复平面上多项式的零点问题

复平面上多项式的零点问题
刘春苔
【摘要】考虑系数是0,1的多项式的零点问题,讨论了一类特殊三项式
f(z)=xn1(1+zm+zn),得到了其在单位圆周上存在零点一个充分且必要的条件.【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(026)004
【总页数】2页(P389-390)
【关键词】单位圆周;零点;完全剩余系
【作者】刘春苔
【作者单位】武汉工业学院数理系,湖北武汉430023
【正文语种】中文
【中图分类】O174.14
在工程学、信息学等学科中,经常要处理与带随机系数的多项式的零点问题相关[1]的问题.现在已经有相当多的文献讨论在复平面和实直线上的零点分布问题,所得的结果多数针对于系数是独立同分布的连续随机变量的情形[2,3].本文考虑是系数为0,1的多项式的零点问题,而该问题与利用Zak变换讨论Gabor框架集相关[4].设:f(z)=zn1+zn2+zn3=zn1(1+zm+zn),其中n1,n2,n3均为整数, 且m=n2-
n1,n=n3-n1.定义:W={z∶|z|=1且f(z)=0},则集W是f在单位圆周上所分布的零点.
目前没有相应的文献讨论W的性质，即使像W是否非空这个简单性质都没有讨论. 而当W为空集时，由Zak变换可以知道
F=[n1,n1+1]∪[n2,n2+1]∪[n3,n3+1]是一个Gabor框架，当W非空时，F一定不是Gabor框架集，而前一种情形在信号处理、图像处理等学科中有相当广泛的应用.所以关注集W是否为空，即考虑对于怎么样的整数n1,n2,n3,集W是否为空非空. 至于集W的其他性质,本文不涉及.
由于只在单位圆周上讨论零点问题，而f,g(z)=1+zm+zn在单位圆周上都有相同的零点分布，从而在实际讨论时可以把函数f换成函数g(z)=1+zm+zn，简化论述过程.
定理1 集W非空的充分必要条件是{0,m,n}是模3的完全剩余系或者是模3的完全剩余系的倍数.
1 主要结果的证明
定义1 设m,n是整数，记号(m,n)表示m,n的最大公约数.若(m,n)=1,则称m,n互素.
定义2 如果实数m,n,p,r满足带余除法式m=pn+r,其中0≤r<p,且n为整数.则称r为p除m的余数,此时也称m,r模p同余, 记作:m≡r(mod p),当r=0时,称p整数m,记作p|m.
对于同余式, 下面的命题是周所众知的, 故略去其详细证明.
命题1 设c为非零实数,(p,c)=1.若:mc≡rc(mod pc),则m≡r(mod p).
定义3 设p为正整数.若p元数集A除以p的余数为{0,1,…,p-1}, 则称集A为模p 的完全剩余系.
引理1 设g(z)在单位圆周有零点,且m,n互素,则m+n≡0(mod 3).
证明设g(z)在单位圆周上的零点为z=eiπθ=cosπθ+isinπθ,其中0≤θ<2.由于
g(z)=0可得:
解上述方程得:
只讨论另一种情形可以类似讨论.此时:
mπθ≡23π(mod 2π),
(1)
nπθ≡43π(mod 2π),
(2)
由式(1)可知θ是一个有理数分数,故可令θ=a/b,其中(a,b)=1,b>1,a<2b.于是由命题1可知:式(1),(2)可以改写为:
3ma=(2+6k1)b,
(3)
3na=(4+6k2)b.
(4)
由式(3),(4)有b整除(3m,3n)=3,结合b>1,可得b=3.于是式(3),(4)可改写为:
ma=2+6k1,
(5)
na=4+6k2.
(6)
此时知2是ma,na的约数,而(m,n)=1,故a是2的倍数,从而a=2或者a=4.
情形1 a=2.此时m=1+3k1≡1(mod 3),n=2+3k2≡2(mod 3).
情形2 a=4.此时m≡4m≡2+6k1≡2(mod 3),n≡4n≡4+6k2≡1(mod 3).
两种情形下均有:m+n≡0(mod 3).
引理2 如果m,n互素,且m+n≡0(mod 3),则g(z)在单位圆周上有零点.
证明此时特取单位圆周上的点则简单计算表明:1+zm+zn=0.
定理1的证明当m,n互素时,引理1和引理2表明f在单位圆周上存在零点的充分且必要的条件是m+n≡0(mod 3),所以m,n模3的余数是1,2.因此{0,m,n}为模3的完全剩余系.
当m,n不互素时,记d=(m,n),m0=m/d,n0=n/d.则由上面的证明可知多项式
g1(z)=1+zm0+zn0在单位圆周上存在零点的等价条件是{0,m0,n0}是模3的完全剩余系.注意到g(z)和g1(z)要么都在单位圆周上有零点,要么都没有零点.故集合W 非空等价于{0,m0,n0}是模3的一个完全剩余系,也就等价{0,m,n}于是一个模3完全剩余系的整数倍(实际上是d倍).
2 一些例子
例1 n1,n2,n3为连续的整数,则W={w1,w2}其中w1,w2为1+z+z2=0的两个虚根.
证明不妨设n1<n2<n3,于是由题设f(z)=zn1(1+z+z2)可得：g(z)=1+z+z2,其根为方程z3=1的两个虚根w1,w2,显然w1,w2均在单位圆周上.
例2 若{n1,n2,n3}={1,7,8},则W为空集.
证明此时m=7-1=6≡0(mod 3),n=8-1≡(mod 3),{0,m,n}模3的余数是{0,1},从而不是模3的完全剩余系.
参考文献:
[1] Bhanot G,Lacki J.Partition function zeros and the 3-d Ising spin galss[J].J Stat Mech,1993,71(1-2):259-267.
[2] Bharacha Reid A T,Sambandham M.Random
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[3] Erdos P,Turan P.On the distribution of roots of polynomials[J].Ann Math,1950,51:105-119.
[4] Casazza P G.Modern tools for Weyl-Heisenberg (Gabor) frame
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