高中数学第三章不等式4简单线性规划第3课时简单线性规划的应用学案(含解析)北师大版必修5

第3课时简单线性规划的应用
Q
情景引入
ing jing yin ru
近20年来，中国的城市化取得了巨大的成就．城市人口急剧增加，导致购房者大大增长．与装修有关的各个行业发展迅速．某家具加工厂为了满足人们的需求，准备加工书桌和书橱出售．家具厂现有方木90 m2，五合板600 m2.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m2，五合板2 m2，生产书橱每个需要方木0.2 m2，五合板1 m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．怎样安排生产可使利润最大？要解决这个问题就要用到线性规划，下面让我们来研究一下线性规划问题．
X
新知导学
in zhi dao xue
1．解线性规划应用题的步骤：
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．
求解过程：
①作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.
②平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．
③求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
(3)作答——就应用题提出的问题作出回答．
2．线性规划解决的常见问题有：物资调配问题、产品安排问题、合理下料问题、产品配方问题、方案设计问题等．
Y
预习自测u xi zi ce
1．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( D )
A ．12万元
B ．20万元
C ．25万元
D ．27万元
[解析] 设生产甲产品x 吨，乙产品y 吨时，则获得的利润为z ＝5x ＋3y
.
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0
y ≥0
3x ＋y ≤13
2x ＋3y ≤18
，
可行域如图阴影所示．
由图可知当x 、y 在A 点取值时，
z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4， z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．
2．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元，若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，既满足营养，又使费用最省，则需要甲、乙两种原料分别为( A )
A ．28 g,30 g
B ．30 g,28 g
C ．2.8 g,3 g
D ．3 g,2.8 g
[解析] 设甲、乙两种原料分别用10x 克，10y 克，则有⎩⎪⎨⎪⎧
5x ＋7y ≥35，
10x ＋4y ≥40，
x ≥0，
y ≥0，目标函
数z ＝3x ＋2y ，
作出可行域如图，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，平移直线l 0，当l 0过点A 时z 最小，又由
⎩
⎪⎨
⎪⎧
5x ＋7y ＝35，10x ＋4y ＝40，得
A
(14
5
，3)．
所以用甲：14
5
×10＝28克，乙：3×10＝30克．
3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( B )
A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
[解析] 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤7010x ＋6y ≤480x ≥0y ≥0
，
甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y . 画出可行域如图所示．
点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图像知在点M (15,55)处z 取得最大值．
4．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩年种植成本/亩每吨售价
黄瓜4吨 1.2万元0.55万元
韭菜6吨0.9万元0.3万元
为使一年的种植的总利润最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为30亩、20亩.
[解析] 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩、y亩，
则总利润z＝(4×0.55－1.2)x＋(6×0.3－0.9)y＝x＋0.9y，此时x，y满足条件⎩⎪
⎨
⎪⎧x＋y≤50
1.2x＋0.9y≤54
x≥0
y≥0
，即
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＋y≤50，
4x＋3y≤180，
x≥0，
y≥0，
画出可行域如图中阴影部分所求，易得点A(0,50)，B(30,20)，C(45,0)．易得最优解为(30,20)，即黄瓜和韭菜的种植面积分别为30亩、20亩．
5．铁矿石A和B的含铁率为a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c，如下表：
a b(万吨)c( 百万元)
A 50%1 3
B 70%0.5 6
2万吨)，则购买铁矿石的最少费用为15(百万元)．
[解析] 设购买A，B两种矿石分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则z＝3x＋6y.
由题意可得约束条件为
⎩⎪
⎨
⎪⎧
1
2
x＋
7
10
y≥1.9
x＋
1
2
y≤2
x≥0
y≥0
，
作出可行域如图所示，由图可知，目标函数z＝3x＋6y在点A(1,2)处取得最小值，z min＝
3×1＋6×2＝
15.
H 互动探究解疑
u dong tan jiu jie yi
命题方向1 ⇨收益最大问题(利润、收入、产量等)
例题1 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料．生
产甲产品1工时需要A 种原料3 kg ，B 种原料1 kg ；生产乙产品1工时需要A 种原料2 kg ，
B 种原料2 kg.现有A 种原料1 200 kg ，B 种原料800 kg.如果生产甲产品每工时的平均利润
是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？
[解析] 依题意可列表如下：
产品
原料A 数量(kg)
原料B 数量(kg)
利润(元) 生产甲种产品1工时 3 1 30 生产乙种产品1工时
2 2 40 限额数量
1 200
800
y .①
其中x 、y 满足下列条件 ⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋2y ≤1 200x ＋2y ≤800x ≥0y ≥0
②
于是问题转化为，在x 、y 满足条件②的情况下，求t ＝30x ＋40y 的最大值． 画出不等式组②表示的平面区域OABC 如图．
问题又可以转化为，在不等式组②表示的平面区域内找一点，把它的坐标代入式子30x ＋40y 时，使该式取最大值．
令30x ＋40y ＝0，则此方程表示通过原点的一条直线，记为l 0.易知，在区域OABC 内有30x ＋40y ≥0.考察这个区域内任意一点P (x ，y )到l 0的距离
d ＝
|30x ＋40y |302＋40
2
＝30x ＋40y
50，于是30x ＋40y ＝50d ， 这就是说，点P (x ，y )到直线l 0的距离d 越大，式子30x ＋40y 的值也越大．因此，问题就转化为：在不等式组②表示的平面区域内，找与直线l 0距离最大的点．
为了在区域OABC 内精确地找到这一点，我们平移直线l 0到位置l ，使l 通过平面区域OABC ，可见当l 经过点B 时，l 与l 0的距离最大，∴d 最大．
解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x ＋2y ＝1 200
x ＋2y ＝800，
得点B 的坐标(200,300)，代入式子①，得
t max ＝30×200＋40×300＝18 000.
答：用200工时生产甲种产品，用300工时生产乙种产品，能获得最大利润18 000元．
『规律总结』 解答线性规划应用题应注意以下几点：
(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要． (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断．
(3)结合实际问题，分析未知数x 、y 等是否有限制，如x 、y 为正整数、非负数等． (4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式．
(5)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范．但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解．
〔跟踪练习1〕
某厂计划生产甲、乙两种产品，甲产品售价50千元/件，乙产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A 、B 两种原料，生产甲产品需要A 种原料4 t/件，B 种原料2 t/件，生产乙
产品需要A 种原料3 t/件，B 种原料1 t/件，该厂能获得A 种原料120 t ，B 种原料50 t ．问生产甲、乙两种产品各多少件时，能使销售总收入最大？最大总收入为多少？
[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x 件、y 件，总产值为z 千元，则
⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋3y ≤120
2x ＋y ≤50x ≥0y ≥0
，z ＝50x ＋30y .
画出不等式组表示的平面区域即可行域如图．
易知直线z ＝50x ＋30y 过点(15,20)时，取得最大值．
z max ＝50×15＋30×20＝1 350.
答：生产甲、乙两种产品分别为15件、20件，总收入最大是1 350千元．
命题方向2 ⇨耗费资源(人力、物力、资金等)最少问题
例题2 某公司的仓库A 存有货物12 t ，仓库B 存有货物8 t ．现按7 t 、8 t 和
5 t 把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元、从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．则应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？
[解析] 设仓库A 运给甲、乙商店的货物分别为x t 、y t. 则仓库A 运给丙商店的货物为(12－x －y )t.
仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x )t ，(8－y )t ，[5－(12－x －y )]t ， 总运费为z ＝8x ＋6y ＋9(12－x －y )＋3(7－x )＋4(8－y )＋5(x ＋y －7)＝x －2y ＋126，
约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
12－x －y ≥0
7－x ≥08－y ≥0
x ＋y －7≥0
x ≥0y ≥0
，即⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤70≤y ≤8x ＋y ≥7
x ＋y ≤12
，
作出可行域，如图所示．
作直线l ：x －2y ＝0，把直线l 平行移动， 当直线过A (0,8)时，z ＝x －2y ＋126取得最小值，
z min ＝0－2×8＋126＝110，
即x ＝0，y ＝8时，总运费最少．
即仓库A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为0 t 、8 t 、4 t ，仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为7 t 、0 t 、1 t ，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．
〔跟踪练习2〕
某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( C )
A ．31 200元
B ．36 000元
C ．36 800元
D ．38 400元
[解析] 本题考查不等式的简单应用，线性规划中的最优解问题． 设需A 型车x 辆，B 型车y 辆，则
⎩⎪⎨⎪⎧
y －x ≤7
x ＋y ≤21
36x ＋60y ≥900x ，y ∈N
＋
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
y －x ≤7
x ＋y ≤213x ＋5y ≥75x ，y ∈N
＋
由目标函数z ＝1 600x ＋2 400y ，得y ＝－23x ＋z 2 400，z
2 400表示直线在y 轴上的截距，
要z 最小，则直线在y 轴上的截距最小，画了可行域(如图)，
平移直l ：y ＝－
2
3x 到l 0过点A (5,12)时，z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800.故选C ．
平移直线l 时，不要找错最优解．
命题方向3 ⇨线性规划中的整点问题
例题3 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时
截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型 A 规格
B 规格
C 规格
第一种钢板 2 1 1 第二种钢板
1
2
3
今需要A 、B 、需三种规格的成品，且使所用钢板张数最少．
[解析] 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张．
可得⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ≥15
x ＋2y ≥18x ＋3y ≥27
x ≥0，y ≥0
，且x 、y 都是整数，
求目标函数z ＝x ＋y 取最小值时的x ，y . 作出可行域如图所示：
平移直线z ＝x ＋y 可知直线经过点(185，395)时，z 取最小值．此时x ＋y ＝575，但185与395
都
不是整数，所以可行域内点(185，39
5
)不是最优解．如何求整点最优解呢？
法一：平移求解法：
首先在可行域内打网格，其次找出A (185，39
5)附近的所有整点，接着平移直线l ：x ＋y ＝
0，会发现当移至B (3,9)，C (4,8)时，直线与原点的距离最近，即z 的最小值为12.
法二：特值验证法：
由法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点A 0(0,15)，A 1(1,13)，A 2(2,11)，A 3(3,9)，A 4(4,8)，A 5(5,8)，A 6(6,7)，A 7(7,7)，
A 8(8,7)，A 9(9,6)，A 10(10,6)，…A 27(27,0)．
将这些点的坐标分别代入z ＝x ＋y ，求出各个对应值，经验证可知，在整点A 3(3,9)和A 4(4,8)处z 取得最小值．
法三：调整优值法：
由非整点最优解(185，395)知，z ＝57
5
，
∴z ≥12，令x ＋y ＝12，则y ＝12－x 代入约束条件整理，得3≤x ≤9
2，
∴x ＝3，x ＝4，这时最优整点为(3,9)和(4,8)．
『规律总结』 可行域内最优解为整点的问题的处理
用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精确度要求较高，平行直线系f (x ，y )＝t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准．那么如何解决这一实际问题呢？
确定最优整数解常按以下思路进行：
(1)若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解(在包括边界的情况下)． (2)若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l 、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解．这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．
(3)采用优值调整法，此法的一般步骤为： ①先求出非整点最优解及其相应的最优值． ②调整最优值，代入约束条件，解不等式组． ③根据不等式组的解筛选出整点最优解． 〔跟踪练习3〕
某公司计划在今年内同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以
使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资金
单位产品所需资金(百元)
电子琴(架)洗衣机(台)月资金供应量(百元) 成本3020300 劳动力(工资)510110
单位利润68
[解析] 设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台，总利润为z百元，
则根据题意，有
⎩⎪
⎨
⎪⎧x≥0，
y≥0，
30x＋20y≤300，
5x＋10y≥110，
x，y∈N，
且z＝6x＋8y，
作出以上不等式组所表示的平面区域，如图中所示的阴影部分
令z＝0，作直线l：6x＋8y＝0，即3x＋4y＝0.
当移动直线l过图中的A点时，z＝6x＋8y取得最大值．
解方程组
⎩⎪
⎨
⎪⎧30x＋20y＝300，
5x＋10y＝110，
得A(4,9)，
代入z＝6x＋8y得z max＝6×4＋8×9＝96.
所以当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，公司可获得最大利润，最大利润是96百元．Y
易混易错警示
i hun yi cuo jing shi
例题4 已知一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根在－2与－1之间，另一个根在1与2之间，使用图表示以a，b为坐标的点(a，b)的存在范围．并求a＋b的取值范围．
[误解] 令f (x )＝x 2
＋ax ＋b .由题设⎩⎪⎨⎪⎧
f －2＞0
f
－1＜0f
1＜0f
2＞0
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a －b －4＜0
a －
b －1＞0
a ＋
b ＋1＜0
2a ＋b ＋4＞0
，
作出平面区域如图．
令t ＝a ＋b ，则t 是直线b ＝－a ＋t 的纵截距，显然当直线b ＝－a ＋t 与直线a ＋b ＋1＝0重合时，t 最大，t max ＝－1.
当直线b ＝－a ＋t 经过点(0，－4)时．t 最小，∴t min ＝－4，∴－4≤t ≤－1. [辨析] 误解中忽视了点(a ，b )的存在范围不包含边界． [正解] 令f (x )＝x 2
＋ax ＋b .由题设
⎩⎪⎨⎪⎧
f
－2＞0f －1＜0f 1＜0f
2＞0
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a －b －4＜0a －b －1＞0a ＋b ＋1＜02a ＋b ＋4＞0
，
作出平面区域如图．
令t＝a＋b，则t是直线b＝－a＋t的纵截距，显然当直线b＝－a＋t与直线a＋b＋1＝0重合时，
t最大，t max＝－1.
当直线b＝－a＋t经过点(0，－4)时．t最小，
∴t min＝－4，
又∵点(a，b)的范围是如图阴影部分且不含边界，
∴－4<t<－1.即－4<a＋b<－1.
B
本节思维导图
ei jie si wei dao tu
线性规划的应用
⎩⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎧转化—设出未知数，写出约束条件与目标
函数，将实际应用问题转化为数学
上的线性规划问题
↓
求解—解这个线性规划问题
↓
作答—根据应用题提出的问题作答。