等差数列前n项和教案及说明

等差数列前n项和

一、教材分析

•教学内容

《等差数列前n项和》现行职业高中教材第五章第三节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。

•地位与作用

本节对“等差数列前n项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法一一倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。

二、目标分析

1、教学目标

依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：•知识技能

(1) 掌握等差数列前n项和公式；

(2) 掌握等差数列前n项和公式的推导过程；

(3) 会简单运用等差数列的前n项和公式。

•数学思考

(1) 通过对等差数列前n项和公式的推导过程，渗透倒序相加求和的数学方法；

(2) 通过公式的运用体会方程的思想；

(3) 通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。

•解决问题

创设由探索1+2+3+……+100的和，推广到探索一般的等差数列前n项和s n = a1■ a2■ a3■ ■ a n的求和公式的情景,使学生进一步体会从特殊到一般的数学研究方法，并使学生在反馈练习的过程中，进一步提高问题解决的能力。

•情感态度

结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。

2、教学重点、难点

•重点

等差数列前n项和公式的推导和应用。

•难点

等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。

•重、难点解决的方法策略

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略•利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

三、教学模式与教法、学法

本课采用“探究一一发现”教学模式。教师的教

法突出活动的组织设计与方法的引导。学生的学

法突出探究、发现与交流。

四、教学过程

教学

环节

教师活动学生活动

创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片

泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵

寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝

新课引入石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出

这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算

1+2+3+ …..+100= ?

现实模型:

模型直观，

用实际生

活引入课。

①图片欣赏

②生活实例

探索公式

首先认识一位伟大的数学家一一高斯，然后

提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+…..+1

00?

设等差数列｛a n｝前n项和为S n,则

S n 二a1 - a? •…-a n」-a n

问题1

老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n项和

公式？

(1) n为偶数时：

S二a 亠亠a a 亠亠a

n a1 a n a n “a n

——：1

2 2

岂二；佝3n)

(2) n为奇数时：

S n 二印…• a n —• a n「a n 1• a n

——1 -1

2 2 2

学生：1+100=101 ,

2+99=101 ,…..50+51=101，所以原

式=50 (1 + 101) =5050

学生：将首末两项配对，第二项与

倒数第二项配对，以此类推，每一

对的和都相等，并且都等于a1 a n。

学生：不一定，需要对n取值的奇

偶进行讨论。

当n为偶数时刚好配对成功。

当n为奇数时，中间的一项

a n1落单了。

2

高斯求和

众所周知，

学生能快

速解答。

这里用

到了等差

数列脚标

和性质从

高斯算法

出发，对n

进行讨论

寻找求和

公

老师：n 一

S n (a i a n ) ' a n -i

2

2

a n单+ a n

半n -1 - 2 2

= ---- (a i + a n) +--------------

2 2

-2 ( a i a n )

同过对n取值的讨论，得到了前n项和求和公

式：S_n（a i a n）

2

但是对n讨论麻烦了，能否有更好的方法求前n

项和公式呢？接下来给出实际问题：个堆放铅笔的V形架

的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多

放一支，最上面一层放i00支•这个V形架上共放着多少支

铅笔？？问题2：如何用倒置的思想求等差数列前呢？

方法一：

S n

S n

两式相加得: 方法

理:

n项和a i a2a n -i a n

a n a n_i - ■-

2S n

S n

同样利用倒序相加求和法,

a2二n(a i a n)

n / 、

=2(a i a n)

教材做了如下处

S n 二a i (a i d) ... [a i (n-1)d]

4 i 4 S n 二a「(a n

两式相加得: a i

-d) +•••+&-( n-i)d]

2S n 二n(a i a n)

公式i：S n (a i

引导学生带入等差数列的通项公式，换掉整理得到公式2。

公式2：S n = na t d

2

（可能部分学生在此会遇到困

难，老师做适当的引导。）学

生：观察a n d的脚标与

_2_

a i a n脚标的关系，即:

a n -i

a n -i a n[：；1

一2 2

= 2

_ ai - a n

=2

学生观察图片演示，不难

发现用倒置的思想来解决此问

题。

（由上一问题的解决，学生容

易想到倒序相加求和法。）

学生：利用倒序相加求和法。

将S n中的每一项用等差

数列的通项公式进行巧妙的改

写，在倒序相加求和时，每一

组中的d都被正负抵消了。

学生类比方法一与方法二的

联系与区别。

想到。

倒序相

加求和

法是重

要的数

学思想，

为以后

数列求

和的学

习做好

了铺垫。

在等差

数列刖

n项和

公式的

推导过

程中, 通

过问题

获得知

识让学

生经历

a发现

问题—

—提出

问题

—