2018高考天津卷理科数学真题与答案解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕
数学〔理工类〕
本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150 分，考试用时 120 分钟。

第一卷 1 至 2 页，第二卷 3 至 5 页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在
规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！
第I 卷
考前须知：
1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

参考公式：
如果事件 A，B互斥，那么P( AB) P( A) P(B) .
如果事件 A，B 相互独立，那么P( AB)P( A) P(B) .
棱柱的体积公式V Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高 .
1
棱锥的体积公式 VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h 表示棱
3
锥的高 .
一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求
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的.
(1) 设全集为 R，集合A { x 0x 2} ， B{ x x1} ，那么A I (e R B)
(A){ x 0x1}(B){ x 0x1}
(C){ x 1x2}(D) { x 0x2}
x y5,
(2) 设变量x，y满足约束条件2x y4,那么目标函数
z3x 5y 的最大
x y1,
y0,
值为
(A)6(B)19(C) 21
(D)45
(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，假设输入 N的值为20，那么输出 T 的值为
(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4
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(4) 设x R ，那么“| x1 | 1〞是“x31〞的
2 2
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(5) a log 2 e ， b ln 2 ， c log 11
，那么 a，b，c 的大小关系为
23
(A) a b c(B) b a c(C) c b a
(D) c a b
(6) 将函数ysin(2x) 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应
510
的函数
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(A) 在区间[
3
, 5
] 上单调递增 (B) 在区间[3
, ]上单调
4 4
4
递减
(C) 在区间[
5
, 3
] 上单调递增 (D) 在区间[3
, 2
]上单
4 2
2
调递减
(7) 双曲线
x 2
y 21( a
0, b
0) 的离心率为
2 ，过右焦点且垂直于
a 2
b 2
x 轴的直线与双曲线交于
A ，
B 两点.设 A ，B 到双曲线同一条渐近
线的距离分别为 d 1和 d 2，且 d 1 d 2 6 ，那么双曲线的方程
为
(A)
x 2
y 2 1 (B) x 2
y 2
1
4 12
12
4
(C)
x 2 y 2 1
(D) x 2
y 2 1
3 9
9
3
(8) 如图，在平面四边形ABCD 中，AB
BC ，AD CD ， BAD
120
，
AB AD 1 .
uuur uur
假设点 E 为边 CD 上的动点，那
么AE BE 的最小值为
(A)
21 (B)
3
(C)
25
(D) 3
16
2
16
第二卷
考前须知：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

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2. 本卷共 12 小题，共 110 分。

二. 填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

(9) i
是虚数单位，复数
6
7i .
1 2i
(10) 在 ( x
1 )5的展开式中，x 2的系数为 .
2 x
(11) 正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1
的棱长为 1，除面ABCD 外，该正方
体其余各面的中心分别为点E ，F ， G ， H ，M (如图)，那么四棱锥
M
EFGH 的体积为.
x
1
2
t ,
(12) 圆 x
2
y
2
2x 0 的圆心为 ，直线
2 (
为参数)与
C
2 t t y 3
2
该圆相交于 A ，B 两点，那么△ABC 的面积为
.
(13) a , b R ，且a 3b 6 0
，那么 2a 1
b 的最小值为 .
8
(14) a 0 ，函数f ( x)
x 2 2ax a, x 0,
假设关于 x 的方程f ( x)
ax
x 2 2ax 2a, x 0.
恰有 2 个互异的实数解，那么 a 的取值范围是
.
三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解容许写出文字说明， 证明
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过程或演算步骤 .
〔15〕〔本小题总分值13 分〕
在△ABC 中，内角A， B， C 所对的边分别为a，b， c.
bsin A a cos(B
.
) 6
〔I 〕求角B的大小；
〔II 〕设a=2，c=3，求b和sin(2 A B) 的值.
(16)( 本小题总分值 13 分 )
某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现
采用分层抽样的方法从中抽取7 人，进展睡眠时间的调查.
（I〕应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（I I 〕假设抽出的 7 人中有 4 人睡眠缺乏， 3 人睡眠充足，现从这 7人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.
〔i 〕用X表示抽取的 3 人中睡眠缺乏的员工人数，求随机变量X
的分布列与数学期望；
（i i 〕设A为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠缺乏的员工〞，求事件 A 发生的概率.
(17)( 本小题总分值 13 分)
如图，
AD∥BC 且 AD=2BC，
AD CD
,
EG∥ AD
且 EG=AD，且
CD∥FG
CD=2FG，DG平面 ABCD ，DA=DC=DG=2.
（I〕假设M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；
（I I 〕求二面角E BC F的正弦值；
（I II 〕假设点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角
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为 60°，求线段DP的长 .
(18) ( 本小题总分值 13 分 )
设{
a n
}
是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n(n N )，{b n}是
等差数列 .a11， a3a2 2 ， a4b3b5， a5b42b6.〔I 〕求{ a n}和{b n}的通项公式；
〔II 〕设数列{ S n}的前 n 项和为T n(n N )，
〔i 〕求T n；
n (T k b k 2 )b k2n 2
〔ii 〕证明
1 ( k1)(k 2)2( n N ) .
k n 2
(19)( 本小题总分值 14 分 )
设椭圆 x2x21(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.椭圆的a2b2
离心率为5
，点 A 的坐标为(b,0)，且FB AB 6 2. 3
〔I 〕求椭圆的方程；
〔II 〕设直线l：ykx(k 0) 与椭圆在第一象限的交点为P，且 l 与直线 AB交于点 Q.
假设
AQ
5 2
sin AOQ (O为原点)，求k的值. PQ4
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(20)( 本小题总分值 14 分 )
函数 f (x) a x， g( x) log a x ，其中a>1.
〔I 〕求函数h(x) f ( x) xln a 的单调区间；
〔II 〕假设曲线y f ( x) 在点(x1, f ( x1))处的切线与曲线y g( x) 在点(x2 , g(x2 )) 处的切线平行，证明x1g ( x2)2ln ln a ；
ln a
1
〔III 〕证明当a e e时，存在直线l，使l是曲线 y f ( x) 的切线，也是曲线 y g( x) 的切线.
参考答案：
一、选择题：此题考察根本知识和根本运算．每题 5 分，总分值 40
分．
〔1〕B
〔2〕C
〔3〕B
〔4〕A
〔5〕D
〔6〕A
〔7〕C
〔8〕A
二、填空题：此题考察根本知识和根本运算．每题 5 分，总分值 30
分．
〔9〕4–i
〔10〕5
〔11〕
1
2
12
〔12〕
1
〔13〕
1
〔14〕 (4 ，8)
2 4
三、解答题
（ 15〕本小题主要考察同角三角函数的根本关系， 两角差的正弦与余
弦公式，二倍角的正弦与余弦公式， 以及正弦定理、余弦定理等
根底知识，考察运算求解能力．总分值
13 分．
〔Ⅰ〕解：在△ ABC 中，由正弦定理
a
b
，可得 bsin A a sin B ，
sin A sin B
又由 b sin A a cos(B
π
，得 a sin B
a cos(B π ，即 sin B cos( B π
，可得 )
) )
6
6 6 tan B
3 ．又因为 B
(0 ，π) ，可得
B =π
．
3
〔Ⅱ〕解：在△ ABC 中，由余弦定理及
a =2， c =3， B =π
，有
3
b 2
a 2 c 2
2 accos B 7
7
．
，故 b =
由 b sin A
a cos(B
π ，可得 sin A
3
．因为 a <c ，故cos A 2
．因此
) 7 7
6
sin 2 A 2sin A cos A
4 3
， cos2 A 2cos 2 A 1
1 ．
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所以， sin(2 A B) sin 2 A cos B cos2 Asin B 4 3113 3 3．
727214
（16〕本小题主要考察随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等根底知识．考察运用概率知识解
决简单实际问题的能力．总分值13 分．
〔Ⅰ〕解：由，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人， 2 人， 2 人．
〔Ⅱ〕〔 i 〕解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．
C k4 C33k
P〔X=k〕=C37〔k=0，1，2，3〕．
所以，随机变量X的分布列为
X 0123
P112184
35353535
随机变量 X 的数学期望E( X )011122183412．
353535357（i i 〕解：设事件B为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠缺乏的员工有 2 人〞；事件C为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠缺乏的员工有 1 人〞，那么A=B∪C，且B与C
互斥，由〔 i 〕知，P( B)= P( X=2) ，P( C)= P( X=1) ，故P( A)= P( B∪
C)= P( X=2)+ P( X=1)=67．
所以，事件 A 发生的概率为67．
（17〕本小题主要考察直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等根底知识．考察用空间向量解决立体几何问题的方法．考察
空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．总分值13 分．
依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA，DC，DG的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系〔如图〕，可得D〔0，0，0〕，A 〔2，0，0〕，B〔1，2，0〕，C〔0，2，0〕，E〔2，0，
2〕，F〔 0，1，2〕，G〔0，0，2〕，M〔0，3，1〕，N〔 1，0，
2
2〕．
〔Ⅰ〕证明：依题意 DC =〔0，2，0〕，DE =〔2，0，2〕．设n0=(x，
n0DC0，2y0 ，
y，z)为平面 CDE的法向量，那么
n0DE0，即
2x2z0，不妨令 z=
–1，可得n =〔1，0，–1〕．又MN =〔1，3，1〕，可得MN n
00，
2
又因为直线 MN 平面 CDE，所以 MN∥平面 CDE．
〔Ⅱ〕解：依题意，可得 BC =〔–1，0，0〕， BE(1， 2，2) ， CF =〔0，– 1，2〕．
，x，
n BC
设 n=〔x，y，z〕为平面 BCE的法向量，
那么即x 2 y，
n BE， 2 z 0
不妨令 z=1，可得 n=〔0，1，1〕．
设 m=〔x，y，z〕为平面 BCF的法向量，
，x，
m BC即0
y
，m BF
， 2 z 0
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因此有 cos<m，n>= m n 3 10，于是 sin< m，n>= 10．
| m || n |1010
所以，二面角 E–BC–F 的正弦值为10 ．
10
〔Ⅲ〕解：设线段DP的长为 h〔h∈［0，2］〕，那么点 P 的坐标为〔 0，0，h〕，可得BP( 1， 2， h) ．
易知， DC =〔0，2，0〕为平面ADGE的一个法向量，故
BP DC2
cos BP DC
h 2，
BP DC5
由题意，可得2=sin60 °= 3，解得h=3∈［ 0，2］．
2
5
h23
所以线段 DP 的长为3 .
3
〔18〕本小题主要考察等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前 n 项和公式等根底知识.考察等差数列求和的根本方法和运算求
解能力 . 总分值 13 分.
〔 I 〕解：设等比数列{ a n } 的公比为q. 由a11,a3a22, 可得
q2q 20 .
因为 q0 ，可得 q 2 ，故 a n2n 1 .
设等差数列 { b n } 的公差为d，由 a4b3 b5，可得 b1 3d 4. 由a5 b42b6，
可得 3b113d 16, 从而 b1 1,d1,故 b n n.
所以数列 { a n } 的通项公式为 a n2n 1，数列 { b n } 的通项公式为 b n n.
〔II 〕〔i 〕由〔 I 〕，有S n 1
2n2n1，故
12
n n n
T n(2 k1)2k n2(12)n 2n 1n 2 .
k 1k 1 1 2
〔ii 〕证明：因为
(T k +b k+ 2 )b k(2 k 1k 2 k 2) k k 2k 12k 22k 1，(k 1)(k 2)(k1)(k2)(k1)(k 2)k2k 1
所以，n (T
k b k 2 )b k(2322)( 2423)( 2n22n 1)2n 2 2 . k 1 (k 1)(k2)3243n 2 n 1n 2
（19〕本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等根底知识．考察用代数方法研究圆锥曲线的性质．考察运算求解能力，
以及用方程思想解决问题的能力．总分值14 分．
2
〔Ⅰ〕解：设椭圆的焦距为2c，由知c25 ，又由a2=b2+c2，
a9
可得 2a=3b．由可得，FB a ， AB2b ，由 FB AB 6 2 ，可得ab=6，从而 a=3，b=2．
所以，椭圆的方程为x
2
y2 1 ．94
〔Ⅱ〕解：设点 P 的坐标为〔x1，y1〕，点 Q的坐标为〔x2，y2〕．由有 y1>y2>0，故PQ sin AOQ y
1
y2．又因为 AQ y2，而∠
OAB
sin
OAB=πAQ 5 2
sin
AOQ，可得 5y
1=9y2．
4，故
AQ 2 y2 ．由
PQ4
y kx ，
消去 x，可得y16k．易知直线 AB的方程
由方程组 x2y2
2
941，9 k4
y kx ，
为x+y–2=0，由方程组x y 2 0，
消去 x，可得y2
2k．由 5y
1=9y2，可得 5〔k+1〕=3 9k2 4 ，两边k 1
平方，整理得 56k250k 11 0 ，解得 k1，或 k11 ．
228
所以，k的值为1或11．
228
（20〕本小题主要考察导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等根底知识和方法. 考察函数与方程
思想、化归思想 . 考察抽象概括能力、综合分析问题和解决问题
的能力 . 总分值 14 分.
〔I 〕解：由，h( x)a x x ln a ，有 h ( x) a x ln a ln a .
令h ( x) 0 ，解得x=0.
由 a>1，可知当 x 变化时，h (x)，h(x)的变化情况如下表：
x( ,0)0(0,)
h (x)0+
h(x)极小值
所以函数 h(x) 的单调递减区间 ( ,0) ，单调递增区间为 (0,) .
〔II 〕证明：由f ( x) a x ln a，可得曲线y f ( x) 在点 ( x1 , f ( x1)) 处的切线斜率为 a x1ln a .
由 g (x)1，可得曲线 y g ( x) 在点 ( x2 , g( x2 )) 处的切线斜率为x ln a
1.
x2 ln a
因为这两条切线平行，故有 a x1 ln a1，即 x2a x1 (ln a)2 1 .
x2 ln a
两边取以 a为底的对数，得 log a x2x12log 2 ln a 0，所以
x1 g( x2 )2ln ln a .
ln a
〔 III〕证明：曲线 y f (x)在点 ( x1a,x1)处的切线l1：ya x1a x1 ln a (x x1) .
曲线 y g (x) 在点 (x2 ,log a x2 ) 处的切线l2：y log a x21( x x2 ) .
x2ln a
1
要证明当 a e e时，存在直线l，使l是曲线 y f (x) 的切线，也是
1
曲线 y g( x) 的切线，只需证明当 a e e时，存在 x1( ,) ，x2 (0,) ，使得l1和l2重合.
1
a x1 ln a1①
即只需证明当 a e e时，方程组x2 ln a有解，
1
a x1x1a x1 ln a log a x2②
ln a
由①得 x21 2 ，代入②，得a x1x1ln a12ln ln a x x1a x1
ln a 0 .
a 1 (ln a )ln a ③
1
因此，只需证明当 a e e时，关于x1的方程③有实数解.
a x xa x ln a x 1 2ln ln a
，即要证明当 a1
设函数 u( x)e e时，函
ln a ln a
数y u( x) 存在零点.
u ( x) 1(ln a)2 xa x，可知 x(,0) 时，u (x)0 ；x (0, ) 时，u ( x) 单
调递减，又
11
u (0) 10 ，u1(ln a )2
a0 ，故存在唯一的x，且x>0，使(ln a)200
得 u ( x0 )0 ，即
1 (ln a)
2 x0 a x00 .
由此可得 u(x)在 (, x0 ) 上单调递增，在 (x0 ,) 上单调递减.u( x) 在x x0处取得极大值 u( x0 ) .
因为 a 1
e e，故 ln(ln a)1，
所以
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范文 范例 指导学习
u( x 0 )
a x 0
x 0 a x 0 ln a x 0
1 2ln ln a 1
x 0 2ln ln a
2 2ln ln a
ln a
ln a
x 0 (ln a) 2
ln a
ln a
.
下面证明存在实数 t ，使得u(t) 0 .
由〔 I 〕可得a x 1 x ln a ， 当 x
1 时，
ln a
有
u( x)
(1 x ln a)(1 x ln a)
x
1 2ln ln a (ln a)
2 x 2
x 1
1
2ln ln a
ln a ln a
ln a
ln a
，
所以存在实数 t ，使得u(t)
1
0.
因此，当 a e e 时，存在 x 1
(
,
) ，使得 u( x 1 )
1
所以，当 a e e 时，存在直线
l ，使l 是曲线 y f ( x) 的切线，也是曲
线 y g( x) 的切线.#
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