《初中数学》5全等三角形的判定

全等三角形的判定
知识集结
知识元
SSS 法证明三角形全等
知识讲解
1.1、SSS判定方法的语言描述
•边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．2.2、SSS判定方法的证明结构
若利用SSS来证明△ABC和全等，则标准表述如下：
在△ABC和中，
，
∴.
例题精讲
SSS 法证明三角形全等
例1.'
如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，△ABC≌△AED吗？试说明．
'
例2.'
已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．
'
例3.'
如图，AD=CB，AB=CD，求证：△ACB≌△CAD．
'
全等性质和判定的综合应用-SSS
知识讲解
在证明边、角相等的题目中，常会用到的方法就是证明三角形全等，得到全等后，再利用全等三角形的性质得到对应边相等、对应角相等.在证明三角形全等的方法选择上，也要根据已知条件来决定，当已知条件多集中在边的时候，常会用到SSS法来证明.
例题精讲
全等性质和判定的综合应用-SSS
例1.'
已知：如图，AD=BC，AC=BD．猜想AE与BE的数量关系并证明．
'
例2.'
已知：如图，点D是△ABC内一点，AB=AC，∠1=∠2．求证：AD平分∠BAC．
'
SAS 法证明三角形全等
知识讲解
例题精讲
SAS 法证明三角形全等
例1.
如图所示，全等的三角形是（）
A．Ⅰ和ⅡB．Ⅱ和ⅣC．Ⅱ和ⅢD．Ⅰ和Ⅲ
例2.'
如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．
'
例3.'
如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：EC=BF．
'
全等性质和判定的综合应用-SAS
知识讲解
在证明边、角相等时，要首选利用三角形全等来证明，同时要注意：证明两直线平行等价于证明对应角相等.
例题精讲
全等性质和判定的综合应用-SAS
例1.'
如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
'
例2.'
如图，△ABC中，过点B作射线BF∥AC，已知E点为BC边上一点，D点为射线BF上一点，且AC=BE，BC=BD．求证：AB=ED．
'
例3.'
如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF，求证：BF⊥AE．
'
ASA 法证明三角形全等
知识讲解
例题精讲
ASA 法证明三角形全等
例1.'
已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CE，BE∥DF，∠A=∠C．求证：△ABE≌△CDF．
'
例2.'
在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°．求证：△AEF≌△BCF．
'
例3.'
如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC≌△DEC．
'
全等性质和判定的综合应用-ASA
知识讲解
在证明边、角相等时，要首选利用三角形全等来证明，同时要注意：证明两直线平行等价于证明对应角相等.
例题精讲
全等性质和判定的综合应用-ASA
例1.
如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，则他带的是第三块玻璃去，依据是（）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
例2.'
如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O，若∠1=42°，求∠BDE的度数．
'
例3.'
如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．
'
AAS 法证明三角形全等
知识讲解
例题精讲
AAS 法证明三角形全等
例1.
如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件使得△ABC≌△DEF．
例2.'
已知：如图AC，BD相交于点O，∠A=∠D，AB=CD，求证：△AOB≌△DOC．
'
例3.'
如图，已知AB⊥AC，AB=AC，DE过点A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E．求证：△ADC≌△BEA．
'
全等性质和判定的综合应用-AAS
知识讲解
在证明边、角相等时，要首选利用三角形全等来证明，同时要注意：证明两直线平行等价于证明对应角相等.
例题精讲
全等性质和判定的综合应用-AAS
例1.
如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（）
A．8B．5C．3D．2
例2.'
如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF．
'
例3.'
（1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE．
（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE 的关系如何？请予以证明．
'
HL 法证明三角形全等
知识讲解
1、HL判定方法的语言描述
斜边和一条直角边应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、HL判定方法的证明结构
若利用HL来证明Rt△ABC和全等，假设，则标准表述如下：
在Rt△ABC和中，
∴.
例题精讲
HL 法证明三角形全等
例1.
使两个直角三角形全等的条件是（）
A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等D．斜边及一条直角边对应相等
例2.'
如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
'
例3.'
如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，EA⊥AB，FD⊥AD，AB=CD，若用“HL”证明
Rt△AEC≌Rt△DFB，需添加什么条件？并写出你的证明过程．
'
全等性质和判定的综合应用-HL
知识讲解
在直角三角形中证明边、角相等时，首先要考虑利用直角三角形全等来证明.
例题精讲
全等性质和判定的综合应用-HL
例1.'
如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE=CF，求证：∠ACB=90°．
'
例2.'
如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
'
选择合适的方法证明三角形全等-分析型
知识讲解
根据已知条件分析具体可以使用哪种判定方法是非常重要的一种能力，例题精讲同时对几种判定方法的熟练掌握是掌握全等判定的基础.
例题精讲
选择合适的方法证明三角形全等-分析型
例1.
如图，在△ADO和△BCO中，下列给出的条件能使△ADO≌△BCO的是（）
A．OD=OC，BC=AD B．OA=OB，OC=OD
C．OB=OA，AD=BC D．BD=AC，BC=AD
例2.
利用尺规作图，通过下面所示的条件，不能作出唯一三角形的是（）
A．已知三角形三条边的长度
B．已知三角形两条边的长度和这两条边其中一边所对的角
C．已知三角形两条边的长度及其夹角
D．已知三角形的两个角及其夹边
例3.'
已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．
（1）如图1，求证：AE=BD；
（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．
'
选择合适的方法证明三角形全等-证明型
知识讲解
根据已知条件分析具体可以使用哪种判定方法是非常重要的一种能力，同时对几种判定方法的熟练掌握是掌握全等判定的基础.规范证明过程的书写格式也是本章需要重点关注的内容.
例题精讲
选择合适的方法证明三角形全等-证明型
例1.
如图，点D，E分别在AB，AC上，AD=AE，BE与CD交于点O，下列条件不能判定
△ABE≌△ACD的是（）
A．∠B=∠C B．BE=CD
C．AB=AC D．∠CEB=∠BDC
例2.'
如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．求证：△CEB≌△ADC．
'
全等三角形判定的多次应用
知识讲解
两个三角形全等可以得到相应的对应边相等、对应角相等，而对应边相等、对应角相等也可以通过几种判定方法来证明三角形全等，所以比较复杂的综合问题就需要对这两个过程不断地循环使用，此类问题对综合分析能力要求较高.
例题精讲
全等三角形判定的多次应用
例1.'
已知：如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD，线段AC交线段OB于点M，线段BD交线段OC于点N，请说明OM=ON的理由．
'
例2.'
如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC．求证：
OB=OC．
'
例3.'
如图，已知AB∥CD，CF∥BE，OB=OC，求证：AE=DF．
'
利用三角形全等处理动点问题
知识讲解
全等三角形主要的特点就是对应边、对应角相等，所以常会利用全等三角形的性质来处理动点问题中的三角形全等，此时需要注意的是分类讨论思想的应用，具体哪条边是对应边是一个典型的分类讨论的点.
例题精讲
利用三角形全等处理动点问题
例1.'
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm．一条线段PQ=AB，并且P、Q两点分别在线段AC和过A点且垂直于AC的射线AM上运动．问当P点位于AC的什么位置时由P、Q、A点构成的三角形与△ABC全等？并说明理由．
'
例2.'
如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使
△BPD与△CQP全等？
'
当堂练习
单选题
练习1.
如图，点D，E分别在AB，AC上，AD=AE，BE与CD交于点O，下列条件不能判定
△ABE≌△ACD的是（）
A．∠B=∠C B．BE=CD
C．AB=AC D．∠CEB=∠BDC
练习2.
利用尺规作图，通过下面所示的条件，不能作出唯一三角形的是（）
A．已知三角形三条边的长度
B．已知三角形两条边的长度和这两条边其中一边所对的角
C．已知三角形两条边的长度及其夹角
D．已知三角形的两个角及其夹边
练习3.
如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，则他带的是第三块玻璃去，依据是（）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
练习1.'
已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：
△ABC≌△DEF．
'
练习2.'
已知：如图，点D是△ABC内一点，AB=AC，∠1=∠2．求证：AD平分∠BAC．
'
练习3.'
如图，在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC内一点，AD=BD，且AD⊥BD，连接CD．过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点E，连接BE．过点D作DF⊥CD交BC于点F．若
BD=DE，求证：BF=CF．
'
练习4.'
如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC≌△DEC．
'
练习5.'
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．求证：AF=CD．
'
练习6.'
如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．
'
练习7.'
如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE=CF，求证：∠ACB=90°．
'
练习8.'
如图，AB∥CD，AD∥BC，点E、F分别在AC、CD上，且AE=CF，求证：DE=BF．
'
练习9.'
如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使
△BPD与△CQP全等？
'
练习10.'
如图，已知四边形ABCD中，AB=10厘米，BC=8厘米，CD=12厘米，∠B=∠C，点E为AB 的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD 上由C点向D点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．
'
练习11.'
在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：△EBC≌△FCB．
'
练习12.'
图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：
△ABC与△DEC全等．
'
练习13.'
如图，△ABC中，过点B作射线BF∥AC，已知E点为BC边上一点，D点为射线BF上一点，且AC=BE，BC=BD．求证：AB=ED．
'
练习14.'
如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：EC=BF．
'。