高二物理 直流电路及部分欧姆定律

直流电路及部分电路欧姆定律
1电流 欧姆定律
1.1电流 电流强度 电流密度
电流强度是描述电流强弱的物理量，单位时间通过导体横截面的电量叫做电流强度。

用定义式表示为t q I /=。

1.2 电阻定律
导体的电阻为 S
L S L R σρ=
=/ 式中ρ、σ称为导体电阻率、电导率⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=σρ1，都由导体的性质决定。

实验表明，多数材料的电阻率都随温度的升高而增大，在温度变化范围不大时，纯金属的电阻率与温度之间近似地有如下线性关系()t αρρ+=10。

ρ0为0℃时电阻率，ρ为t 时电阻率，α为电阻率的温度系数
1.4部分电路欧姆定律
部分电路欧姆定律内容：导体中的电流强度I 跟它两端所加的电压U 成正比，跟它的电
阻R 成反比，即 R U I =
上式适用于金属导电和电解液导电的情况。

对非线性元件（如灯丝、二极管）和气体导电等情况不适用。

2电路简化
2.2电路化简
①Y —△变换
在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y 型或△型，如图9所示，有时把Y 型联接代换成等效的△型联接，或把△型联接代换成等效的Y 型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y 型联接三个端纽的电压U 1、U 2、U 3及流过的电流I 1、I 2、I 3与△型联接的三个端纽相同。

在Y 型电路中有 032131
1133122211=++=-=-I I I U R I R I U R I R I
可解得
31
1
332212
1213322131U R R R R R R R U R R R R R R R I ++-++=
图9
在△型电路中
3131
1212131
12131
31
311212
12R U R U
I I I I R U I R U I -=-=== 等效即满足：
311
332212
12133221331311212U R R R R R R R U R R R R R R R R U R U ++-++=-
即
3
1
3322112R R R R R R R R ++=
①
2
1
3322
131R R R R R R R R ++= ② 类似方法可得
1
1
3322123R R R R R R R R ++=
③
①、②、③式是将Y 型网络变换到△型电路中的一组变换。

同样将△型电路变换到Y 型电路，变换式可由①、②、③式求得：④、⑤、⑥
31
23
12
31
12
1
R R R R
R R ++=
④
31231223
122R R R R R R ++=
⑤
31231223
313R R R R R R ++=
⑥
【例2】试求如图10所示电路中的电流。

分析：这是包含一个Y 型电路和一个△型电路的网络，解决问题的方向 可将左边Y 型网络元变换成△型网络元，或将右侧△型网络元变换成Y 型网络元。

解： 将左侧Y 型网络换成△型，如图11所示，已知R 1 = R 2 = R 3 = 1Ω
则有
'
图10 '图11
V 4图12
Ω
=++=33
1
3322112R R R R R R R R
Ω
=++=31
1
3322123R R R R R R R R
Ω
=++=
32
1
3322131R R R R R R R R
将右侧△型网络元换成Y 型网络元同样可求得
Ω
=
34总R ，这里不再叙述。

②对称性原理
方法一：等势节点的断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点，（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。

【例3】用导线连接成如图13所示的框架，ABCD 是正四面体，每段导线的电阻都是1Ω。

求AB 间的总电阻。

解： 设想A 、B 两点上存在电势差U A –U B ，由于电路的对称性可以知道D 、C 两点的电势都应该介乎U A 与U B 的中间，即U=（U A –U B ）/2，所以两点应是等电势的。

这样，去掉CD 段导线，对A 、B 间的总电阻不会有影响。

当去掉CD 段导线后，就
成为三路并联，即A —D —B ，A —C —B ，和AB 。

于是：
2121
211=++=总R )
(5.0Ω=∴总R
方法二：电流分布法
设有电流I 从A 点流入B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基尔霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I 的关系，然后经任一路径计算A 、B 两点间的电压U AB ，再由R AB =U AB / I 即可求出等效电阻。

【例4】10根电阻均为r 的电阻丝接成如图14所示的网络，试求
出A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。

解： 由结构对称性，要求电流I 从A 点流入后在A 点的电流分布应与电流I 从B
点流出前的电流分布相同，中间四方形必具有上、下电流分布对称和左、右电流分布对称，因此网络内电流分布应如图15所示。

对图中C 点和D 点，有电流关系
解得 ①
由A 、E 两点间不同路线等电压的要求，得
r
I r I I r I 2
1
1
)(2+-=⋅
即 3I 1– I 2 = I ②
图14
()()12212121I I I I I I I I I I -=++++=-I I I 21
21=+图13
A B
D
C
解①、②两式得
选择线路AEDB ，可得
Ir
815=
因此，A 、B 间等效电阻为
r I U R AB AB 815
==
③无穷网络等效变换法
若，⋯++++=a a a a x （a ＞0）在求x 值时，x 注意到是由无限多个a 组成，所以去掉左边第一个+a 对x 值毫无影响，即剩余部分仍为x ，这样，就可以将原式等效变换为x a x +=
，即02=--a x x 。

所以
2411a
x ++=
这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路。

【例5】如图16所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为ρ，一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，取AB 边长为a ，以下每个三角形的边长依次减小一半，则框架上A 、B 两点间的电阻为多大？
解： 从对称性考虑原电路可以用如图17所示的等效电路来代替，同时我们用电阻为R AB /2的电阻器来代替由无数层“格子”所构成的“内”三角，并且电阻是R AB 这样的，R AB =R X ，R =aρ 因此
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2/2/2/2/x x x x x R R RR R R R R RR R R R
解此方程得到
(
)
ρ
a R R R x AB 173
1317-=-=
=
④电流叠加法
解题步骤是：先考虑一支流入或流出系统的电流，把它看作在给系统充电或放电，利用对称性求出系统中的电荷分布和电流场分布，求出每一支电流造成的分布后进行叠加，使得电荷分布全部抵消，而电流场叠加作为所求的电流场。

A B 图16
B R 2/图17
()()r
I I r I I r I U AB 12112-+++⋅=I
I I I 8
1,8321==
【例6】有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图18所示。

所有六边形每边的电阻为R 0 ，求：
（1）结点a 、b 间的电阻？
（2）如果有电流I 由a 点流入网络，由g 点流出网络，那么流过de 段电阻的电流 I de 为多大？ 解：（1）设有电流I 自a 点流入，流到四面八方无穷远处，
那么必有I /3电流由a 流向c ，有I /6电流由c 流向b 。

再假设有电流I 由四面八方汇集b 点流出，那么必有I /6电流由a 流向c ，有I /3电流由c 流向b 。

将以上两种情况综合，即有电流I 由a 点流入，自b 点流出，由电流叠加原理可知 263I
I I I ac =
+=
（由a 流向c ） 263I I I I cb =
+=（由c 流向b ）
因此，a 、b 两点间等效电阻
00
0R I R I R I I U R cb ac AB AB =+==
（2）假如有电流I 从a 点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设
A I I I I ===741
B I I I I I I I ======986532
应该有
I I I A =+B 63
因为b 、d 两点关于a 点对称，所以
A be de
I I I 21
=='
同理，假如有电流I 从四面八方汇集到g 点流出，应该有 B
de
I I =''
最后，根据电流的叠加原理可知
()I I I I I I I I B A B A de de
de 61636121=+=+=''+'=
以上几种方法可实现电路的化简。

其中，电流分布法特别适合于纯电阻电路及求复杂导
体的等效电阻，当为纯电容电路时，可先将电容换成电阻为解等效阻值，最后只需将R 换成1/C 即可。

图18
习 题
1.在右图所示的电路中，R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = R ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。

2.在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。

3.如图所示是一个无穷方格电阻丝网络的一部分，其中每一小段电阻丝的阻值都是R 求相邻的两个结点A 、B 之间的等效电阻。

∙
∙
A B
答 案
１. 解析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。

将图20图中的A 、D 缩为一点A 后，成为下图乙，
AB AB 8
２. 解析：在本模型中，我们介绍“对称等势”的思想。

当我们将A 、B 两端接入电源，电流从A 流向B 时，相对A 、B 连线对称的点电流流动的情形必然是完全相同的，即：在图乙图中标号为1的点电势彼此相等，标号为2的点电势彼此相等…。

将它们缩点后，1点和B 点之间的等效电路如图丙所示。

不难求出，R 1B = 14
5
R ，而R AB = 2R 1B 。

【答案】R AB =
7
5
R 。

3. 解析：假设电流I 从A 点流入，向四面八方流到无穷远处，根据对称性，有I/4电流由A 点流到B 点。

假设电流I 经过无限长时间稳定后再由四面八方汇集到 B 点后流出，根据对称性，同样有I/4电流经A 点流到B 点。

解:从以上分析看出，AB 段的电流便由两个I/4叠加而成，为I/2因此 U AB =(I/2)*r
A 、
B 之间的等效电阻 R AB =U AB /I=r/2。