第15讲 线段的比与黄金分割

线段的比与黄金分割
【知识要点】
1.两条线段的比的概念
1.大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？ 两个数相除又叫两个数的比，如a ÷b 记作
b
a
；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.
2由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？
两条线段的比就是两条线段长度的比.
3对.比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶ 6=1∶2,对吗？
4大家同意他的观点吗？不同意，因为a 、b 的长度单位不一致，所以不对. 5那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？
线段的比定义：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么 就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =n
m
，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项.
如果把
n m 表示成比值k ，则CD
AB =k 或AB =k ·CD . 注意：在量线段时要选用同一个长度单位.
2.求两条线段的比时要注意的问题
（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；
（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 二、熟悉比例线段的概念
1、与比例线段有关的概念 (1)比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

已知四条线段a 、b 、c 、d ,如果
d
c
b a =（或a :b =
c :
d ），那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d 叫做比例外项，线段b 、c 叫做比例内项，线段d 叫做a 、b 、c 第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即
c
b
b a =（或a :b =b :
c ），那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。

⑴项、内项、外项、第四比例项a 、b 、c 、
d 叫做组成比例的项，b 、c 叫做比例内项，a 、d 叫做比例外项，d 叫做a 、b 、c 的第四比例项。

⑵比例中项
若作为比例内项的是两条相同的线段。

即
c
b
b a =或a ：b=b ：
c ，那么线段b 叫做线段a 、c 的比例中项。

（3）“比例线段”和“线段的比”的区别：
结论：线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段之间的关系。

（4）注意：概念的有序性
线段的比有顺序性，a :b 和b :a 通常是不相等的。

比例线段也有顺序性，如d
c
b a =叫做线段a 、b 、
c 、
d 成比例，而不能说成是b 、a 、c 、d 成比例。

第四比例项也有顺序性，如
d
c
b a =中，线段d 叫做a 、b 、
c 的第四比例项，而不能说成“线段
d 叫做b 、a 、c 的第四比例项”。

2．比例的性质：
（1） 比例的基本性质 a :b =b :c ⇔ac b =2
（2） 合比性质 合比性质：如果d c b a =，那么d
d
c b b a ±=±． （3）等比性质 等比性质：如果n m
d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b
a ． 三.黄金分割的定义：
在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果
AC
BC
AB AC =
,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中
AB
AC
≈0.618.
黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C 就是线段AB 的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.
黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等.
黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种应用.
【典型例题】
例1、已知a 、b 、c 、d 是四条线段，它们的长度如下，试判断它们是不是成比例线段？ ⑴a=1mm b=0.8cm c=0.02cm d=4cm ⑵cm a 711= b=0.4cm c=40cm cm d 2
13=
例2 ⑴求2，3，2的第四比例项。

⑵求
3
5
和155的比例中项。

⑶已知y ：（x+2y ）=3：7，求x ：y
例3、已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=2。

求：
BC AB 、AB
AC。

D
A
B C
例4（1）如果
5
3
=-b b a ,那么b a =________.
（2）若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________. （3）若753
z y x
==
,则z
y x z y x -++-=________.
例5（1）若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB =10，2
3
==BQ ΑQ BP AP ，求线段PQ 的长.
（2）若
6
5
432+==+c b a ,且2a －b +3c =21. 试求a ∶b ∶c .
【经典练习】
（1）若8
7
5
c b a ==,且3a －2b +c =3,则2a +4b －3c 的值是（ ） A.14 B.42 C.7
D.
3
14
（2）如图4—1—2，等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC =2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是（ ）cm.（ ）
图4—1—2 A.72.8 B.51 C.36.4
D.28
3．如果
k c
b a d
d b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，试求k 的值。

4．已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你再给出一条线段，使得它的长与面前三条线段长能够组成一个比例式。

5.若m 是2、3、8的第四比例项，则m ＝ ；
6．若x 是a 、b 的比例中项，且a ＝3，b ＝27，则x ＝ ； 若线段x 是线段a 、b 的比例中项，且a ＝3，b ＝27，则x ＝ ； 7．若a:b:c=2:3:7,且a ＋b ＋c =36,则a = ； b = ； c = 。

8如图4—2—1，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项.
图4—2—1
9（1）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）.
（2）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm.
（3）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________. （4）若
d c b a ==3（b +d ≠0），则d
b c a ++=________.。