直线的一般式方程练习一

直线的一般式方程练习一
1. 已知直线过A(3,m+1)，B(4,2m+1)两点且倾斜角为5
6
π，则m的值为（）
A.−√3
B.√3
C.−√3
3D.√3
3
2. 直线l:y=√3x+1的倾斜角为()
A.π
3B.π
6
C.π
4
D.5π
12
3. 过点(1, −3)且垂直于直线x−2y+3=0的直线方程为()
A.x−2y−7=0
B.2x+y+1=0
C.x−2y+7=0
D.2x+y−1=0
4. 已知直线过点(1, 2)，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（）
A.2x−y＝0
B.2x+y−4＝0
C.2x−y＝0或x+2y−2＝0
D.2x−y＝0或2x+y−4＝0
5. 已知直线kx−y+1−3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点________．
6. 已知直线l1:ax+4y−1=0，l2:x+ay−1
2
=0，若l1 // l2，则实数a=________．
7. 设直线l1：(3+m)x+4y=5−3m与l2:2x+(5+m)y=8，若l1 // l2，则
m=________；若l1⊥l2，则m=________．
8. 直线ax+2y+6=0与直线x+(a−1)y+a2−1=0平行，则a=________．
9. 过点(−1, 2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．
10. 直线AB的方程为x−√3y+√3=0，则直线AB的倾斜角为()
A.30∘
B. 45∘
C. 60∘
D. 120∘
11. 已知两条直线l1:ax−by+4=0和l2：(a−1)x+y+b=0，若l1⊥l2且l1过点
(−3, −1)，求a，b的值．
12. 已知直线l过点P(3, 2)．
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
13. 设直线l的方程为(a+1)x+y+2−a=0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
14. 分别求经过下列两点的直线的斜率：
（1）(−3, 2)，(2, −1)；
（2）(2, 0)，(0．−4)；
（3）(2, 1)，(3, 1)；
（4）(a, a)，(a−1, a+3)．
15. 直线l过点P(−2, 1)且斜率为k(k>1)，将直线l绕P点按逆时针方向旋转45∘得直线m，若直线l和m分别与y轴交于Q，R两点．
（1）用k表示直线m的斜率；
（2）当k为何值时，△PQR的面积最小？并求出面积最小时直线l的方程．
参考答案与试题解析
直线的一般式方程练习一
一、选择题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）
1.
【答案】
C
【考点】
直线的斜率
直线的倾斜角
【解析】
根据题意，由直线的倾斜角可得直线AB的斜率，又由AB的坐标结合两点间连线的斜率公式可得k的值，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，直线AB的倾斜角为5
6
π，
则其斜率k=tan5
6π=−√3
3
，
又因为A(3,m+1)，B(4,2m+1)，
则AB的斜率k=(2m+1)−(m+1)
4−3
=m，
则有m=−√3
3
.
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设直线l的倾斜角为θ，
由题意知k=tanθ=√3，
∴ θ=π
3
.
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
直线的点斜式方程
【解析】
设与直线x−2y+3=0垂直的直线的方程为2x+y+c=0，把点(1, −3)的坐标代入
求出c值，即得所求的直线的方程．
【解答】
解：设所求的直线方程为2x+y+c=0，
把点(1, −3)的坐标代入得2−3+c=0，
∴c=1，
故所求的直线方程为2x+y+1=0.
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
直线的截距式方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）
5.
【答案】
(3, 1)
【考点】
过两条直线交点的直线系方程
【解析】
化直线方程为点斜式，由点斜式的特点可得答案．
【解答】
直线方程kx−y+1−3k＝0可化为y−1＝k(x−3)，
由直线的点斜式可知直线过定点(3, 1)；
6.
【答案】
−2
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
利用直线平行的性质求解．
【解答】
解：∵直线l1:ax+4y−1=0，l2:x+ay−1
2
=0，
∴a
1=4
a
≠−1
−1
2
，
解得a=−2.
故答案为：−2．7.
【答案】
−7,−13
3
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
由直线的平行和垂直关系分别可得m的方程，解方程验证可得．
【解答】
解：∵两直线l1：(3+m)x+4y=5−3m与l2:2x+(5+m)y=8，
∴若l1 // l2，则(3+m)(5+m)−4×2=0，
解得m=−1或m=−7，当m=−1时两直线重合应舍去，
∴m=−7；
若l1⊥l2，则2(3+m)+4(5+m)=0，
解得m=−13
3
.
故答案为：−7；−13
3
.
8.
【答案】
−1
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，由此求得a 的值．
【解答】
解：∵直线ax+2y+6=0与直线x+(a−1)y+a2−1=0平行，
∴a
1=2
a−1
≠6
a2−1
，
解得a=−1.
故答案为：−1．
9.
【答案】
2x+y=0或x+y−1=0
【考点】
直线的截距式方程
【解析】
分直线过原点和不过原点两种情况讨论，直线过原点时直接求出斜率得直线方程；不过原点时设出直线方程，代入点的坐标得答案．
【解答】
解：当直线过原点时，直线的斜率k=−2，
直线方程为y=−2x，即2x+y=0；
当直线不过原点时
设直线方程为x+y=a，代入点(−1, 2)得：−1+2=a，即a=1．
∴直线方程为：x+y−1=0．
∴过点(−1, 2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为2x+y=0或x+y−1=0．故答案为：2x+y=0或x+y−1=0．
三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）
10.
【答案】
A
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可得，直线的斜率k=√3
3
，
设直线的倾斜角为α，
则tanα=√3
3
.
因为α∈[0∘，180∘)，
所以α=30∘.
故选A.
11.
【答案】
解：由l1⊥l2，得：a(a−1)−b=0①；
由l1过点(−3, −1)，得−3a−b+4=0②；
由①②解方程组得：a=−1+√5，b=7−3√5；
或a=−1−√5，b=7+3√5．
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
由l1⊥l2，得a(a−1)−b=0①；l1过点(−3, −1)，得−3a−b+4=0②；由①②组成方程组，解方程组即可．
【解答】
解：由l1⊥l2，得：a(a−1)−b=0①；
由l1过点(−3, −1)，得−3a−b+4=0②；
由①②解方程组得：a=−1+√5，b=7−3√5；
或a=−1−√5，b=7+3√5．
12.
【答案】
解：（1）当直线经过原点时，可得直线方程为y=2
3
x．
当直线不经过原点时，可设直线方程为x+y=a，把点(3, 2)代入可得3+2=a，可得a=5．∴直线方程为x+y=5．
综上可得直线方程为：y=2
3
x，x+y=5．
（2）设直线的方程x
a +y
b
=1，把点P(3, 2)代入可得3
a
+2
b
=1．
∴1≥2√3
a ×2
b
，化为ab≥24，当且仅当3
a
=2
b
=1
2
，即a=6，b=4时取等号．
∴△ABO的面积的最小值为1
2ab=12，此时直线l的方程为x
6
+y
4
=1．
【考点】
直线的截距式方程
【解析】
（1）当直线经过原点时，可得直线方程为y=2
3
x．当直线不经过原点时，可设直线方程为x+y=a，把点(3, 2)代入即可得出；
（2）设直线的方程x
a +y
b
=1，把点P(3, 2)代入可得3
a
+2
b
=1．利用基本不等式的性质
即可得出．
【解答】
解：（1）当直线经过原点时，可得直线方程为y=2
3
x．
当直线不经过原点时，可设直线方程为x+y=a，把点(3, 2)代入可得3+2=a，可得a=5．∴直线方程为x+y=5．
综上可得直线方程为：y=2
3
x，x+y=5．
（2）设直线的方程x
a +y
b
=1，把点P(3, 2)代入可得3
a
+2
b
=1．
∴1≥2√3
a ×2
b
，化为ab≥24，当且仅当3
a
=2
b
=1
2
，即a=6，b=4时取等号．
∴△ABO的面积的最小值为1
2ab=12，此时直线l的方程为x
6
+y
4
=1．
13.
【答案】
解：(1)由题意可知，若2−a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=−1，化为y+3=0，舍去．
若a≠−1，2，化为：x a−2
a+1+y
a−2
=1，
令a−2
a+1
=a−2，化为a+1=1，解得a=0，
可得直线l的方程为：x+y+2=0．
综上所述直线l的方程为：x+y+2=0或3x+y=0.
(2)y=−(a+1)x+a−2，
∵l不经过第二象限，
∴{−(a+1)≥0，
a−2≤0，
解得：a≤−1．
∴实数a的取值范围是(−∞, −1]．
【考点】
直线的截距式方程
直线的斜截式方程
直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】
（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；
（2）y ＝−(a +1)x +a −2，由于l 不经过第二象限，可得{−(a +1)≥0a −2≤0
，解出即可得出．
【解答】
解：(1)由题意可知，若2−a =0，解得a =2，化为3x +y =0．
若a +1=0，解得a =−1，化为y +3=0，舍去．
若a ≠−1，2，化为：x a−2a+1+y a−2=1，
令a−2a+1=a −2，化为a +1=1，解得a =0，
可得直线l 的方程为：x +y +2=0．
综上所述直线l 的方程为：x +y +2=0或3x +y =0.
(2)y =−(a +1)x +a −2，
∵ l 不经过第二象限，
∴ {−(a +1)≥0，a −2≤0，
解得：a ≤−1．
∴ 实数a 的取值范围是(−∞, −1]．
14.
【答案】
由斜率公式得：k =
2−(−1)−3−2=−35； 由斜率公式得：k =0−(−4)2−0
=2； 由斜率公式得：k =1−12−3=0；
由斜率公式得：k =a−(a+3)a−(a−1)=−3．
【考点】
直线的斜率
【解析】
利用斜率公式即可求解．
【解答】
由斜率公式得：k =
2−(−1)−3−2=−35； 由斜率公式得：k =0−(−4)2−0
=2； 由斜率公式得：k =1−12−3=0；
由斜率公式得：k =a−(a+3)a−(a−1)=−3．
15.
【答案】
设直线l的倾斜角为α，则直线m的倾斜角为α+45∘，
k m=tan(45+α)=1+tanα
1−tanα=1+k
1−k
，
∴直线l的方程为y−1＝k(x+2)，直线m的方程为y−1=1+k
1−k
(x+2)
令x＝0，得y Q=2k+1,y R=3+k
1−k
，
∴S△PQR=1
2|y Q−y R|⋅|x P|=|2(k2+1)
k−1
|
∵k>1，
∴S△PQR=|2(k2+1)
k−1|=2⋅k2+1
k−1
=2[(k−1)+2
k−1
+2]≥4(√2+1)
由k−1=2
k−1
得k=√2+1（k=1−√2舍去），
∴当k=√2+1时，
△PQR的面积最小，最小值为4(√2+1)，
此时直线l的方程是(√2+1)x−y+2√2+3=0．
【考点】
直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】
（1）用点斜式求出m和l的方程，利用直线l绕P点按逆时针方向旋转45∘得直线m求出直线m的倾斜角为α+45∘；进而得到直线m的斜率；
（2）求出R，Q两点的坐标，计算△PQR的面积，变形后应用基本不等式求出它的最小值．
【解答】
设直线l的倾斜角为α，则直线m的倾斜角为α+45∘，
k m=tan(45+α)=1+tanα
1−tanα=1+k
1−k
，
∴直线l的方程为y−1＝k(x+2)，直线m的方程为y−1=1+k
1−k
(x+2)
令x＝0，得y Q=2k+1,y R=3+k
1−k
，
∴S△PQR=1
2|y Q−y R|⋅|x P|=|2(k2+1)
k−1
|
∵k>1，
∴S△PQR=|2(k2+1)
k−1|=2⋅k2+1
k−1
=2[(k−1)+2
k−1
+2]≥4(√2+1)
由k−1=2
k−1
得k=√2+1（k=1−√2舍去），∴当k=√2+1时，
△PQR的面积最小，最小值为4(√2+1)，
此时直线l的方程是(√2+1)x−y+2√2+3=0．。