平面向量基本定理 课件

(2)于对固定的 e1、e2(向量 e1 与 e2 不共线)而言，平面内任 一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只 要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．
2．向量的夹角
(1)定义：两个非零向量a和b，且
→ OA
＝a，
→ OB
＝b，则∠
AOB＝θ叫做向量a和b的夹角(如图所示)，范围是_0_°≤__θ_≤__1_8__0_°.
平面向量基本定理
1．平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个_不__共__线___向量，那么对于 这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1 ＋λ2e2，其中不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向 量的一组_基__底____．
Байду номын сангаас
[破疑点](1)这个定理告诉我们，在平面内任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯 一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而 零向量的分解式是唯一的，即 0＝λ1e1＋λ2e2，且 λ1＝λ2＝0.
当θ＝0°时，向量a和b同向；当θ＝180°时，向量a和b_反__向__．
(2)垂直：如果向量a和b的夹角是____9_0_°__，我们就说向 量a与b垂直，记作 a⊥b .
1.忽略两个向量作为基底的条件
已知 e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则 a 与 b 共线的条 件为( )
A．λ＝0 C．e1∥e2 [错解] A
[正解] D
2．分不清向量的起点和终点 在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，则A→C与C→B的 夹角 θ＝________. [错解] ∵∠ACB 是A→C与C→B的夹角，∴θ＝60°.
[错因分析]
错解中，误认为∠ACB是
→ AC
与
→ CB
的夹角，
其实不然，∠ACB是
→ CB
B．e2＝0 D．e1∥e2 或 λ＝0
[错因分析] 在应用平面向量基本定理时，要注意a＝λ1e1 ＋λ2e2中，e1，e2不共线这个条件．若没有指明，则应对e1，e2 共线的情况加以考虑．
[思路分析] 当e1∥e2时，a∥e1，又因为b＝2e1，所以b∥ e1.又e1≠0，故a与b共线；当λ＝0时，则a∥e1.又因为b＝2e1， 所以b∥e1.又因为e1≠0，故a与b共线．
与
→ CA
的夹角，
→ AC
与
→ CB
的起点不同，
则∠ACB不是夹角．
[思路分析]
当且仅当a与b的起点相同，且a＝
→ OA
，b＝
O→B时，∠AOB才是向量a与b的夹角．
[正解]
如图所示，延长AC到D，使AC＝CD，则
→ AC
＝
C→D，∠BCD是A→C与C→B的夹角，
由于∠BCD＋∠ACB＝180°，∠ACB＝60°， 则∠BCD＝180°－60°＝120°，即θ＝120°.