})1lg(x y x A -==，{a B =关于x 的方程022=+-a x x 有实解}，则=⋂B A （ ） A ．∅ B ．）1,(-∞ C ．[)1,0 D ． (]1,0 3．γβα，，为平面，l 是直线，已知l =⋂βα，则“γα⊥，γβ⊥”是“γ⊥l ”的（ ）条件 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分不必要条件 4．已知5.03=x ，47log 2=y ，31log 2=z ，则（ ） A ．z y x << B ．x y z << C ． y x z << D ．x z y <<5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A ．2B ．3-C ．13 D ． 12- 6．若幂函数()f x mx α=的图象经过点11(,)42A ，则它在点A 处的切线方程是( )A.20x y -=B.20x y +=C.4410x y ++=D.4410x y -+= 7．下列结论正确的是（ ） A ．若向量b a // ，则存在唯一实数b a λλ=使B ．已知向量b a ,为非零向量，则“b a ,的夹角为钝角”的充要条件是“0<⋅b a ”C ．“若21cos ,3==θπθ则”的否命题为“若21cos ,3≠≠θπθ则” D ．若命题01,:,01,:22>+-∈∀⌝<+-∈∃x x R x p x x R x p 则8.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积为（ ） A ．π B ．π4C ．32π D ．34π 9.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+224x y x y x ，表示的平面区域为D ，点)0,1(),0,0(A O .若点M 是D 上的动点， 则||OM OM OA ⋅的最小值是（ ）A.1010 B.55 C.22 D.10103 10.设函数()2xf x e x =-，则（ ） A ．2x e=为()f x 的极小值点B ．2x e=为()f x 的极大值点 C ．ln 2x =为()f x 的极小值点 D ． ln 2x =为()f x 的极大值点11.抛掷一颗骰子得到的点数记为m ，对于函数x x f πsin )(=，则“)(x f y =在[]m ,0上至少有5个零点”的概率是（ ） A ．65 B ．21 C ．13 D ．32 12．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量a OA =,b OB =，其中)1,2(),2,1(==b a ，平面区域D 由所有满足b a OP μλ+=，（10≤≤≤λμ）的点),(y x P 组成，点P 使得)0,0(>>+=b a by ax z 取得最大值3，则ba 21+的最小值是（ ） A ．223+ B ．42 C ．2 D ． 3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题 （本题4小题，每小题5分，共20分。
吉林省梅河口市第五中学2017届高三一模数学(文)试题 Word版含答案
梅河口市第五中学2017届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}012|{2≤-+=x x x M ，}1,3|{≤==x y y N x ，则集合}|{N x M x x ∉∈且等于（ ）A ．]3,0(B ．]3,4[-C ．)0,4[-D ．]0,4[-2.向量,,在正方形网格中的位置如图所示，若),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（ ）A ．2B ．4C ．5D ．73.已知⎩⎨⎧∉+∈+=R x x i Rx x x f ,)1(,1)(，则)]1([i f f -等于（ ）A ．3B ．1C ．i -2D ．i +34.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的b a ,分别为28,16，则输出的=a （ ）A ．0B ．2 C. 4 D ．145. 设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，0852=+a a ，则25S S 等于（ ） A ．11- B ．5 C. 8- D ．116.某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．π13B ．π16 C. π25 D ．π27 7.已知直线m 和平面βα,，则下列四个命题正确的是（ ）A ．若βα⊥，β⊂m ，则α⊥mB ．若βα//，α//m ，则β//m C. 若βα//，α⊥m ，则β⊥m D ．若α//m ，β//m ，则βα//8.已知21tan =x ，则=+)4(sin 2x π（ ） A ．101 B ．51 C. 53 D ．1099.已知n m ,是满足1=+n m ，且nm 91+使取得最小值的正实数.若曲线αx y =过点)32,(n m P ，则α的值为（ ）A ．1-B ．21C. 2 D ．310.已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对边长分别是c b a ,,，若ba ca C A B ++=-3sin sin sin ，则角B 的大小为（ ） A ．6π B ．3π C. 32πD ．65π11.设点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与圆2222b a y x +=+在第一象限的交点，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且||3||21PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．25 C. 10 D ．210 12.对于三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义：设)('x f 是函数)(x f 的导数，)(''x f 是)('x f 的导数，若方程0)(''=x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数12532131)(23-+-=x x x x g ，则=+++)20162015()20162()20161(g g g （ ） A ．2016 B ．2015 C. 4030 D ．1008第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≥+-012012y x x y x ，122--=y x z ，则z 的取值范围是 ．14.已知抛物线x y 42=上一点P 到焦点F 的距离为5，则PFO ∆的面积为 ． 15.已知O 是坐标原点，B A ,分别是函数x y πsin =以O 为起点的一个周期内的最大值点和最小值点.则=∠OAB tan ．16.已知函数kx x f =)(，)1(2ln 2)(2e x ee x x g ≤≤+=，若)(xf 与)(xg 的图象上分别存在点N M ,，使得MN 关于直线e y =对称，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，满足25225=-a S ，且1341,,a a a 恰为等比数列}{n b 的前三项.（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； （2）设n T 是数列}1{1+n n a a 的前n 项，是否存在*∈N k ，使得等式kk b T 121=-成立，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.18. 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，003，…，800进行编号.（Ⅰ）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）（Ⅱ）抽的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求b a ,的值. （Ⅲ）将10≥a ，8≥b 的b a ,表示成有序数对),(b a ，求“地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对),(b a 的概率.19. 如图，AB 为圆O 的直径，点F E 、在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直.已知2=AB ，1=EF . （Ⅰ）求证：平面⊥DAF 平面CBF ；（Ⅱ）设几何体ABCD F -、BCE F -的体积分别为21V V 、，求21V V ：的值.20.已知函数x n x mx f ln 1)(++=（n m ,为常数）的图象在1=x 处的切线方程为02=-+y x .（1）判断函数)(x f 的单调性；（2）已知)1,0(∈p ，且2)(=p f ，若对任意)1,(p x ∈，任意]2,21[∈t ，22)(23+--≥at t t x f 与22)(23+--≤at t t x f 中恰有一个恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率23=e ，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30的直线与圆222b y x =+相交所得弦的长度为1.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 交椭圆于不同的两点),(),,(2211y x N y x M ，设),(11ay bx =，),(22ay bx OQ =，其中O 为坐标原点.当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：MON ∆的面积为定值，并求出该定值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆1C 和2C 的参数方程分别是⎩⎨⎧=+=ϕϕsin 2cos 22y x （ϕ为参数）和⎩⎨⎧+==ββsin 1cos y x （β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆1C 和2C 的极坐标方程；（2）射线OM ：αθ=与圆1C 的交点分别为P O 、，与圆2C 的交点分别为Q O 、，求||||OQ OP ⋅的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知R c b a ∈,,，且1=++ac bc ab .（1）求证：.解关于x 的不等式3||≥++c b a ；（2）若R x ∈∃，使得对一切实数c b a ,,不等式2)(|1||1|c b a x x m ++≤++-+恒成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DBACA 6-10: CCDBD 11、12：DB二、填空题13. )5,35[-14. 2 15. 3416. ]2,2[e e - 三、解答题17.解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d （0≠d ），所以⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+-⨯+)12()3(25)(2)2455(112111d a a d a d a d a ， 解得31=a ，2=d ，∴12+=n a n .311==a b ，942==a b ，∴n n b 3=.（2）)321121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n a a n n ，)32131(21)]321121()7151()5131[(21+-=+-+++-+-=n n n T n ，因为3213221++=-k T k ，}321{+k 单调递减，得15132132≤-<k T . 而]31,0(311∈=k k b ，所以不存在*∈N k ，使得等式kk b T 121=-成立. 18.解：（Ⅰ）依题意，最先检测的3个人的编号依次为785，667，199. （Ⅱ）由3.010097=++a，得14=a ，∵100654182097=++++++++b a ，∴17=b . （Ⅲ）由题意，知31=+b a ，且10≥a ，8≥b . 故满足条件的),(b a 有：），，），（，），（，），（，），（，，（，16151714181319122011)2110( ），），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，（823922102111201219131814171516共14组.其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：），），（，），（，），（，），（，，（，16151714181319122011)2110(共6组. ∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为73146=. 19.（Ⅰ）证明：如图，∵平面⊥ABCD 平面ABEF ，AB CB ⊥,平面 ABCD 平面AB ABEF =，∴⊥CB 平面ABEF .∵⊂AF 平面ABEF ，∴CB AF ⊥，又∵AB 为圆O 的直径，∴BF AF ⊥，∴⊥AF 平面CBF . ∵⊂AF 平面DAF ，∴平面⊥DAF 平面CBF . 【注】也可证明⊥BF 平面ADF .（Ⅱ）解：几何体ABCD F -是四棱锥、BCE F -是三棱锥， 过点F 作AB FH ⊥，交AB 于H .∵平面⊥ABCD 平面ABEF ，∴⊥FH 平面ABCD . 则FH BC AB V ⨯⨯=311，BC FH EF V ⨯⨯⨯=)21(312. 因此，4122221=⨯==EF AB V V . 20.解：（1）∵函数x n x mx f ln 1)(++=的定义域为)0(∞+，， ∴xnx m x f ++-=2)1()('，由条件得14)1('-=+-=n m f ，把1=x 代入02=-+y x 得1=y ，∴12)1(==m f ，即2=m ，21-=n . ∴x x x f ln 2112)(-+=，xx x f 21)1(2)('2-+-=. ∵0>x ，∴0)('<x f ，∴)(x f 在)0(∞+，上单调递减. （2）由（1）知，)(x f 在]1,[p 上单调递减，∴)(x f 在]1,[p 上的最小值为1)1(=f ，最大值为2)(=p f ， ∴只需12223≤+--at t t 或22223≥+--at t t ，即t t t a 122+-≥或t t a -≤22对任意]2,21[∈t 恒成立.令t t t t g 1)(2+-=，则222)12)(1(112)('t t t t t t t g ++-=--=，令0)('=t g 得1=t ，而0122>++t t 恒成立，∴当121<≤t 时，0)('<t g ，)(t g 单调递减；当21≤<t 时，0)('>t g ，)(t g 单调递增. ∴)(t g 的最大值为)}2(),21(max{g g .而47)21(=g ，25)2(=g ，显然)2()21(g g <，∴)(t g 在]2,21[上的最大值为25)2(=g ，又]2,41[2-∈-t t ，∴252≥a 或412-≤a ，即45≥a 或81-≤a .∴实数a 的取值范围是)45[]81,(∞+--∞，. 21.解：（1）由题意知：23=e ，得23=a c ，即c a 23=， ① ∵直线过椭圆的左焦点)0,(c F -且倾斜角为30，可得直线方程为)33c x y +=（， 又直线)33c x y +=（与圆222b y x =+相交所得弦的长度为1， ∴圆心到直线的距离2323933cc cd ==+=， 再由勾股定理得41422=-c b ， ②由①②联立：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-=2222241423c b a c b ac ，可知⎪⎩⎪⎨⎧===314222c b a ，∴椭圆的方程为1422=+y x .（2）设l ：t kx y +=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x t kx y ，消y 得4)(422=++t kx x ，即0)44(8)41(222=-+++t ktx x k . ∵直线l 交椭圆于不同两点，∴0>∆，0)44)(41(4642222>-+-=∆t k t k ，即01422>+-=∆t k ，由韦达定理得：22212214144,418kt x x k kt x x +-=+-=+， 由题意知：0=⋅，即02121=+y y x x ，又t kx y +=11，t kx y +=22，∴])(4[422121221=++++t x x kt x x k x x ，即0]41841444[441442222222=++-⋅++-⋅++-t kkt kt k t k k t ， 整理得04144414422222=+-++-kk t k t ，即22412k t +=， ⑤ ∵22222222221221241414141444)418(14)(1||k t k k k t k kt kx x x x kMN +-++=+--+-+=-++=，又O 到直线t kx y +=的距离21||kt d +=，∴2222222241414||214141411||21||21k t k t k t k k kt MN d S MON +-+⨯=+-++⨯+⨯=⨯=∆ ⑥，将⑤代入⑥得：12||4||212=⨯=∆tt t S MON ， 综上，MON ∆的面积为定值1.22.解：（1）∵ 45=∠ABC ，AP 是圆O 的切线，∴45=∠=∠ABC PAE ，又PE PA =，90=∠APE ，又8,1==BD PD ，由切割线定理得392=⇒=⋅=PA PB PD PA ，∴10322=+=PB PA AB .（2）在APE Rt ∆中，3==PE PA ，∴628,2,23=-=-==-==ED BD EB PD EP ED AE ，由相交弦定理得25,2223121262=+===⇒=⨯=⨯=⨯EC AE AC EC ED EB EA EC ，由正弦定理5222252sin =⨯=⇒=∠R R ABC AC .23.解（1）设曲线C 上任意一点),(y x P ，则点)2,(y x Q 在圆O 上，∴4)2(22=+y x ，即1422=+y x ，∴曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x （θ为参数）.（2）联立直线l 与曲线C 得)1,0(),0,2(B A -，∴线段AB 的中点N 的坐标为)21,1(-，设直线l 的倾斜角为α，则34411212tan 1tan 22tan ,21tan 2=-⨯=-==αααα，∴直线m 的方程为21)1(34++=x y ，即01168=+-y x ，∴直线m 的极坐标方程为011sin 6cos 8=+-θρθρ.24.解：（1）∵3|)2()1(|||2||1||=--+≤--+x x x x ，∴3|2||1|3≤+-+≤-x x ，又原不等式的解集是空集，63|3|≥⇒≥-a a 或0≤a ，∴实数a 的取值范围是),6[]0,(+∞-∞ .（2）由柯西不等式236832)32()68)(2141(2≤++⇒+≥++yx y x y x y x ，当且仅当216218y x=即y x 38=时y x y x 6832++取最大值23，又不等式y x k y x 6832+<+对正实数y x ,恒成立，等价于yx y x k 6832++>恒成立，∴23>k .∴实数k 的取值范围是),23(+∞.。
吉林省梅河口五中2016-2017学年高一下学期期中考试数
梅河口五中2016—2017学年度下学期月考高一数学文科试题一. 选择题（本题共12道小题，每题5分，共60分）1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513 C.513 D.12132．不等式|x －2|<2的解集是( )A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(0，4 )3．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10=A ． 12 B.16 C.20 D.244. 下列命题正确的是 ( )A.||||a b a b =⇒=B. ||||a b a b >⇒>C. //a b a b ⇒=D. →→→=⇒=00||a a5. 公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =A .1 B.2 C .4 D.86．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a>c>bB ．b>c>aC ．c>b>aD ．c>a>b7．数列{a n }的通项公式a n =n cos 2n π，其前n 项和为S n ，则S 2012等于A.1006B.2012C.503D.08．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图1－1所示，则ω＝()图1－1A ．5B ．4C ．3D ．29.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为()A ．－7B ．－4C ．1D ．210.若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]11.函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为()图1－312. 定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”。
2016-2017年吉林省通化市梅河口五中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若复数z满足z（1+i）=4﹣2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．2．（5分）下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dxC．1dx D．dx3．（5分）已知C n+17﹣C n7=C n8，那么n的值是（）A．12B．13C．14D．154．（5分）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都乘以2后再加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．62.8，3.6B．62.8，14.4C．65.6，3.6D．65.6，14.4 6．（5分）已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，若f（lg（x））＞f（1），则x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）7．（5分）设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为（）A．B．C．D．8．（5分）过曲线y=x3+bx+c上一点A（1，2）的切线方程为y=x+1，则bc的值为（）A．﹣6B．6C．﹣4D．49．（5分）两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ=（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=x•sinx，x∈R，则及的大小关系是（）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）12．（5分）已知f（x）=x3﹣x2+ax+m，其中a＞0，如果存在实数t，使f′（t）＜0，则f′（t+2）•f′（）的值（）A．必为正数B．必为负数C．必为非负D．必为非正二、填空题（共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是．14．（5分）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，求P（B|A）=．15．（5分）若函数f（x）=lnx+x+﹣a有零点，则a的取值范围是．16．（5分）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为．（从小到大排列）三、解答题（共计70分，要求书写解答过程）17．（12分）已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）．（1）求a0及s n=a1+a2+…+a n；（2）试比较s n与（n﹣2）•2n+2n2的大小，并用数学归纳法给出证明过程．18．（12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（2）任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的概率分布和期望．19．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx，x∈[1，e]（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．20．（12分）某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．21．（12分）已知函数f（x）=（x＞0）．（Ⅰ）试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；（Ⅱ）若f（x）＞对于∀x∈（0，+∞）恒成立，求正整数k的最大值；（Ⅲ）求证：（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证：=．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m 的取值范围．2016-2017学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若复数z满足z（1+i）=4﹣2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．【解答】解：由z（1+i）=4﹣2i，得，∴．故选：D．2．（5分）下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dxC．1dx D．dx【解答】解：选项A，xdx=x2=，不满足题意；选项B，（x+1）dx=（x2+x）=+1=，不满足题意；选项C，1dx=x=1﹣0=1，满足题意；选项D，dx=x=﹣0=，不满足题意；故选：C．3．（5分）已知C n+17﹣C n7=C n8，那么n的值是（）A．12B．13C．14D．15【解答】解：根据题意，C n+17﹣C n7=C n8，变形可得，C n+17=C n8+C n7，由组合数的性质，可得C n8+C n7=C n+18，即C n+17=C n+18，进而可得8+7=n+1，解可得n=14，故选：C．4．（5分）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，本题是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，∴至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，∴至少有两次击中目标的概率为C320.62×0.4+C330.63==故选：A．5．（5分）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都乘以2后再加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．62.8，3.6B．62.8，14.4C．65.6，3.6D．65.6，14.4【解答】解：设这组数据分别为x1，x2，x n，则=（x1+x2+…+x n），方差为s2=[（x1﹣2.8）2+…+（x n﹣2.8）2]=3.6，每一组数据都乘以2后再加上60，′=（2x1+2x2+…+2x n+60n）=2+60=2.8×2+60=65.6，方差s′2═[（2x1+60﹣65.6）2+…+（2x n+60﹣65.6）2]=4[[（x1﹣2.8）2+…+（x n﹣2.8）2]]=4s2=4×3.6=14.4．故选：D．6．（5分）已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，若f（lg（x））＞f（1），则x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）【解答】解：∵f（x）是定义在R上偶函数当x＞0时，f′（x）＜0，此时函数为减函数则x＜0时，函数为增函数若f（lg（x））＞f（1），则﹣1＜lg（x）＜1则＜x＜10故选：C．7．（5分）设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵随机变量ξ～B（2，p），，∴1﹣p0•（1﹣p）2=，∴P=，∴η～B（4，），∴P（η≥2）=+=，故选：B．8．（5分）过曲线y=x3+bx+c上一点A（1，2）的切线方程为y=x+1，则bc的值为（）A．﹣6B．6C．﹣4D．4【解答】解：求导可得y′=3x2+b，由题意可得，解得，则bc=﹣6．故选：A．9．（5分）两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ=（）A．B．C．D．【解答】解：两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，共有32=9种情况．则投入A邮箱的信件数ξ的概率P（ξ=2）==，P（ξ=1）==，∴P（ξ=0）=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=1）=．∴其分布列为：∴Eξ=0+1×+=．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=x•sinx，x∈R，则及的大小关系是（）A．B．C．D．【解答】解：因为y=xsinx，是偶函数，所以f（）=f（），又x∈[0，]时，得y′=sinx+xcosx＞0，所以此时函数是增函数，所以＜f（1）＜故选：C．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．12．（5分）已知f（x）=x3﹣x2+ax+m，其中a＞0，如果存在实数t，使f′（t）＜0，则f′（t+2）•f′（）的值（）A．必为正数B．必为负数C．必为非负D．必为非正【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣2x+a．∵存在实数t，使f'（t）＜0，a＞0，∴t2﹣2t+a＜0的解集不是空集，∴△=4﹣4a＞0，解得a＜1，因此0＜a＜1．令t2﹣2t+a=0，解得，∴t2﹣2t+a＜0的解集是{x|0＜＜2}．∵f′（t+2）=（t+2）2﹣2（t+2）+a=t（t+2）+a，∴f′（t+2）＞0；∵==，∵==≥0，∴，∴＜0，故选：B．二、填空题（共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是31．【解答】解：∵（1﹣）6 =•+•+…+•，∴（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是2×+1=31，故答案为：31．14．（5分）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，求P（B|A）=．【解答】解：由题意，P（AB）==，P（A）=1﹣=∴P（B|A）===故答案为：15．（5分）若函数f（x）=lnx+x+﹣a有零点，则a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：f（x）=lnx+x+﹣a=0得a=lnx+x+，设g（x）=lnx+x+，则函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数g′（x）=，由g′（x）==0，得﹣﹣1=0，即（﹣1）（+1）=0∵x＞0，∴＞0，∴﹣1=0，即=1，解得x=1．当0＜x＜1时，g′（x）＜0，此时函数g（x）递减，当x＞1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）递增，即当x=1时，函数g（x）取得极小值，g（1）=ln1+1+2=3，即g（x）≥3，若函数f（x）=lnx+x+﹣a有零点，即方程g（x）=lnx+x+=a有解，即a≥3，故a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）16．（5分）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为1，1，3，3．（从小到大排列）【解答】解：不妨设x1≤x2≤x3≤x4，，依题意得x1+x2+x3+x4=8，，即，所以（x4﹣2）2＜4，则x4＜4，结合x1+x2+x3+x4=8，及中位数是2，只能x1=x2=1，x3=x4=3，则这组数据为1，1，3，3．故答案为：1，1，3，3．三、解答题（共计70分，要求书写解答过程）17．（12分）已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）．（1）求a0及s n=a1+a2+…+a n；（2）试比较s n与（n﹣2）•2n+2n2的大小，并用数学归纳法给出证明过程．【解答】解：（1）取x=1，则a0=2n；…（2分）取x=2，则a0+a1+a2+a3+…+a n=3n，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=3n﹣2n；…（4分）（2）要比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n﹣1）2n+2n2的大小，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n=4，5时，3n＞（n﹣1）2n+2n2猜想：当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2，…（6分）下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4时结论成立，…（7分）假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3k＞（k﹣1）2k+2k2，两边同乘以3得：3k+1＞3[（k﹣1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2]而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=（k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣3）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞（（k+1）﹣1）2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，…（11分）∴当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2成立．…（12分）18．（12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（2）任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的概率分布和期望．【解答】解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题意知，事件A，B相互独立，且P（A）=0.6，P（（B）=0.75．（1）任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是：P1== =0.4×0.25=0.1．所以该人参加过培训的概率是P2=1﹣P1=1﹣0.1=0.9．（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布B（3，0.9）．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．即X的概率分布列如下表：∴E（X）=3×0.9=2.7．19．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx，x∈[1，e]（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若a=1，则f（x）=x+lnx，=，∵x∈[1，e]，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，∴f（x）max=f（e）=e+1；（Ⅱ）要使x∈[1，e]，f（x）≤0恒成立，只需x∈[1，e]时，f（x）max≤0，显然当a≥0时，f（x）=ax+lnx在[1，e]上单增，∴f（x）max=f（e）=ae+1＞0，不合题意；当a＜0时，f′（x）=a+=，令f′（x）=0，，当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，①当时，即a≤﹣1时，f（x）在[1，e]上为减函数，∴f（x）max=f（1）=a＜0，∴a≤﹣1；②当时，即时，f（x）在[1，e]上为增函数，∴，∴；③当时，即时，f（x）在上单增，f（x）在上单减，∴，∵，∴，∴成立；由①②③可得．20．（12分）某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．【解答】解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．所以该生被录取的概率为P=[（）4+C（）3•]=，（2）该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5．P（X=2）=×=；P（X=3）=C•••=；P（X=4）=C••（）2•=；P（X=5）=1﹣﹣﹣=．该生参加考试的项数ξ的分布列为：EX=2×+3×+4×+5×=．21．（12分）已知函数f（x）=（x＞0）．（Ⅰ）试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；（Ⅱ）若f（x）＞对于∀x∈（0，+∞）恒成立，求正整数k的最大值；（Ⅲ）求证：（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=（x＞0），∴f′（x）=﹣[+ln（x+1）]…（2分）∵x＞0，∴x2＞0，＞0，ln（x+1）＞0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．…（4分）（Ⅱ）解：f（x）＞恒成立，即h（x）=＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k．…（6分）而h′（x）=，令g（x）=x﹣1﹣ln（x+1）（x＞0），则g′（x）=＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，∴g（x）=0存在唯一实根a，且满足a∈（2，3），a=1+ln（a+1）当x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，当0＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，∴h（x）min=h（a）=a+1∈（3，4）故正整数k的最大值是3 …（10分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知＞（x＞0）∴ln（x+1）＞•x﹣1=2﹣＞2﹣…（12分）令x=n（n+1）（n∈N*），则ln[1+n（n+1）]＞2﹣，∴ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞（2﹣）+（2﹣）+…+[2﹣]=2n﹣3[++…+]=2n﹣3（1﹣）=2n﹣3+＞2n﹣3∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3…（16分）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证：=．【解答】证明：（Ⅰ）∵PE切圆O于E，∴∠PEB=∠A，又∵PC平分∠APE，∴∠CPE=∠CPA，∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA，∴∠CDE=∠DCE，即CE=DE．（Ⅱ）因为PC平分∠APE∴，又PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∴PE2=PB•PA，即∴=[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．【解答】解：（1）由曲线C1：，得，∴曲线C1的普通方程为：，由曲线C2：，展开可得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x﹣y+4=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x﹣y﹣4=0的距离为，∴当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，故不等式f（x）≤6，即，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，∴实数a=1．（2）在（1）的条件下，f（x）=|2x﹣1|+1，∴f（n）=|2n﹣1|+1，存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|（2n﹣1）﹣（2n+1）|=2，∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，∴m≥4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．。
吉林省梅河口市第五中学高一(奥赛班)暑期考试数学(文)试题-文档资料
梅河口市第五中学高一暑期奥赛班数学试题（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
⎧x2 y2 ⎫⎧x y ⎫1、已知集合M=⎨x + =1⎬，N =⎨y + = 1⎬，则M ⋂N =（）⎩9 4 ⎭ ⎩ 3 2 ⎭A、∅B、{(3,0),(2,0)}C、[-3,3]D、{3,2}2、以下有关命题的说法错误的是（）A、命题“若x2 - 3x + 2 = 0 ，则x =1 ”的逆否命题为“若x ≠ 1 ,则x2 - 3x + 2 ≠ 0 ”B、若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题C、“x = 1”是“x2 - 3x + 2 = 0 ”的充分不必要条件D、对于命题p :∃x0 ∈R ，使得x+x+1<0，则⌝p :∀x∈R ，则x+x +1≥ 03、某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如表：现已求得上表数据的回归方程y =b x+a 中的b 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100 个零件所需要的加工时间约为（）A、84 分钟B、94 分钟C、102 分钟D、112 分钟4 、已知实数a 、b 、c、d 成等比数列，且函数y＝l n(x＋2) －x 当x＝b 时取到极大值c，则ad 等于A、－1B、0C、1D、25、观察(x2 )'=2x，(x4 )'=4x3 ，(cos x)'=-sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x) 满足f (-x) =记g(x) 为f (x) 的导函数，则g(-x) ＝( )f (x) ，A、f (x)x2B、－f (x)y2C、g(x)D、－g(x)6、若双曲线-a2 b2=1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A、 5B、5C、 2D、27、对任意非零实数a,b ，定义a ⊗b的算法原理如上右侧程序框图所示。
吉林省梅河口市高一数学下学期期中试卷 理(含解析)-人教版高一全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市梅河口高一（下）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项符合题意，请将正确答案转涂到答题卡相应的位置）1．不等式≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2） B． C．（﹣∞，﹣1）∪2．下列命题正确的是（）A．单位向量都相等B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C．|+|=|﹣|，则•=0D．若与是单位向量，则•=13．若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）A．＞ B．＞C．|a|＞|b| D．a2＞b24．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B． C．2 D．5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．6．已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（）A．5 B．3 C．2 D．7．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．8．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．3 D．29．已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．10．若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣11．数列{a n}是递减的等差数列，{a n}的前n项和是S n，且S6=S9，有以下四个结论：①a8=0；②若对任意n∈N+，都有S n≤S k成立，则k的值等于7或8时；③存在正整数k，使S k=0；④存在正整数m，使S m=S2m．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①②③C．②③④D．①②③④12．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值X围是（）A． B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案转填到答题卡相应的位置）13．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于．14．数列{a n}的通项公式a n=ncos+1，前n项和为S n，则S2016=．15．设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为．16．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，当1≤x≤4时，求出•的取值X围．三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将正确答案转填到答题卡相应的位置）17．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=15，a3和a5的等差中项为9（1）求a n及S n（2）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．19．解关于x的不等式（x+1）＞0（m∈R）．20．已知数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的通项，求数列{a n}的前n 项和T n．21．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）求AC边的长．22．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（3）求数列{a n}的前n项和S n，并求满足S n＞0的所有正整数n的值．2016-2017学年某某省某某市梅河口五中高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项符合题意，请将正确答案转涂到答题卡相应的位置）1．不等式≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2） B． C．（﹣∞，﹣1）∪【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】将“不等式≤0”转化为“不等式组”，有一元二次不等式的解法求解．【解答】解：依题意，不等式化为，解得﹣1＜x≤2，故选D2．下列命题正确的是（）A．单位向量都相等B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C．|+|=|﹣|，则•=0D．若与是单位向量，则•=1【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由单位向量与向量相等的定义，判断A是错误的；由零向量与任意向量方向相同，若是零向量时，B不一定成立；由|+|=|﹣|，推出•=0，判断C是正确的；由单位向量与数量积的定义，判断D是错误的．【解答】解：对于A，单位向量是模长为1的向量，它们的方向是任意的，∴单位向量不一定相等，A错误；对于B，∵零向量与任意向量方向相同，都共线，若是零向量，则与不一定共线，∴B错误；对于C，若|+|=|﹣|，则+2•+=﹣2•+，∴4•=0，即•=0，∴C正确；对于D，与是单位向量，且夹角为θ，∴•=1×1×cosθ=cosθ≤1，∴D错误．综上，正确的命题是C．故选：C．3．若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b| D．a2＞b2【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，可知：B，C，D都正确，因此A不正确．故选：A．4．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B．C．2D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由向量模的公式可得||，再由向量投影的概念可得在上的投影等于||cos120°．【解答】解： =（﹣2，﹣4），可得||=2，由题意可得在上的投影为||cos120°=2×（﹣）=﹣．故选B．5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．6．已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（）A．5 B．3 C．2D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】首先画出不等式组表示的平面区域，根据图形分析|AM|的最小值的几何意义．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图，结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，即|AM|min=．故选：D．7．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【考点】7F：基本不等式；8G：等比数列的性质．【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．8．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．3 D．2【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知将，|+2|=2，两边平方，得到，的模的等式，解之即可．【解答】解：由已知，|+2|2=12，即，所以||2+4||||×+4=12，所以||=2；故选D．9．已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．10．若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】7C：简单线性规划．【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k=﹣．故选：D．11．数列{a n}是递减的等差数列，{a n}的前n项和是S n，且S6=S9，有以下四个结论：①a8=0；②若对任意n∈N+，都有S n≤S k成立，则k的值等于7或8时；③存在正整数k，使S k=0；④存在正整数m，使S m=S2m．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①②③C．②③④D．①②③④【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由S6=S9，得到a7+a8+a9=0，利用等差数列的性质化简，得到a8=0，进而得到选项①正确；再由数列{a n}是递减的等差数列以及a8=0，可得出当n等于7或8时，s n取最大值，选项②正确；利用等差数列的前n项和公式表示出S15，利用等差数列的性质化简后，将a8的值代入可得出S15=0，故存在正整数k，使S k=0，选项③正确；当m=5时，表示出S10﹣S5，利用等差数列的性质化简后，将a8=0代入可得出S10﹣S5=0，即S10=S5 ，故存在正整数m，使S m=S2m，选项④正确．【解答】解：∵S6=S9，∴a7+a8+a9=0，由等差数列性质得：3a8=0，可得：a8=0，选项①正确；∵数列{a n}是递减的等差数列，由已知a1＞a2＞…a7＞a8=0＞a9…，∴当n等于7或8时，s n取最大值，选项②正确；∵a8=0，则S15=（a1+a15）×15=15a8=0，∴存在正整数k=15，使s k=0，选项③正确；由等差数列性质，S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，即S10=S5 ，∴存在正整数m=5，使s m=s2m，选项④正确，则其中所有正确结论的序号是①②③④．故选：D．12．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值X围是（）A． B．C．D．【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】排除法：取a=﹣，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤，x＞讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．【解答】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选A．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案转填到答题卡相应的位置）13．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于．【考点】HP：正弦定理．【分析】直接利用正弦定理，转化角为边的关系，利用大边对大角，余弦定理可求cosC的值，结合C的X围即可得解．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，∴由正弦定理可得：a：b：c=3：5：7，∴C为最大角，a=，b=，∴由余弦定理可得：cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴C=．故答案为：．14．数列{a n}的通项公式a n=ncos+1，前n项和为S n，则S2016= 3024 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】先求出的规律，进而得到的规律，即可求出数列的规律即可求出结论．【解答】解：∵=0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…，=0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…，每四项的和为2，∴数列{a n}每四项的和为2+4=6，而2016÷4=504，∴S2016=3024．15．设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3， =2，则向量在方向上的射影为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为，运算求得结果．【解答】解：∵、为单位向量，且和的夹角θ等于，∴=1×1×cos=．∵=+3， =2，∴=（+3）•（2）=2+6=2+3=5．∴在上的射影为=，故答案为．16．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，当1≤x≤4时，求出•的取值X围．【考点】7F：基本不等式；9R：平面向量数量积的运算．【分析】设P（x，y）为函数y=f（x﹣1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2﹣x，﹣y），可得f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．由于不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0化为f（x2﹣2x）≤﹣f（2y﹣y2）=f（y2﹣2y），再利用函数y=f（x）为定义在R上的减函数，可得x2﹣2x≥y2﹣2y，即即或又∵1≤x≤4，画出可行域．M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，∴=x+2y=t．进而得出答案．【解答】解：设P（x，y）为函数y=f（x﹣1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2﹣x，﹣y），∴f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．∴不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0化为f（x2﹣2x）≤﹣f（2y﹣y2）=f（1﹣1﹣2y+y2）=f（y2﹣2y），∵函数y=f（x）为定义在R上的减函数，∴x2﹣2x≥y2﹣2y，化为（x﹣1）2≥（y﹣1）2，∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即y=f（x）为奇函数，又函数y=f（x）在R上的为减函数，化为（x﹣1）2≥（y﹣1）2，即或又∵1≤x≤4，画出可行域．M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，∴=x+2y=t．化为y=．由图可知：当直线y=经过点A（4，﹣2）时，t取得最小值0．当直线y=经过点B（4，4）时t取得最大值4+2×4=12．综上可得：的取值X围是．三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将正确答案转填到答题卡相应的位置）17．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形．（2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积．【解答】证明：（1）∵m∥n∴asinA=bsinB即a•=b•．其中R为△ABC外接圆半径．∴a=b∴△ABC为等腰三角形．（2）由题意，m•p=0∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0∴a+b=ab由余弦定理4=a2+b2﹣2ab•cos∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab∴（ab）2﹣3ab﹣4=0∴ab=4或ab=﹣1（舍去）∴S△ABC=absinC=×4×sin=18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=15，a3和a5的等差中项为9（1）求a n及S n（2）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）根据S3=15，a3和a5的等差中项为9，列方程组解得：a1=3，d=2，写出通项公式a n和前n项和S n公式；（2）由b n==（﹣），采用裂项法求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}为等差数列，所以设其首项为a1，公差为d，∵S3=3a3，a3+a5=18，，解得a1=3，d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+1，a n=2n+1，=n2+2n；（2）由（1）知a n=2n+1，∴b n===（﹣），（n∈N*），数列{b n}的前n项和T n，T n=b1+b2+b3+…+b n，=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣，=．19．解关于x的不等式（x+1）＞0（m∈R）．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】通过对m分类讨论，比较出相应的方程的实数根的大小，再利用一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：下面对参数m进行分类讨论：①当m=﹣3时，原不等式为x+1＞0，∴不等式的解为{x|x＜﹣1}．②当m＞﹣3时，原不等式可化为．∵，∴不等式的解为{x|x＜﹣1或．③当m＜﹣3时，原不等式可化为．∵，当﹣4＜m＜﹣3时，原不等式的解集为；当m＜﹣4时，原不等式的解集为；当m=﹣4时，原不等式无解，即解集为∅．综上述，原不等式的解集情况为：①当m＜﹣4时，解集为；②当m=﹣4时，无解，即∅；③当﹣4＜m＜﹣3时，解集为；④当m=﹣3时，解集为{x|x＜﹣1}；⑤当m＞﹣3时，解集为{x|x＜﹣1或．20．已知数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的通项，求数列{a n}的前n 项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（I）利用递推关系即可得出；（II）=（3n﹣2）•2n+（﹣1）n•2n．设数列{（3n ﹣2）•2n}的前n项和为A n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：：（I）∵数列{b n}的前n项和，∴b1=B1==1；当n≥2时，b n=B n﹣B n﹣1=﹣=3n﹣2，当n=1时也成立．∴b n=3n﹣2．（II）=（3n﹣2）•2n+（﹣1）n•2n．设数列{（3n﹣2）•2n}的前n项和为A n，则A n=2+4×22+7×23+…+（3n﹣2）•2n，2A n=22+4×23+…+（3n﹣5）•2n+（3n﹣2）•2n+1，∴﹣A n=2+3（22+23+…+2n）﹣（3n﹣2）•2n+1=﹣4﹣（3n﹣2）•2n+1=（5﹣3n）•2n+1﹣10，∴A n=（3n﹣5）•2n+1+10．数列{（﹣1）n•2n}的前n项和==．∴数列{a n}的前n项和T n=（3n﹣5）•2n+1+10．21．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）求AC边的长．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）由同角的三角函数的关系和两角差的正弦公式即可求出；（2）由正弦定理和余弦定理即可求出．【解答】解：（1）因为cosB=，所以sinB=．又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=，所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB=×﹣（﹣）×=．（2）在△ABD中，由=得=，解得BD=2．故DC=2，从而在△ADC中，由AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cos∠ADC=32+22﹣2×3×2×（﹣）=16，得AC=4．22．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（3）求数列{a n}的前n项和S n，并求满足S n＞0的所有正整数n的值．【考点】8K：数列与不等式的综合；88：等比数列的通项公式．【分析】（1）直接由数列递推式求得a2，a3，a4的值；（2）设，由结合数列递推式证得数列{}是以，即为首项，以为公比的等比数列；（3）由（2）求出a2n，并进一步得到a2n﹣1，从而得到a2n﹣1+a2n，求得S2n，再由S2n﹣1=S2n﹣a2n 求得S2n﹣1，得到满足S n＞0的所有正整数n的值．【解答】（1）解：由a1=1，a n+1=，得，，；（2）证明：设，∵==，∴数列{}是以，即为首项，以为公比的等比数列；（3）解：由（2）得，即，由，得，∴，∴S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）=word==．显然当n∈N*时，{S2n }单调递减，又当n=1时，＞0，当n=2时，＜0，∴当n≥2时，S2n＜0；，同理，当且仅当n=1时，S2n﹣1＞0，综上，满足S n＞0的所有正整数n为1和2．- 21 - / 21。
吉林省梅河口市高二数学下学期期中试卷 文(含解析)
2016-2017学年吉林省通化市梅河口高二（下）期中数学试卷（文科）一、第Ⅰ卷选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．请把正确答案填在答题卷的答题栏内.）1．i是虚数单位，b∈R，2+（b﹣1）i是实数，则复数z=在复平面内表示的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．集合A={x|y=lg（1﹣x）}，B={a|关于x的方程x2﹣2x+a=0有实解}，则A∩B=（）A．∅B．（﹣∞，1）C．[0，1）D．（0，1]3．α，β，γ为平面，l是直线，已知α∩β=l，则“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的（）条件．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分不必要条件4．已知x=30.5，y=log2，z=log2，则（）A．x＜y＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．2 B．﹣3 C．D．﹣6．若幂函数f（x）=mxα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是（）A．2x﹣y=0 B．2x+y=0 C．4x﹣4y+1=0 D．4x+4y+1=07．下列结论正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使=λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0’’C．“若θ=，则cosθ=”的否命题为“若θ≠，则cosθ≠”D．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞08．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积为（）A．πB．4πC． D．9．已知不等式组，表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D 上的动点，则的最小值是（）A．B．C．D．10．设函数f（x）=e x﹣2x，则（）A．x=为f（x）的极小值点B．x=为f（x）的极大值点C．x=ln2为f（x）的极小值点 D．x=ln2为f（x）的极大值点11．抛掷一颗骰子得到的点数记为m，对于函数f（x）=sinπx，则“y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”的概率是（）A．B．C．D．12．平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量=， =，其中=（1，2），=（2，1），平面区域D由所有满足=λ+μ，（0≤μ≤λ≤1）的点P（x，y）组成，点P使得z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值3，则+的最小值是（）A．3+2B．4 C．2 D．3二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案写在答题卷上．）13．不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为．14．函数f（x）的定义域为R，周期为4，若f（x﹣1）为奇函数，且f（1）=1，则f（7）+f（9）= ．15．若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值，则a= ．16．数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为．三、解答题（本题5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.把解题过程和步骤写在答题卷上.）17．甲乙两人进行射击比赛，各射击5次，成绩（环数）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次环数甲 4 5 7 9 10乙 5 6 7 8 9（1）分别求出甲、乙射击成绩的平均数及方差，并由此分析两人的射击水平；（2）若分别对甲、乙两人各取一次成绩，求两人成绩之差不超过2环的概率．18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n 个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．19．已知函数f（x）=（a∈R）（1）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（2）求f（x）在（0，1]上的最大值．20．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．（参考公式：其中n=a+b+c+d）21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（I）当k=e时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的值．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE 分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证： =．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、第Ⅰ卷选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．请把正确答案填在答题卷的答题栏内.）1．i是虚数单位，b∈R，2+（b﹣1）i是实数，则复数z=在复平面内表示的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据2+（b﹣1）i是实数先求出b=1，然后进行化简即可．【解答】解：∵2+（b﹣1）i是实数，∴b﹣1=0，即b=1，则z====i，对应的点的坐标为（，），对应的点位于第三象限，故选：C2．集合A={x|y=lg（1﹣x）}，B={a|关于x的方程x2﹣2x+a=0有实解}，则A∩B=（）A．∅B．（﹣∞，1）C．[0，1）D．（0，1]【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中a的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=lg（1﹣x），得到1﹣x＞0，即x＜1，∴A=（﹣∞，1）；由B中方程x2﹣2x+a=0有实解，得到△=4﹣4a≥0，即a≤1，∴B=（﹣∞，1]，则A∩B=（﹣∞，1），故选：B．3．α，β，γ为平面，l是直线，已知α∩β=l，则“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的（）条件．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直，面面垂直的关系进行判断即可．【解答】解：由α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，可推出l⊥γ，反过来，若l⊥γ，α∩β=l，根据面面垂直的判定定理，可知α⊥γ，β⊥γ，故“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的充要条件，故选：C．4．已知x=30.5，y=log2，z=log2，则（）A．x＜y＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵x=30.5＞1，0=log21=＜log2＜log22=1，z=log2＜0∴z＜y＜x．故选：B．5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．2 B．﹣3 C．D．﹣【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S的值，观察可得S值的变化规律为﹣3，﹣，，2，﹣3，…，S的取值周期为4，从而可求第2010项为﹣．【解答】解：模拟执行程序框图，由题意知，S值的变化规律为﹣3，﹣，，2，﹣3，…，可得S的取值周期为4，则第2010项为﹣，故选：D．6．若幂函数f（x）=mxα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是（）A．2x﹣y=0 B．2x+y=0 C．4x﹣4y+1=0 D．4x+4y+1=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】由幂函数的定义，可得m=1，运用代入法，可得f（x）的解析式，再求导数，和切线的斜率，运用点斜式方程，即可得到切线方程．【解答】解：因为f（x）=mxα为幂函数，故m=1，又图象经过点A（，），则有=，则α=，即有f（x）=．则f′（x）=，则f（x）在点A处的切线斜率为•=1，则有切线方程为y﹣=x﹣，即为4x﹣4y+1=0．故选：C．7．下列结论正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使=λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0’’C．“若θ=，则cosθ=”的否命题为“若θ≠，则cosθ≠”D．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据向量共线定理判断A，向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0，且向量，不共线”，可判断B，条件否定，结论否定，可判断C；命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≤0，可判断D．【解答】解：若向量∥，≠，则存在唯一的实数λ使=λ，故A不正确；已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0，且向量，不共线”，故不正确；条件否定，结论否定，可知C正确；若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≤0，故D不正确．故选：C．8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积为（）A．πB．4πC． D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体是三棱锥，结合棱锥的几何特征，求出外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球体积V==，故选：D9．已知不等式组，表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D 上的动点，则的最小值是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划；9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积将条件进行转化，利用数形结合进行求解即可得到结论．【解答】解：设z=，则z==||•cos∠A0M，∵O（0，0），A（1，0）．∴||=1，∴z=||•cos∠A0M=cos∠A0M，作出不等式组对应的平面区域如图：要使cos∠A0M最小，则∠A0M最大，即当M在C处时，∠A0M最大，由得，即C（1，3），则|AC|=，则cos∠A0M==，故选：A．10．设函数f（x）=e x﹣2x，则（）A．x=为f（x）的极小值点B．x=为f（x）的极大值点C．x=ln2为f（x）的极小值点 D．x=ln2为f（x）的极大值点【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，利用导函数为0，判断函数单调性，然后求解函数的极值，得到选项．【解答】解：由函数f（x）=e x﹣2x，得f′（x）=e x﹣2=0，解得x=ln2，又x＜ln2时，f′（x）＜0，x＞ln2时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=ln2时取得极小值．故选：C．11．抛掷一颗骰子得到的点数记为m，对于函数f（x）=sinπx，则“y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”的概率是（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意f（x）=sinπx的周期为2，y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”等价于[0，m]长度要不小于2个周期，所以m≥4，即m=4，5，6，问题得以解决．【解答】解：由题意f（x）=sinπx的周期为2，y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”，∴[0，m]长度要不小于2个周期，所以m≥4，即m=4，5，6，故概率为“y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”的概率为=，故选：B．12．平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量=， =，其中=（1，2），=（2，1），平面区域D由所有满足=λ+μ，（0≤μ≤λ≤1）的点P（x，y）组成，点P使得z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值3，则+的最小值是（）A．3+2B．4 C．2 D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算；7F：基本不等式．【分析】由满足的关系式得，，可得当P（3，3）时Z取得最大值，3a+3b=6，由基本不等式得=（）（a+b）=3，当且仅当b=时“=”成立【解答】解：∵ =（1，2），=（2，1），平面区域D由所有满足=λ+μ，点P（x，y）∴即∵0≤μ≤λ≤1．∴可得当P（3，3）时Z取得最大值，3a+3b=6，由基本不等式得=（）（a+b）=3，当且仅当b=时“=”成立，二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案写在答题卷上．）13．不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为{x|﹣2＜x＜5} ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式x2﹣3x﹣10＜0化为（x﹣5）（x+2）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣10＜0可化为（x﹣5）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜5；∴该不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．14．函数f（x）的定义域为R，周期为4，若f（x﹣1）为奇函数，且f（1）=1，则f（7）+f（9）= 1 ．【考点】3L：函数奇偶性的性质；3Q：函数的周期性．【分析】由已知中f（x﹣1）为奇函数，可得f（﹣1）=0，结合函数f（x）的定义域为R，周期为4，且f（1）=1，则f（7）+f（9）=f（﹣1）+f（1），进而得到答案．【解答】解：由f（x﹣1）为奇函数，知f（﹣1）=0，又∵函数f（x）的定义域为R，周期为4，f（1）=1，∴f（7）+f（9）=f（﹣1）+f（1）=1，故答案为：115．若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值，则a= 2 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】通过配方可知f（x）的最小值为2a﹣1，进而可知g（x）在x=1或x=﹣a取得最小值，且2a﹣1≥0，通过计算g（1）=2a﹣1、g（﹣a）=2a﹣1即得结论．【解答】解：∵f（x）=x2+2x+2a=（x+1）2+2a﹣1，∴f（x）的最小值为2a﹣1，由题意知g（x）在x=1或x=﹣a取得最小值，且2a﹣1≥0，将x=1或x=﹣a代入g（x），解得：a=2，故答案为：2．16．数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为 3 个．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】①F（x）=f（|x|），从而判断；②易知函数F（x）是偶函数；③由对数函数的单调性及绝对值可判断F（m）﹣F（n）=﹣alog2m+1﹣（﹣alog2n+1）=a（log2n ﹣log2m）＜0；④由函数的零点与方程的根的关系可得|x|=或|x|=；从而判断出函数y=F（x）﹣2有4个零点．【解答】解：①F（x）=f（|x|），故F（x）=|f（x）|不正确；②∵F（x）=f（|x|），∴F（﹣x）=F（x）；∴函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则F（m）﹣F（n）=﹣alog2m+1﹣（﹣alog2n+1）=a（log2n﹣log2m）＜0；④当a＞0时，F（x）=2可化为f（|x|）=2，即a|log2|x||+1=2，即|log2|x||=；故|x|=或|x|=；故函数y=F（x）﹣2有4个零点；②③④正确；故答案为：3 个．三、解答题（本题5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.把解题过程和步骤写在答题卷上.）17．甲乙两人进行射击比赛，各射击5次，成绩（环数）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次环数甲 4 5 7 9 10乙 5 6 7 8 9（1）分别求出甲、乙射击成绩的平均数及方差，并由此分析两人的射击水平；（2）若分别对甲、乙两人各取一次成绩，求两人成绩之差不超过2环的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BC：极差、方差与标准差．【分析】（1）根据已知中的数据，代入公式分别可得其均值和方差由其意义可得结论；（2）由列举法可得总的基本事件，设A表示“所抽取的两人的成绩之差不超过2”，找出A 包含的基本事件，代入古典概型的概率公式可得【解答】解：（1）依题中的数据可得：=（4+5+7+9+10）=7，=（5+6+7+8+9）=7…= [（4﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]=5.2= [（5﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2]=2…∵=，＞∴两人的总体水平相同，甲的稳定性比乙差…（2）设事件A表示：两人成绩之差不超过2环，对甲、乙两人各取一次成绩包含的基本事件为（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9）（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9）（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9）（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9）（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共25种事件A包含的基本事件为：（4，5）（4，6），（5，5），（5，6），（5，7）（7，5）（7，6），（7，7），（7，8），（7，9）（9，7），（9，8），（9，9），（10，8），（10，9）共15种∴P（A）==…18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n 个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．【考点】F1：归纳推理．【分析】（1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…从而得出f（5）；（2）将（1）总结一般性的规律：f（n+1）与f（n）的关系式，再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得【解答】解：（1）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，∴f（2）﹣f（1）=4=4×1．f（3）﹣f（2）=8=4×2，f（4）﹣f（3）=12=4×3，f（5）﹣f（4）=16=4×4∴f（5）=25+4×4=41．（2）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．∴f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4•（n﹣2），f（n）﹣f（n﹣1）=4•（n﹣1）∴f（n）﹣f（1）=4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]=2（n﹣1）•n，∴f（n）=2n2﹣2n+1．19．已知函数f（x）=（a∈R）（1）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（2）求f（x）在（0，1]上的最大值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）问题转化为a≤x2﹣lnx，令g（x）=x2﹣lnx，求出函数g（x）的导数，得到g （x）的最小值，从而求出a的范围；（2）先求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，通过讨论a的范围，求出f（x）的最大值即可．【解答】解：（1）f（x）≤1即：a≤x2﹣lnx，令g（x）=x2﹣lnx，则g′（x）=2x﹣=，令g′（x）=0，得，x=，g（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）为增函数，所以g（x）最小值为g（）=﹣ln，所以a≤﹣ln；（2）f′（x）=﹣，令f′（x）=0，得x=，所以f（x）在（0，）上为增函数，在（，+∞）为减函数，若a≤，则≥1，f（x）在（0，1]上为增函数，所以f（x）max=f（1）=a，若a＞，则＜1，f（x）在（0，）上为增函数，在（，1]为减函数，所以f（x）max=f（=）．20．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．（参考公式：其中n=a+b+c+d）【考点】BL：独立性检验．【分析】（1）根据所给的二维条形图得到列联表，利用公式求出k2=3＞2.706，即可得出结论；（2）按照分层抽样方法可知：20～30（岁）抽取：6×=2（人）；30～40（岁）抽取：6×=4（人），在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30（岁）有2人，年龄在30～40（岁）有4人，利用列举法求出基本事件数，即可求出至少有一人年龄在20～30岁之间的概率．【解答】解：（1）根据所给的二维条形图得到列联表，正确错误合计20～30（岁）10 30 4030～40（岁）10 70 80 合计20 100 120…根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3∵3＞2.706…∴有1﹣0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…（2）按照分层抽样方法可知：20～30（岁）抽取：6×=2（人）；30～40（岁）抽取：6×=4（人）…在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30（岁）有2人，年龄在30～40（岁）有4人．…年龄在20～30（岁）记为（A，B）；年龄在30～40（岁）记为（a，b，c，d），则从6名选手中任取3名的所有情况为：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d）、（a，b，c）、（a，b，d）、（a，c，d）、（b，c，d），共20种情况，…其中至少有一人年龄在20～30岁情况有：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d），共16种情况．…记至少有一人年龄在20～30岁为事件A，则P（A）==…∴至少有一人年龄在20～30岁之间的概率为．…21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（I）当k=e时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的值．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）把k=e代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的符号得到函数的单调区间，进一步求得函数的极值；（Ⅱ）求出函数h（x）的导函数，当k≤0时，由函数的单调性结合h（1）=0，可知h（x）≥0不恒成立，当k＞0时，由函数的单调性求出函数h（x）的最小值，由最小值大于等于0求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）注意到函数f（x）的定义域为（0，+∞），h（x）=lnx﹣，当k=e时，，若0＜x＜e，则h′（x）＜0；若x＞e，则h′（x）＞0．∴h（x）是（0，e）上的减函数，是（e，+∞）上的增函数，故h（x）min=h（e）=2﹣e，故函数h（x）的减区间为（0，e），增区间为（e，+∞），极小值为2﹣e，无极大值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当k≤0时，h′（x）＞0对x＞0恒成立，∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，注意到h（1）=0，∴0＜x＜1时，h（x）＜0不合题意．当k＞0时，若0＜x＜k，h′（x）＜0；若x＞k，h′（x）＞0．∴h（x）是（0，k）上的减函数，是（k，+∞）上的增函数，故只需h（x）min=h（k）=lnk﹣k+1≥0．令u（x）=lnx﹣x+1（x＞0），，当0＜x＜1时，u′（x）＞0；当x＞1时，u′（x）＜0．∴u（x）是（0，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数．故u（x）≤u（1）=0当且仅当x=1时等号成立．∴当且仅当k=1时，h（x）≥0成立，即k=1为所求．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE 分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证： =．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）通过弦切角定理以及角的平分线，直接证明三角形是等腰三角形，即可证明CE=DE；（Ⅱ）利用切割线定理以及角的平分线定理直接求证： =即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵PE切圆O于E，∴∠PEB=∠A，又∵PC平分∠APE，∴∠CPE=∠CPA，∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA，∴∠CDE=∠DCE，即CE=DE．（Ⅱ）因为PC平分∠APE∴，又PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∴PE2=PB•PA，即∴=[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由曲线C1：，得，利用cos2α+sin2α=1即可得出曲线C1的普通方程，由曲线C2：，利用和差公式展开再利用即可得出直角坐标方程．（2）设椭圆上的点，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由曲线C1：，得，∴曲线C1的普通方程为：，由曲线C2：，展开可得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x﹣y+4=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x﹣y﹣4=0的距离为，∴当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，从而求得实数a的值．（2）在（1）的条件下，f（n）=|2n﹣1|+1，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，可得m的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，故不等式f（x）≤6，即，求得 a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，∴实数a=1．（2）在（1）的条件下，f（x）=|2x﹣1|+1，∴f（n）=|2n﹣1|+1，存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|（2n﹣1）﹣（2n+1）|=2，∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，∴m≥4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．。
吉林省梅河口市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文
吉林省梅河口市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文一、 第Ⅰ卷 选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项符合题意。
请把正确答案填在答题卷的答题栏内.）1．i 是虚数单位，R b ∈，i b )12-+（是实数，则复数ib ib z 22+-=在复平面内表示的点位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．集合{})1lg(x y x A -==，{a B =关于x 的方程022=+-a x x 有实解}，则=⋂B A （ ） A ．∅ B ．）1,(-∞ C ．[)1,0 D ． (]1,0 3．γβα，，为平面，l 是直线，已知l =⋂βα，则“γα⊥，γβ⊥”是“γ⊥l ”的（ ）条件 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分不必要条件 4．已知5.03=x ，47log 2=y ，31log 2=z ，则（ ） A ．z y x << B ．x y z << C ． y x z << D ．x z y <<5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A ．2B ．3-C ．13 D ． 12- 6．若幂函数()f x mx α=的图象经过点11(,)42A ，则它在点A 处的切线方程是( )A.20x y -=B.20x y +=C.4410x y ++=D.4410x y -+= 7．下列结论正确的是（ ） A ．若向量b a // ，则存在唯一实数b a λλ=使B ．已知向量b a ,为非零向量，则“b a ,的夹角为钝角”的充要条件是“0<⋅b a ”C ．“若21cos ,3==θπθ则”的否命题为“若21cos ,3≠≠θπθ则” D ．若命题01,:,01,:22>+-∈∀⌝<+-∈∃x x R x p x x R x p 则8.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积为（ ） A ．π B ．π4 C ．32πD ．34π9.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+224x y x y x ，表示的平面区域为D ，点)0,1(),0,0(A O .若点M 是D 上的动点，）10.设函数()2xf x e x =-，则（ ） A ．2x e=为()f x 的极小值点B ．2x e=为()f x 的极大值点 C ．ln 2x =为()f x 的极小值点 D ． ln 2x =为()f x 的极大值点11.抛掷一颗骰子得到的点数记为m ，对于函数x x f πsin )(=，则“)(x f y =在[]m ,0上至少有5个零点”的概率是（ ） A ．65 B ．21 C ．13 D ．32 12．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量a OA =,b OB =，其中)1,2(),2,1(==b a ，平面区域D 由所有满足b a OP μλ+=，（10≤≤≤λμ）的点),(y x P 组成，点P 使得)0,0(>>+=b a by ax z 取得最大值3，则ba 21+的最小值是（ ） A ．223+ B ．42 C ．2 D ． 3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题 （本题4小题，每小题5分，共20分。
吉林省梅河口第五中学2016-2017学年高二下学期第一次月考数学(文)试题含答案
梅河口市第五中学2016—2017学年高二下学期第一次月考数学（文)一、选择题1.下列求导运算正确的是（ ）A ．233()'1x x x +=+B ．21(log )'ln 2x x =C ．3(3)'3log x x e =D ．2(cos )'2sin x x x x =-2.已知函数()2'()ln f x xf e x =+，则()f e =（ ）A ．e -B ．eC ．-1D ．13.已知()g x 为三次函数32()232a a f x x x ax =+-(0)a ≠的导函数，则它们的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4.函数32y x ax a =-+在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围（） A ．(0,3) B ．(,3)-∞ C.(0,)+∞ D ．3(0,)25。
当0x ≠时，有不等式( )A ．1x ex <+ B ．当0x >时1x e x <+，当0x <时1x e x >+ C 。
1x e x >+ D ．当0x <时1x ex <+，当0x >时1x e x >+ 6.已知函数322()f x xax bx a =+++在1x =处的极值为10，则(2)f =( ） A. 11或18 B ．11 C.18 D ．17或187.若函数2()2ln f x xx a x =++在(0,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a ≥ B ．0a ≤ C.4a ≥- D ．4a ≤-8。
已知曲线1ln y x =+与过原点的直线相切,则直线的斜率为( ）A ．eB ．e - C.1D ．-19.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数(1)'()y x f x =-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ）A 。
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吉林省通化市梅河口五中2016-2017学年高一（下）期中数学试卷（文科）一.选择题（本题共12道小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知角α是第二象限角，且，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．2．（5分）不等式|x﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（0，4 ）3．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（）A．12 B．16 C．20 D．244．（5分）下列命题正确的是（）A． B．C． D．||=0⇒= 5．（5分）公比为2的等比数列{a n} 的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（）A．4 B．2 C．1 D．86．（5分）设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a7．（5分）数列{a n}的通项公式a n=n cos，其前n项和为S n，则S2012等于（）A．1006 B．2012 C．503 D．08．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5 B．4 C．3 D．29．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．210．（5分）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]11．（5分）函数y=x cos x+sin x的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④二、填空题（本小题共有4道小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知，则•=．14．（5分）当x＞0时，求f（x）=+3x的最小值为．15．（5分）规定运算=ad﹣bc，若=，则sinθ=．16．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为（m）．三.解答题：（17题10分，18，19，20，21，22各12分）17．（10分）在等差数列{a n}中，a1+a6=12，a4=7，求a n及前n项和S n．18．（12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin （A+B）﹣=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．19．（12分）解关于x的不等式[（m+3）x﹣1]（x+1）＞0（m∈R）．20．（12分）设{a n}为等比数列，T n=na1+（n﹣1）a2…+2a n﹣1+a n，已知T1=1，T2=4，（1）求数列{a n}的首项和公比；（2）求数列{T n}的通项公式．21．（12分）已知向量=（cos x，sin x），=（cos x，﹣sin x），且x∈[0，]．求：（Ⅰ）及；（Ⅱ）若f（x）=﹣2λ的最小值是﹣，求λ的值．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？【参考答案】一.选择题（本题共12道小题，每题5分，共60分）1．A【解析】∵角α是第二象限角，且，∴cosα=﹣=﹣，2．D【解析】由|x﹣2|＜2，可得﹣2＜x﹣2＜2，即0＜x＜4，故要求的不等式的解集为{x|0＜x＜4}，3．B【解析】由等差数列的性质可得，则a2+a10=a4+a8=16，4．D【解析】两个向量相等，当且仅当它们的模相等且方向相同，，满足两个向量的模相等，但两个向量的方向不一定相同，所以，由，不一定有．所以，选项A不正确；向量的模即向量的长度，所以两个向量的模可以比较大小，但两个向量不能比较大小．所以，选项B不正确；方向相同或相反的两个向量定义为平行向量，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定相等．所以，选项C不正确；模为0的向量，方向可以看作是任意的，一定是零向量．所以，选项D正确．5．C【解析】∵公比为2的等比数列{a n} 的各项都是正数，且a3a11=16，∴，且a1＞0，解得，∴a5==1．6．C【解析】由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，所以a=log32，b=log52=，所以c＞a＞b，7．A【解析】∵a n=n cos，又∵f（n）=cos是以T==4为周期的周期函数，∴a1+a2+a3+a4=（0﹣2+0+4）=2，a5+a6+a7+a8=（0﹣6+0+8）=2，…a2009+a2010+a2011+a2012=（0﹣2010+0+2012）=2，S2012=a1+a2+a3+a4+…+a2012=（0﹣2+0+4）+（0﹣6+0+8）+…+（0﹣2010+0+2012）=2×503=10068．B【解析】由函数的图象可知，（x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（）=，所以T==，所以ω==4．9．A【解析】设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．10．D【解析】∵1=2x+2y≥2•（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．11．D【解析】由于函数y=x cos x+sin x为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×co sπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．12．C【解析】由等比数列性质知，①=f2（a n+1），故正确；②≠=f2（a n+1），故不正确；③==f2（a n+1），故正确；④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠=f2（a n+1），故不正确；二、填空题（本小题共有4道小题，每题5分，共20分）13．2【解析】由已知，则•=1×2+0×1=2；故答案为：2．14．12【解析】∵x＞0，∴．∴f（x）=+3x≥=12；当且仅当x=2时取等号．∴f（x）=+3x的最小值是12．故答案为：12．15．【解析】由规定运算=ad﹣bc，可知：=，∴，化简：==sin2θ﹣cos2θ∵⇒；∴故答案为：．16．20【解析】设矩形高为y，由三角形相似得：=，且x＞0，y＞0，x＜40，y＜40，⇒40=x+y≥2，仅当x=y=20m时，矩形的面积s=xy取最大值400m2．故答案为：20．三.解答题：（17题10分，18，19，20，21，22各12分）17．解：∵数列{a n}是等差数列，∴a1+a6=a3+a4=12，∵a4=7，∴a3=5，∴d=a4﹣a3=2∴a n=5+（n﹣3）•2=2n﹣1又a1=1，∴S n=n+×2=n2．18．解：由2sin（A+B）﹣=0，得sin（A+B）=，∵△ABC为锐角三角形，∴A+B=120°，C=60°．又∵a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，∴a+b=2，a•b=2，∴c2=a2+b2﹣2a•b cos C=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6，∴c=，（10分）S△ABC=ab sin C=×2×=．19．解：下面对参数m进行分类讨论：①当m=﹣3时，原不等式为x+1＞0，∴不等式的解为{x|x＜﹣1}．②当m＞﹣3时，原不等式可化为．∵，∴不等式的解为{x|x＜﹣1或．③当m＜﹣3时，原不等式可化为．∵，当﹣4＜m＜﹣3时，原不等式的解集为；当m＜﹣4时，原不等式的解集为；当m=﹣4时，原不等式无解，即解集为∅．综上述，原不等式的解集情况为：①当m＜﹣4时，解集为；②当m=﹣4时，无解，即∅；③当﹣4＜m＜﹣3时，解集为；④当m=﹣3时，解集为{x|x＜﹣1}；⑤当m＞﹣3时，解集为{x|x＜﹣1或．20．解：（1）设等比数列{a n}以比为q，则T1=a1，T2=2a1+a2=a1（2+q）．∵T1=1，T2=4，∴a1=1，q=2．（2）设S n=a1+a2+…+a n．由（1）知a n=2n﹣1．∴S n=1+2+…+2n﹣1=2n﹣1∴T n=na1+（n﹣1）a2+…+2a n﹣1+a n=a1+（a1+a2）+…+（a1+a2+…+a n﹣1+a n）=S1+S2+…+S n=（2+1）+（2n﹣1）+…+（2n﹣1）=（2+2n+…+2n）﹣n==2n+1﹣2﹣n21．解：（Ⅰ）=cos2x=∵x∈[0，]，∴cos x＞0，∴=2cos x．（Ⅱ）f（x）=cos2x﹣4λcos x=2cos2x﹣1﹣4λcos x，设t=cos x，则∵，∴t∈[0，1]即y=f（x）=2t2﹣4λt﹣1=2（t﹣λ）2﹣1﹣2λ2．①λ＜0时，当且仅当t=0时，y取最小值﹣1，这与已知矛盾②当0≤λ≤1时，当且仅当t=λ时，y取得最小值﹣1﹣2λ2，由已知得，解得λ=③当λ＞1时，当且仅当t=1时，y取得最小值1﹣4λ．由已知得，解得λ=，这与λ＞1相矛盾．综上λ=为所求．22．解：（I）当n=1时，∴a1（λa1﹣2）=0若取a1=0，则S n=0，a n=S n﹣S n﹣1=0∴a n=0（n≥1）若a1≠0，则，当n≥2时，2a n=，两式相减可得，2a n﹣2a n﹣1=a n∴a n=2a n﹣1，从而可得数列{a n}是等比数列∴a n=a1•2n﹣1==综上可得，当a1=0时，a n=0，当a1≠0时，（II）当a1＞0且λ=100时，令由（I）可知∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b6=＞0当n≥7时，∴数列的前6项和最大。