1.5.1+正弦函数的图象与性质再认识+课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版

1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识
复习导入
右图是我们已经很熟悉的单位圆，我
们用它来定义了任意角的正弦函数、余弦
函数.
但既然是函数，我们就得掌握它的图
象和性质，显然，要研究图象和性质，单
位圆已经不够用了，我们得按照函数的定
义，将角度看成自变量，三角函数值看成
因变量.
今天，我们就进一步来学习正弦函数
够多的值而画出足够多的点
( ， )，将这些点用
光滑的曲线连接起来，可得的
比较精确的函数 =
， ∈ [，]的图象.
新知探索
正弦函数 = 在 ∈ 上的图象：
将函数 = , ∈ , 的图象向左、向右(每次平移个单位长
度)，就可以得到正弦函数 = , ∈ 的图象，正弦函数的图象称
(2)依据诱导公式把角化到属于同一个单调递增(减)区间;
(3)依据三角函数的单调性比较大小后写出结论.
新知探索
思考3：
观察y=sin 在 , 上的图像，你认为哪些点起着关键性作用，
理由是什么？



, −), (, )

(, ), ( , ), (, ), (
在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，
例1 比较下列各组三角函数值的大小：
(1)

−
15
与

−
11
；
解：(1)



如图，∵− < − < − < 0，
2
11
15
且正弦函数 = 在区间

− , 0 上单调递增，
2
∴

−
15
>

−
11
.
18
23
(2)
与
.
7
9
练习
解：(2)
如图，
1ห้องสมุดไป่ตู้
4
[, ]的图象开始.
新知探索
你能用描点法作出正弦函数y=sin 在 0，2π 上的图象吗？
新知探索
思考1：在[, ]上任取一个值 ，如何利用正弦函数的定义，确定正
弦函数值 ，并画出点( , )?
事实上，利用信息技术，可使
在区间[0，2��]上取到足
正弦曲线.
思考2：
请观察正弦函数的图象(如图)，试着说说正弦函数有哪些函数性质.
新知探索
1，定义域：
正弦函数的定义域是.
2，周期性
①从正弦函数的图象(如图)可以看到，当自变量的值增加的整
数倍时，函数值重复出现.即正弦函数是周期函数，它的最小正周期
为.
②同样，也可以从诱导公式 + = ， ∈ 中得到
的图象和性质.
新知探索
我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，
这一现象可以用公式( ± ) = 来表示.这说明，自变量
每增加(减少)，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一
特性，就可以简化正弦函数的图象与性质的研究过程.
下面先研究函数 = ， ∈ 的图象，从画函数 = ， ∈
②描点. , − ,

,

, , − ,

, −

③用光滑的曲线将它们顺次连接起来.
④按周期将其延拓到.
, , − .
练习
函数 = − 的性质：
练习
题型三：正弦函数的周期性与奇偶性
例3 判断下列函数的奇偶性
(1)() = sin( + )
(2)() = 2sin − 1
所以正弦函数是奇函数.
新知探索
6，对称性：
由正弦曲线(如图所示)可知，


其图象的对称中心为 , , ∈ ，对称轴为 = + , ∈ .
新知探索
函数
y=sin x
定义域
R
值域
[-1，1]
周期性
是周期函数，周期为2kπ(k∈Z)，最小正周期为2π
π
2
当 = 2π + ， ∈ 时，取得最大值1
a＝sin ，b＝sin ，c＝sin ，则 a，b，c 的大小关系是( C ).
变1
5
7
6
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C ．b＜c＜a
D．c＜b＜a
（2） 比较sin 194°和 cos 160°的大小
sin 194° > cos 160°
练习
比较两个三角函数值的大小的步骤
(1)依据诱导公式把几个三角函数化为同名函数;
正弦函数的最小正周期为.
③为了研究问题方便，可以任取实数，讨论 = 在区间
, + 的性质，然后延拓到定义域上.
新知探索
3，单调性：
在正弦函数的图象中，选取长度为2π的区间

− , ，观察图，可以看出：




当x由− 增加到 时，sinx的值由−增加到，


①建立平面直角坐标系.横坐标为角度(弧度制)，纵坐标为正弦函数值.
②描点. , ,

, −

, , ,

,

, , .
③用光滑的曲线将它们顺次连接起来.
练习
变2 画出y=sin −1的图象，并讨论它的性质．
①建立平面直角坐标系.横坐标为角度(弧度制)，纵坐标为正弦函数值.
4

= 2 +
= ，
7
7
7
23
5
5

= 2 +
= ，
9
9
9

5
4

∵ < < < ，且正弦函数 = 在区间 ,
2
9
7
2
4
5
18
23
∴ < ，即
<
.
7
9
7
9
上单调递减，
练习
π
π
5π
思考一：已知


当x由 增加到 时，sinx的值由减小到−，




即正弦函数在区间 − , 上单调递增，在区间 ,


上单调递减，
由正弦函数的周期性可知，


正弦函数在每一个区间 − , + , ∈ 上都单调递增，
在每一个区间 +

,



+


练习
例4 求下列函数的最小正周期
(1)() = sin 2
(2)() = sin
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)正弦函数的性质；
(2)五点画图法.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)练习
当正弦函数 = 达到最小值−时， ∈ .
从正弦函数的图象(如图)可以看出，正弦曲线夹在两条平行线 = 和
= −之间，所以正弦函数的值域是 −, .
新知探索
5，奇偶性：
由正弦曲线(如图所示)可知，其图象关于原点对称，
由诱导公式 − = −可知， − = − ，
, ∈ 上都单调递减.
新知探索
4，最大(小)值和值域：
设集合 = = +
= = +




, ∈ ，
, ∈
当 ∈ 时，正弦函数 = 取得最大值1，
当正弦函数 = 达到最大值1时， ∈ ，
当 ∈ 时，正弦函数 = 取得最小值−，
最值
π
2
当 = 2π − ， ∈ 时，取得最小值-1
性质
对称性
π
2
， ∈
π
2
3π
2
， ∈
2π − ，2π +
减区间
2π + ，2π +
单调性
奇偶性
π
2
增区间
奇函数
π
2
对称轴为 = + π， ∈
对称中心为点 π，0 ， ∈
练习
题型一：利用正弦函数的单调性比较大小
函数 = ， ∈ [, ]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，
常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.
这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的.
练习
题型二：用“五点法”画正弦函数的简图
例2
画出y=－sin 在区间 0，2π 上的图象．