信号与系统第8章离散信号与系统的频域分析

第8章 离散傅里叶变换及应用
(a) 非周期连续时间信号与连续频率非周期频谱 (b) 周期连续时间信号与离散频率非周期频谱
(c) 非周期离散时间信号与连续频率周期频谱 (d) 周期离散时间信号与离散频率周期频谱
图 8.1-1 傅里叶变换的四种形式
第8章 离散傅里叶变换及应用
图 8.1-1(a)所示为连续时间函数 x(t) 及其傅里叶变换。其数学表达式为
（8.1-11b）
x(n) IDFS X (k)
1
N 1
X (k)W nk
N k0
（8.1-12b）
第8章 离散傅里叶变换及应用
8.2 离散傅里叶变换
离散傅里叶级数可以用来分析周期序列，而离散傅里叶变换则是针对有限长
度序列。为了讨论周期序列和有限长序列的关系，并由离散傅里叶级数引出离散

x(t)
X (kf1)e j2 kf1t
k
（8.1-4）
第8章 离散傅里叶变换及应用
图 8.1-1(c)所示是离散序列的非周期函数 x(nTs ) ，其频谱是周期的连续函数 X ( f ) ，相
当于抽样信号频谱的情况。与图 8.1-1(b)的表达式具有对称的函数式

X ( f )
（8.2-10）
由于当 n 0 和 n N 时 x(n) 0 ，所以式（8.2-10）可以简化为
N 1
X (e j ) x(n)e jn n0
（8.2-11）
比较式（8.2-9）和式（8.2-11）可见
X (k) X (e j ) 2 k N
（8.2-12）
（8.1-7）
x(nTs )
1 fs
N 1
X (kf1 )e j2 nkTs f1
k 0
fs N

1 N
N 1
X (kf1 )e j2 nkTs f1
k 0
（8.1-8）
N 1
j 2 nk
X (kf1) x(nTs )e N
n0
x(nTs )

1 N
N 1
傅里叶变换，先分析一下离散傅里叶级数的表达式。
为了区分周期序列和有限长序列，以后均使用下标 p 表示周期性序列。于是
式（8.1-11）和式（8.1-12）表示的离散傅里叶级数变换对为
N 1
X p (k) DFS xp (n) xp (n)W nk n0
xp (n)

IDFS
W 1( N 1)
W 0 X (0)
W ( N 1)1

X (1)



W
( N 1)( N 1)


X
(N
1)
X(k) Wnk x(n) x(n) 1 Wnk X(k)
N
（8.2-7a）
（8.2-8a） （8.2-7b） （8.2-8b）
时间序列的长度 N 取二者中较大者，即 N maxN1, N2 。
同理，对于 M 个离散序列，则有
DFT

M i 1
ai
xi
(n)

M
ai Xi (k)
i 1
第8章 离散傅里叶变换及应用
8.3.2 时移特性
为了讨论时移特性，首先建立圆周移位的概念。
设有限长序列 x(n) 位于 0 n N 1区间，将其右移 m 位，得时移序列
eN
e N
所以周期序列频谱的全部谐波成分中只有 N 个是独立的。同理，式（8.1-9）表示的傅里叶级
数系数 X (kf1) 也是一个以 N 为周期的周期序列。
为了书写方便，引用符号 WN
，使得 WN
j ( 2 )
e N
N 1
X (kf1) DFS x(nTs ) x(nTs )W nk
8.3.1 线性特性
若
X1(k) DFT x1(n) 、 X2 (k) DFT x2 (n)
则
DFT a1x1(n) a2 x2 (n) a1X1(k) a2 X 2 (k)
（8.3-1）
式中离散序列 x1(n) 、 x2 (n) 的长度分别为 N1 、 N2 ， a1 、 a2 为任意常数，所得
第8章 离散傅里叶变换及应用
8.2.3 DFT与DTFT的关系
已知长度为 N(0 n N 1) 的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X (k) 为，
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
（8.2-9）
而其离散时间傅里叶变换 X (e j ) 为，

X (e j ) x(n)e jn n
x(nTs )e j2 nfTs
n
（8.1-5）
1
x(nTs ) fs
X ( f )e j2 nTs df
fs
（8.1-6）
图 8.1-1(d)所示为周期离散时间函数 x(nTs ) ，其傅里叶变换是周期离散频率函数
X (kf1) 。
N 1
X (kf1) x(nTs )e j2 nkTs f1 n0
（8.3-2）
该性质标明，序列 x(n) 经过圆周移位 m 后，其 DFT 是将 X (k) 乘 以相移因子 W mk 。
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8.3.3 频移特性
若
DFT x(n) X (k)
则
IDFT X (k l) x(n)W nl
（8.3-3）
此性质表明，若时间函数乘以指数项 W nl ，则离散傅里叶 变换就向右圆移 l 位。与连续时间信号类似，这可以看作调制信 号的频谱搬移，也称“调制定理”。
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8.3.4 时域圆周卷积（圆卷积、循环卷积）
若
Y(k) X (k)H(k)
则
N 1
y(n)

IDFT
Y
(k
)


x(m)h
(n

m)
N
GN
(n)
m0
N 1


h(m)
x
(n

m)
N
GN
(n)
m0
x(n) h(n)
（8.3-4）
式（8.3-4）称为离散卷积定理，其中 Y (k) 、 X (k) 、 H (k) 分别为离散 序列 y(n) 、 x(n) 、 h(n) 的 DFT。
n0
或
j( 2 )
W e N
（8.1-11a）
x(nTs ) IDFS
X (kf1)

1 N
N 1
X (kf1)W nk
k 0
在具体计算中，常常假设 Ts 1 、 f1 1 ，此时
（8.1-12a）
N 1
X (k) DFS x(n) x(n)W nk n0
第8章 离散傅里叶变换及应用
第8章 离散傅里叶变换及应用
8.1 离散傅里叶级数 8.2 离散傅里叶变换 8.3 离散傅里叶变换的基本性质 8.4 离散傅里叶变换与Z变换的关系 8.5 快速傅里叶变换 8.6 离散傅里叶变换的应用 8.7 本章小结
第8章 离散傅里叶变换及应用
8.1 离散傅里叶级数
为了引出离散傅 里叶级数的概 念，现在先 来回顾一下 过去曾 经得到的一些信号 及其频谱间的 对应关系。具 体来说，就 是非 周 期连 续时间信号的 频谱是连续频 率的非周期 函数 ；周期连 续时间 信号 的频谱是离散 频率的非周期 函数 ；非周期 离散时间信 号的频 谱是 连续频率的 周期函数 。除了以上讨论过的三种情况外 ，还存 在着第四个情况，即周 期 的离散时 间信号的频 谱是离散频 率的周 期函数。这四种情况如图 8.1-1 所示，它们针对四种不同类型的信 号，各自有着自己的应用背景和性质。
X p (k)

1 N
N 1
X p (k)W nk
k 0
（8.2-1） （8.2-2）
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8.2.1 周期延拓和主值区间
设 x(n) 为有限长序列，它有 N 个样值，即
x(n) 0 n N 1
Байду номын сангаас
x(n) 0
n为其它值
假设一个周期序列 xp (n) ，它是以 N 为周期将 x(n) 周期延拓而成，则可表示为
度为 N(0 n N 1) 的频域有限长序列，其正反变换的关系式为
N 1
X (k) DFT x(n) x(n)W nk n0
x(n) IDFT X (k)
1
N 1
X (k)W nk
N k0
（8.2-3） （8.2-4）
式（8.2-3）和式（8.2-4）称为有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）对。
xp (n) x(n rN)
r
r取整数
而
x(n)

x p
(n)
0
0 n N 1 n为其它值
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图 8.2-1 x(n) 和 xp (n) 的对应关系
xp (n) 和 x(n) 的关系还可以用下列符号表示
xp
(n)

x
(n) N
x(n) xp (n)GN (n)
x(n m) 如图 8.3-1 所示，这是序列的线性移位。
图 8.3-1 序列的线性移位
第8章 离散傅里叶变换及应用
现在为了适应 DFT 的运算，需要重新定义移位的含义：即考虑 DFT 的稳含周期性，
首先需要将 x(n) 延拓为周期序列 xp (n) ，然后右移 m 位得 xp (n m) ，或 x((n m)) N ，

x(t)
ck e jk1t
k
ck
1 T1
t0 T1 x(t)e jk1t dt
t0
ck 为傅里叶级数的系数，一般是频率的复函数，此处 ck 可写作 X (kf1) 。此时变换式写为
X
(kf1
)

1 T1
t0 T1 x(t)e j 2 kf1t dt
t0
（8.1-3）
j 2 nk
X (kf1)e N
k 0
（8.1-9） （8.1-10）
第8章 离散傅里叶变换及应用
式（8.1-10）称为周期序列的傅里叶级数。此式中 e
j 2 N
n
是周期序列的基波分量，e
j
2 N
nk
是
k
次谐波分量。由于因子
j 2 nk
eN
的周期性，即
j 2 n(k N )
j 2 nk
式中
x
(n) N
称为对
x(n)
的模
N
运算。同理，
X
p
(k)
也可表示为
X
p (k)

X
(k) N
X (k) X p (k)GN (k)
第8章 离散傅里叶变换及应用
8.2.2 离散傅里叶变换DFT的定义
设有限长序列 x(n) 的长度为 N(0 n N 1) ，它的离散傅里叶变换 X (k) 仍然是一个长
第8章 离散傅里叶变换及应用
8.3.5 频域圆卷积
若
y(n) x(n)h(n)
则
Y (k)

DFT
y(n)

1 N
N 1 l 0
X (l)H
(k
l) N
GN
(k)
DFT
x(n)

X (k)

以 N 为周 期延拓
xp (n)
DFS


X p (k)
截取主值区 k=0～N-1
图 8.2-2 X (k) 的计算原理
第8章 离散傅里叶变换及应用
DFT 变换式也可以写成矩阵形式
X (0) W 0

X (1)


W
0



X
(N
1)
W
这样离散傅里叶变换 X (k) （DFT）可以看成是离散时间傅里叶变换 X (e j ) （DTFT）的
频率抽样，更准确地说， X (k) 等于频率点 2 k 、 k 0,1, , N 1处 X (e j ) 的离散值。 N
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8.3 离散傅里叶变换的基本性质
第8章离散傅里叶变换及应用852时间抽选算法的基本原理的dft运算按n为偶数和n为奇数分解为两部分nknk偶数奇数在上式中以2r表示偶数n表示奇数n相应的r的取值范围是rkrk第8章离散傅里叶变换及应用必须注意857其中第8章离散傅里叶变换及应用图851点dft分解为两个点dft图852蝶形运算单元第8章离散傅里叶变换及应用图853时分组运算第8章离散傅里叶变换及应用图855点的fft流程图第8章离散傅里叶变换及应用下面介绍fft算法的另外两个重要特点
0
W0 W 11
W 1( N 1)
W 0 x(0)
W ( N 1)1

x(1)



W
(N
1)( N
1)


x(
N
1)
简写为
x(0) W 0

x(1)


1 N
W 0

x(N
1)
W
0
W0 W 11
再从中截取 0 n N 1之序列值 xp (n m)Gn (n) ，图 8.3-2 表示出此移位过程。
图 8.3-2 序列的循环移位
第8章 离散傅里叶变换及应用 在理解了圆周移位的基础上，下面说明 DFT 的时移特性。
若
DFT x(n) X (k)
则
DFT x(n m) W mk X (k)
X ( f ) x(t)e j2 ft dt
（8.1-1）
x(t) X ( f )e j2 ft df
（8.1-2）
图 8.1-1(b)表示为连续时间的周期函数，周期为T1 ，它的频谱是离散的线状频谱，其
中 f1 1 / T1 。根据第三章周期信号的傅里叶级数的理论，其数学表达式为