选修4-2课件：2.2+2.2.3 反射变换

(*)
又点 P′(x′，y′)在直线 y＝4x 上，所以 y′＝4x′，从而有 y ＝14x，从而直线 y＝4x 在矩阵－10 －01作用下变换成直线 y＝14 x.根据(*)，它们关于直线 y＝－x 对称．如图所示．
1．计算－01
－1 0
xy，并说明其几何意义．
5．变换 T 使图形 F：y＝x2－1 变为 F′：y＝|x2－1|，试求变 换 T 对应的变换矩阵 A. 解：当 x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，A＝01 10； 当 x∈[－1,1]时，A＝10 －01.
6．若曲线x42＋y22＝1 经过反射变换 T 变成曲线x22＋y42＝1，求变 换 T 对应的矩阵．(写出两个不同的矩阵)
所以该变换为关于直线 y＝x 对称的反射变换(如图 2)．
(1)点在反射变换作用下对应的象还是点．(2)常见的反射变
换矩阵：－01
－10表示关于原点对称的反射变换矩阵，10
0 －1
表示关于 x 轴对称的反射变换矩阵，－10 01表示关于 y 轴对称
的反射变换矩阵，01 10表示关于直线 y＝x 对称的反射变换矩阵，
的点分别是(5，－3)，(－5，－3)和(3,5)．
2．求出△ABC
分别在
M1
＝
－1 0
0 1
，
M2＝
1 0
0 －1
，
M3
＝
－1

0
－10对应的变换作用下的几何图形，并画出示意图，
其中 A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)．
解：在 M1 下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)，C→C′(－1,2)；
解：T＝10 01或 T＝－10 －01.
7．求关于直线 y＝3x 对称的反射变换所对应的矩阵 A. 解：在平面上任取一点 P(x，y)，令点 P 关于 y＝3x 的对称 点为 P′(x′，y′)． 则xyy＋－ －2yyx′′′＝×33×＝x－＋12x，′，
图并指出该变换是什么变换．
(2)矩阵01 10将点 A(2,7)变成了怎样的图形？画图并指出 该变换是什么变换．
[思路点拨] 先通过反射变换求出变换后点的坐标，再 画出图形即可看出是什么变换．
[精解详析]
(1)因为－10
0 1
25＝－25，
4．求直线 y＝4x 在矩阵－10 －01作用下变换所得的图形．
解：任取直线 y＝4x 在矩阵－10 －01作用下变换所得的 图形上的一点 P(x，y)，一定存在变换前的点 P′(x′，y′) 与它对应，使得
xy＝－10
－1 0
xy′′，即xy＝＝－－xy′′，.
解：矩阵－10 01确定的变换是关于 y 轴的轴反射变换，它将
点(x，y)变换为点(－x，y)．所以平面△ABC 在经过矩阵－10
0 1
对应的变换后所得图形是与原图形全等的三角形，故只需求
出△ABC 的面积即可．所以所求图形的面积为 6.
4．求出曲线 y＝ex 先在矩阵－10
化简得xy′′＝＝35－x＋45x45＋y.35y，
∴xy′′＝－453 5
3
5 4
xy.
5
∴关于直线 y＝3x 对称的反射变换对应的矩阵为
A＝－453
3 5 4.
5 5
8．已知矩阵 M＝10 01，N＝01 －10.在平面直角坐标系中，设 直线 2x－y＋1＝0 在变换 TM，TN 先后作用下得到曲线 F， 求曲线 F 的方程．
[精解详析] 任取椭圆x92＋y2＝1 上的一点 P(x0，y0)，它在矩
阵01
10对应的变换作用下变为 P′(x′0 ，y′0 )．则有10
1 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxy00＝
xy′00′，故yx00＝＝xy′0′0 . 因为点 P 在椭圆x92＋y2＝1 上，所以x902＋y20＝1，
2.2.3 反射 变换
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二
2.2.3 反射变换
1．反射变换矩阵和反射变换 像10 －01，－10 01，－01 －10这样将一个平面图形 F 变 为关于_定__直__线___或_定__点__对称的平面图形的变换矩阵，我们称之 为反射变换矩阵，对应的变换叫做_反__射__变__换__．相应地，前者叫 做_轴__反__射___，后者称做_中__心__反__射__．其中定直线称为反射轴，定 点称做反射点．
2．线性变换 二阶非零矩阵对应的变换把直线变为_直__线___，这种把直线变 为_直__线___的变换称为线性变换．二阶零矩阵把平面上所有的点都 变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的退化情况．
点在反射变换作用下的象
[例 1]
(1)矩阵－10 01将点 A(2,5)变成了什么图形？画

0
－1
－01表示关于直线 y＝－x 对称的反射变换矩阵．
1．计算下列各式，并说明其几何意义．
(1)10
0 －1
53；
(2)－10
0 －1
53；
(3)01
1 0
53.
解：(1)10
0 1
对应
的
变换
，
后
在
矩阵
－1

0
－10对应的变换作用下形成的曲线，并说明两次变换
后对应的是什么变换？
解：因为矩阵－01 10对应的变换是关于 y 轴的轴反射变换，变 换后曲线为 y＝e－x.又因为矩阵－10 －01对应的变换是关于原 点 O 的中心反射变换，变换后曲线为－y＝ex，即 y＝－ex.两次 变换对应的变换是关于 x 轴的轴反射变换．
∵点 P 在直线 F′上，
∴2y0－x0＋1＝0， 即－2x′－y′＋1＝0.
∴所求曲线 F 的方程为 2x＋y－1＝0.
0 －1
53＝－53；
(2)－01
0 －1
53＝－ －35；
(3)10
1 0
53＝35.
三个矩阵对应的变换分别是将点(5,3)作关于 x 轴反射变换、关
于原点的中心反射变换以及关于直线 y＝x 的轴反射变换，得到
∴y′90
2
＋x′ 0
2＝1；因此
x′ 0
2＋y′90
2
＝1.
从而所求曲线方程为 x2＋y92＝1，是椭圆．
矩阵10 01把一个图形变换为与之关于直线 y＝x 对称的图 形，反射变换对应的矩阵要区分类型：点对称、轴对称．
3．求曲线 y＝1x(x>0)在矩阵－10 －01对应的变换作用下得到的 曲线． 解：矩阵－01 －10对应的变换是关于原点对称的变换，因 此，得到的曲线为 y＝1x(x<0)．
在 M2 下，A→A″(0,0)，B→B″(2,0)，C→C″(1，－2)；
在 M3 下，A→A
，B→B －2,0)，C→C －1，－2)．
图形分别为
曲线在反射变换作用下的象
[例 2] 椭圆x92＋y2＝1 在经过矩阵01 10对应的变换后所得 的曲线是什么图形？
[思路点拨] 先通过反射变换求出曲线方程，再通过方程判 断图形的形状．
解 ： (1) 对 应 的 是 关 于 原 点 的 中 心 反 射 变 换 ， 矩 阵 形 式 为
－1

0
－10.
(2)对应的是关于 y 轴的轴反射变换，矩阵形式为－01 10.
3．求△ABC 在经过矩阵－10 01对应的变换后所得图形的面积， 其中 A(1,0)，B(－2,0)，C(5,4)．
解：

0
－1
－1 0
x y
＝
－y

－x
，
其
几
何
意
义
是：
由
矩
阵
M＝

0
－1
－01确定的变换是关于直线 y＝－x 的轴反射变换，将
点(x，y)变换为点(－y，－x)．
2．在矩阵变换下，图(1)，(2)中的△ABO 变成了△A′B′O， 其中点 A 的象为点 A′，点 B 的象为点 B′，试判断相应 的几何变换是什么？
解：∵TM 是关于直线 y＝x 对称的反射变换， ∴直线 2x－y＋1＝0 在 TM 的作用下得到直线 F′： 2y－x＋1＝0. 设 P(x0，y0)为 F′上的任意一点，它在 TN 的作用下变为 P′(x′，y′)，
∴xy′′＝01
－1 0
yx00，即xy00＝＝－y′x， ′.
即点 A(2,5)经过变换后变为点 A′(－2,5)，它们关于 y 轴对
称，
所以该变换为关于 y 轴对称的反射变换(如图 1)．
(2)
因
为
0 1
1 0
2 7
＝
7 2
，
即
点
A(2,7) 经 过 变 换 后 变 为 点
A′(7,2)，它们关于 y＝x 对称，