2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试数学(理科)含答案

B．③④
C．②③
D．①③
10.甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6．设各局比赛相
互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负,若采用五局三胜制，则甲以 3:1 获胜的概率是
A． 0.0402
B． 0.2592
C． 0.0864
D． 0.1728
11．设 f (x) 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，当 x [2,3] 时， f (x) = x ，则 x [−2,0]时，f (x)
．
14. 已知 Sn 为数列an 的前 n 项和，若 Sn = 2an − 2 ，则 S5 − S4 =________.
15．某市公租房的房源位于 A , B , C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请 其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任 4 位申请人中，申请的房源在 2 个片区的概率是
（2） 2sin2 A + C + sin B −1 2
= −cos(A+ C) + sin B
= cos B + sin B = 2 sin(B + π ) ， 4
………………………………8 分
由（1）知 0 B π ， 3
∴ π B + π 7 ，
23
20．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) = ln(x +1) , g(x) = ex （ e 为自然对数的底数）． （1）讨论函数(x) = f (x) − x + a 在定义域内极值点的个数；
x （2）设直线 l 为函数 f (x) 的图象上一点 A(x0, y0 ) 处的切线，证明：在区间 (0, +) 上存在唯 一的 x0 ，使得直线 l 与曲线 y = g(x) 相切．
∵ sin2 B = sin Asin C ，
∴ b2 = a c ，……………………………4 分
∴ cos B = a2 + c2 − b2 2ac − ac = 1 ，
2ac
2ac 2
而0 Bπ
∴0 B π . 3
……………………………………………………………………6 分
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 1 页 共 10页
A． 2 3
B． 3 2
C． 3 3
D． 3
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 1 页 共 6页
6．已知一个四棱锥的高为 3 ，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正
方形, 则此四棱锥的体积为
A． 2
B． 6 2
C． 1 3
D． 2 2
7．在等差数列{an }中， S n 为其前 n 项的和，已知 3a8 = 5a13 ，且 a1 0 ，若 S n 取得最大值，则 n
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l1
：
x y
= t cos， （t
= t sin
为参数，0
π 2
），曲线 C1
： xy
= =
2cos ， 4+2sin
（ 为参数）， l1 与 C1 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求 C1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；
（2）已知直线
l2
：
=
π( 6
R)与圆
C2
：
2
−
4
3 cos + 2 = 0 交于 B ，C 两点，记△ AOB
的面积为 S1 ，△ COC2
的面积为 S2 ，求
S1 S2
+
S2 S1
的值.
23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知 f (x) = x − 2a . （1）当 a = 1时，解不等式 f (x) 2x +1 ；
数为 X n ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少的 n 的值．
参考数据：若 Z ~ N (, 2 ) ，则 P( − Z + ) = 0.6826 ， P( − 2 Z + 2 ) = 0.9544 ， P( − 3 Y + 3 ) = 0.9973 ，
18．（本小题满分 12 分）
如图所示，四棱锥 S − ABCD 中，SA ⊥ 平面 ABCD ，AD / /BC ，SA = AB = BC = CD =1， AD = 2 ．
（1）在棱 SD 上是否存在一点 P ，使得 CP / / 平面 SAB ?请证明你的结论； （2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值．
的解析式为
A． f (x) = 2+ | x + 1 |
B． f (x) = 3− | x + 1 |
C． f (x) = 2 − x
D． f (x) = x + 4
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12．如图,长方体 ABCD − A1B1C1D1 中, E 、F 分别为棱 AB 、A1D1
（1）求证： 0 B π ； 3
（2）求 2sin2 A + C + sin B −1的取值范围. 2
解：（1）由正弦定理可得
a = b = c = 2R ， sin A sin B sin C
∴ sin A = a ， sin B = b ， sin C = c ，
2R
2R
2R
………………………………2 分
龄数据，得下面的频数分布表：
年龄 [10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] (70,80] (80,90] (90,100]
人数 2
6
12
18
22
22
12
4
2
由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布 N (,15.22 ) ，其中
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21．（本小题满分 12 分） 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省
份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）. （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年
绝密★启用前
试卷类型：A
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试
理科数学
本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
1.已知集合
A
=
x
|
1 2
f
(
x)
=
(a
−
1)x 2
+
3a,
x
1,
是
(−,
+)
上的减函数，那么实数
aபைடு நூலகம்
的取值范围是
ax , x 1,
A. (0,1)
B．
0,
1 2
C.
1 6
,
1 2
D．
1 6
,1
5. 在 ABC 中， D 是 BC 边上一点， AD ⊥ AB ， BC = 3 BD ， AD = 1，则 AC AD =
S
A B
D C
19．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C : x2 + y2 = 1， A 、 B 分别是椭圆 C 长轴的左、右端点， M 为椭圆上的动点. 12 4
（1）求 AMB 的最大值，并证明你的结论； （2）设直线 AM 的斜率为 k ，且 k (− 1 , − 1) ，求直线 BM 的斜率的取值范围.
0.94 0.66 ， 0.95 0.59 ， 0.910 0.35 .
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（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如 果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
的中点．直线
DB1
与平面
EFC
的交点
O
,则
DO OB1
的值为
D1
F A1
A． 4 5
B． 3 5
C． 1 3
D． 2 3
D
A
E
C1 B1
C B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 x 轴为曲线 f (x) = 4x3 + 4(a −1)x +1的切线，则 a 的值为
在 ABC 中，内角 A 、 B 、 C 对边分别是 a 、 b 、 c ，已知 sin2 B = sin Asin C ．
（1）求证： 0 B π ； 3
（2）求 2sin2 A + C + sin B −1 的取值范围. 2
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2
3
得到的图象所对应的函数为奇函数．.现有下列结论：
①函数 f (x) 的图象关于直线 x = 5π 对称 12
②函数 f (x) 的图象关于点 ( π , 0) 对称 12
③函数
f
(x)
在区间
−
π 2
,
−π 12
上单调递减
④函数
f
(x)
在
π 4
,
3π 2
上有
3
个零点
其中所有正确结论的编号是
A．①②
5
5
A． 第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知点 (3,1) 和 (−4, 6) 在直线 3x − 2 y + a = 0 的两侧，则实数 a 的取值范围是
A． − 7 a 24 C． a 7 或 a 24
B． a = 7 或 a = 24 D． − 24 a 7
4.
已知
近似为这 100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新 冠肺炎患者年龄在 70 岁以上（ 70 ）的患者比例；
（2）截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10% ，以 这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独
（2）若存在实数 a (1,+) ，使得关于 x 的不等式 f (x)+ x+ 2 m 有实数解，求实数 m 的 a −1
取值范围.
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绝密★启封并使用完毕前
试题类型：A
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试
立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n （1 n 20 且 n 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在 一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的 n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记 n 个人中患者的人
理科数学试题答案及评分参考
一、选择题
1. B
2. C
3. A
4. C
5. D
7. A
8. A
9. D
10. B
11. B
二、填空题：
1
13.
4
14. 32
15. 14 27
16. 6 − 3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
6. D 12. A
17．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，内角 A 、 B 、 C 对边分别是 a 、 b 、 c ，已知 sin2 B = sin Asin C ．
为
A． 20
B． 21
C． 22
D． 23
8．已知抛物线 y2 = 8x ，过点 A(2, 0) 作倾斜角为 π 的直线 l ，若 l 与抛物线交于 B 、C 两点，弦 BC
3
的中垂线交 x 轴于点 P ，则线段 AP 的长为
A． 16 3
B． 8 3
16 3
C.
3
D. 8 3
9．已知函数 f (x) = sin(x + )( 0,| | π) 的最小正周期是 π ，把它图象向右平移 π 个单位后
_________.
16．在平面直角坐标系中，过椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(
a b 0)的左焦点 F 的直线交椭圆于 A ，B 两点，
C 为椭圆的右焦点，且 ABC 是等腰直角三角形，且 A = 90 ，则椭圆的离心率为
．
三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）
<2x
2
，
B
=
x
|
ln( x
−
1) 2
0
，则
A
( RB) =
A．
B．
−1,
1 2
C．
1 2
,1
D． (−1,1
2. 棣 莫 弗 公 式 (cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx (i 为 虚 数 单 位 ） 是 由 法 国 数 学 家 棣 莫 弗
（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 (cos π + i sin π )6 在复平面内所对应的点位于