三年高考两年模拟高考数学专题汇编 第六章 数列3 文

第三节 等比数列及其前n 项和
A 组 三年高考真题（2016～2014年）
1.(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知等比数列{a n }满足a 1＝1
4，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )
A.2
B.1
C.12
D.1
8
2.(2014·大纲全国，8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A.31 B.32 C.63 D.64
3.(2015·新课标全国Ⅰ，13)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和． 若S n ＝126，则n ＝________.
4.(2015·广东，13)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.
5.(2014·广东，13)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.
6.(2016·新课标全国Ⅲ,17)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1,a 2
n －(2a n ＋1－1)a n －2a n
＋1
＝0.
(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.
7.(2016·北京，15)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝
b 4.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和.
8.(2015·四川，16)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，
a 3成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前n 项和为T n ，求T n .
9.(2014·北京，15)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．
10.(2014·福建，17)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；
(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
B 组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·河北衡水中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝20，a 2＋a 4＝40，则公比q ＝( ) A.1 B.2 C.－2
D.4
2.(2016·烟台诊断)已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.[3，＋∞)
D.(－∞，－1]∪[3，＋∞)
3.(2016·安徽安庆第二次模拟)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，第二起脚痛每天走的
路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人最后一天走的路程为( ) A.24里 B.12里 C.6里
D.3里
4.(2015·河南省焦作市高三统考)已知正项等比数列{a n }满足a 3·a 2n －3＝4n
(n ＞1)，则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＋…＋log 2a 2n －1＝( ) A.n 2
B.(n ＋1)2
C.n (2n －1)
D.(n －1)2
5.(2015·山西省三诊)在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝8.设S 3n 为该数列的前3n 项和，
T n 为数列{a 3n }的前n 项和.若S 3n ＝tT n ，则实数t 的值为( )
A.7
B.9
C.12
D.15
6.(2016·江西八所重点中学一联)已知数列{a n }中，a 1＝a (a ≠1)，{b n }是公比为23的等比数列.
记b n ＝
a n －2a n －1
(n ∈N *)，若不等式a n >a n ＋1对一切n ∈N *
恒成立，则实数a 的取值范围是________. 7.(2016·河南八市重点高中第二次质量检测)数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n ＋a n ＝n 2
＋2n ＋2，n ∈N *
，数列{b n }满足b n ＝a n －n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{nb n }的前n 项和T n .
8.(2015·湖南十二校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *
).
(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列，并写出数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足4b 1－1·4b 2－1·4b 3－1·…
·4b n －1＝(a n ＋1)n
，求数列{b n }的前n 项和
S n .
答案精析
A 组 三年高考真题（2016～2014年）
1.解析 由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 2
4， 所以a 2
4＝4(a 4－1)，解得a 4＝2.
设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3
，得2＝14q 3，解得q ＝2，
所以a 2＝a 1q ＝1
2.选C.
答案 C
2.解析 方法一 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 若q ＝1，则有S n ＝na 1，显然不符合题意，故q ≠1.
由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝a 1（1－q 2）1－q
＝3，
S 4
＝a 1
（1－q 4
）1－q ＝15，
两式相除得1＋q 2
＝5，解得q 2
＝4.
故q ＝2或q ＝－2.
若q ＝2，代入解得a 1＝1，此时S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝1×（1－26）
1－2
＝63.
若q ＝－2，代入解得a 1＝－3，此时S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝（－3）×[1－（－2）6]
1－（－2）
＝63.故选C.
方法二 因为数列{a n }为等比数列，若q ＝1，则有S n ＝na 1，显然不符合题意，故q ≠1. 设其前n 项和为S n ＝Aq n
－A .
由题意可得⎩
⎪⎨⎪⎧S 2＝A ×q 2
－A ＝3S 4＝A ×q 4
－A ＝15，两式相除得1＋q 2
＝5， 解得q 2
＝4，代入解得A ＝1. 故S n ＝q n
－1.
所以S 6＝q 6
－1＝(q 2)3
－1＝43
－1＝63.故选C. 方法三 设等比数列的公比为q .
则S 2＝a 1＋a 2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋q 2
)(a 1＋a 2)＝(1＋q 2
)×3＝15， 解得q 2
＝4.
故S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(1＋q 2
＋q 4
)(a 1＋a 2)＝(1＋4＋42
)×3＝63.故选C. 答案 C
3.解析 由a n ＋1＝2a n 知，数列{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列， 由S n ＝2（1－2n
）1－2＝126，解得n ＝6.
答案 6
4.解析 ∵三个正数a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2
＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1. ∵b 为正数，∴b ＝1. 答案 1
5.解析 由等比数列的性质可知a 1a 5＝a 2a 4＝a 2
3， 于是由a 1a 5＝4得a 3＝2，故a 1a 2a 3a 4a 5＝32，
则log 2 a 1＋log 2 a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 232＝5. 答案 5
6.解 (1)由题意得a 2＝12，a 3＝1
4
.
(2)由a 2
n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1). 因为{a n }的各项都为正数，所以
a n ＋1a n ＝1
2
. 故{a n }是首项为1，公比为1
2的等比数列，
所以a n ＝1
2
n －1.
7.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，
由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2
＝9得⎩
⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝3. ∴{b n }的通项公式b n ＝b 1q n －1
＝3
n －1
，
又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝3
4－1
＝27，
∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.
∴{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1，2，3，…
). (2)设数列{c n }的前n 项和为S n . ∵c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3
n －1
，
∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…
＋c n
＝2×1－1＋30
＋2×2－1＋31
＋2×3－1＋32
＋…
＋2n －1＋3n －1
＝2(1＋2＋…
＋n )－n ＋30
×（1－3n
）1－3
＝2×（n ＋1）n 2－n ＋3n
－12
＝n 2
＋3n
－1
2
.
即数列{c n }的前n 项和为n 2
＋3n
－1
2
.
8.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，
又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，
所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n
.
(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋1
2n ＝
12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝1－1
2
n .
9.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13
＝
12－3
3
＝3.
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…
)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3
＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－12
4－3
＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1
＝2
n －1
，b n ＝3n ＋2
n －1
(n ＝1，2，…
)．
(2)由(1)知b n ＝3n ＋2
n －1
(n ＝1，2，…
)，
数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n
1－2＝2n
－1，
所以数列{b n }的前n 项和为32
n (n ＋1)＋2n
－1.
10.解 (1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝1，
q ＝3.
所以a n ＝3
n －1
.
(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝
n （b 1＋b n ）2
＝
n 2－n
2
.
B 组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.解析 依题意得q ＝a 1q ＋a 3q a 1＋a 3＝a 2＋a 4
a 1＋a 3
＝2，故选B.
答案 B
2.解析 因为a 2＝1＝a 1q ，所以S 3＝a 1＋1＋a 1q 2
＝1q
＋q ＋1，
当q >0时，1q ＋q ≥2，当q <0时，1
q
＋q ≤－2，
所以S 3≥3或S 3≤－1，故选D. 答案 D
3.解析 记每天走的路程里数为{a n }，易知{a n }是公比q ＝1
2
等比数列，
S 6＝378，又S 6＝
a 1⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－12
61－
12
＝378，∴a 1＝192，
∴a 6＝192×1
25＝6.
答案 C
4.解析 ∵a 3·a 2n －3＝4n
，
∴log 2a 1＋log 2a 3＋…
＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 2…
a 2n －1)＝log 2(a 1a 2n －1a 3a 2n －3…
)＝log 2(4n
)n
2＝n 2
.
答案 A
5.解析 ∵q 3
＝a 4a 1＝8，q ＝2，S 3n ＝1－23n 1－2，数列{a 3n }仍为等比数列，公比为q 3
＝8，T n ＝1－8n
1－8
，
∴1－8n －1＝t 1－8
n
－7，t ＝7. 答案 A 6.解析 ∵b n ＝a n －2a n －1(n ∈N *
)，∴a n ＝b n －2b n －1
. 由a n ＋1－a n ＝
b n ＋1－2b n ＋1－1－b n －2b n －1＝1b n －1－1
b n ＋1－1
＝
b n ＋1－b n
（1－b n ＋1）（1－b n ）＝
－13
b n
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1－23b n （1－b n ）<0，
解得b n >3
2
或0<b n <1.
若b n >32，则b 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n －1>32对一切n ∈N *
恒成立，显然不可能；
若0<b n <1，则0<b 1⎝ ⎛⎭
⎪
⎫23n －1
<1对一切n ∈N *
恒成立，只需0<b 1<1即可，
即0<
a 1－2
a 1－1
<1，解得a ＝a 1>2. 答案 (2，＋∞)
7.解 (1)由2S n ＋a n ＝n 2
＋2n ＋2， ① 得2S 1＋a 1＝5，∴a 1＝5
3
，
2S n ＋1＋a n ＋1＝(n ＋1)2
＋2(n ＋1)＋2， ② ②－①得3a n ＋1－a n ＝2n ＋3.
∵b n ＝a n －n ，∴a n ＝b n ＋n ，a n ＋1＝b n ＋1＋n ＋1， ∴3b n ＋1＝b n ，b 1＝a 1－1＝2
3
.
∴{b n }是以23为首项，1
3为公比的等比数列.
∴b n ＝2
3
n .
(2)由(1)得b n ＝23n ，∴nb n ＝2n
3
n ，
∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋232＋3
3
3＋…＋n 3n ，
∴13T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋233＋3
3
4＋…＋n －13n ＋n 3n ＋1，
两式相减得23T n ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫13＋132＋1
33＋…＋13n －n 3n ＋1
＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1－13n
1－13－n 3n ＋1
＝1－2n ＋33n ＋1
， ∴T n ＝32⎝
⎛⎭⎪⎫
1－2n ＋33n ＋1.
8.(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2≠0，a n ＋1≠0， ∴
a n ＋1＋1
a n ＋1
＝2， ∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列. ∴a n ＋1＝2n ，a n ＝2n
－1.
(2)解 ∵4b 1－1·4b 2－1·4b 3－1·…
·4b n －1＝(a n ＋1)n
， ∴4b 1＋b 2＋b 3＋…
＋b n －n ＝2n 2
， ∴2(b 1＋b 2＋b 3＋…
＋b n )－2n ＝n 2
， 即2(b 1＋b 2＋b 3＋…
＋b n )＝n 2
＋2n ，
∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…
＋b n ＝12n 2＋n .。