山东省青岛第六十七中学2023-2024学年高一下学期期末测试数学试题

山东省青岛第六十七中学2023-2024学年高一下学期期末测试
数学试题
一、单选题
1．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（ ） A ．290 B ．295
C ．300
D ．330
2．已知
i
2i z z
-=+，则z =（ ）
A ．12
B ．
2
C ．1
D ．2
3．已知向量()1,2a =-r ，()3,1b =-r ，则a r 在b r
上的投影向量为（ ）
A ．31
(,)22
-
B ．1(,1)2
-
C ．⎛ ⎝⎭
D ．⎛ ⎝⎭
4．在平行四边形ABCD 中，3DE EC =u u u r u u u r ，若AE 交BD 于点M ，则AM =u u u u r
（ ）
A ．1233AM A
B AD =+u u u u r u u u r u u u r
B ．3477AM AB AD =+u u u u r u u u r u u u r
C ．2133AM AB A
D =+u u u u r u u u r u u u r
D ．2577
AM AB AD =+u u u u r u u u r u u u r
5．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为( )
A ．2
3
B ．12
C ．13
D ．34
6．已知点(1,1,1)A ，(0,1,0)B ，(1,0,1)-C ，则点A 到直线BC 的距离是（ ）
A ．1
B
C D ．2
7．如图已知矩形,1,ABCD AB BC =沿对角线AC 将ABC V 折起，当二面角B AC D
--
的余弦值为1
3
-时，则B 与D 之间距离为（ ）
A ．1
B
C D 8．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为
A ．
B ．
C ．
D
二、多选题
9．设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0.下列命题中正确的是（ ） A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3 B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3 C ．若23z z =，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|
D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2
10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC （不包含端点）上，则下列结论正确的是（ ）
A ．三棱锥1D AMC -的体积随着点M 的运动而变化
B ．异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ
⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．直线1A M ∥平面1ACD
D ．三棱锥1M ACD -的外接球表面积的最小值为
313
π
11．已知ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
且c cos cos 2b C c B +=，
若点P 是边BC 上一点，Q 是AC 的中点，点O 是ABC V 所在平面内一点，230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，
则下列说法正确的是（ ）
A ．若()
0AB AC BC +⋅=u u u r u u u r u u u r ，则6AB AC +=u u u r u u u r
B ．若CA u u u r 在CB u u u r 方向上的投影向量为CB u u u r ，则PQ u u u r
C ．若点P 为BC 的中点，则20OP OQ +=u u u r u u u r r
D ．若0AB AC BC AB AC
⎛⎫
⎪+⋅= ⎪⎝
⎭
u u u r u u u r u u u r r
u u u r u u u r ，则()
AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r 为定值18
三、填空题
12．已知平面向量,a b r r
满足2a b ==r r ,且()()
214a b a b +⋅-=r r r r ，则a b +r r = ．
13．抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是. 14．甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为3π2
，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙.若
2S S =甲乙
，则
V V =甲
乙
.
四、解答题
15．在ABC V 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c
，已知4,cos 0b c a C b ==+=. (1)求a ；
(2)已知点D 在线段BC 上，且3π
4
ADB ∠=
，求AD 长. 16．如图，三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，点1A 在底面ABC 的射影O 是AC 的中点.
（1）求点A 到平面11BCC B 的距离；
（2）求平面11ABB A 与平面11BCC B 所成角的余弦值.
17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()tan tan tan b A B B +=，BC 边的中线长为1． (1)求角A ；
(2)求边a 的最小值．
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=o ，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，1
12
BC AD =
=，
CD
（1）求证：平面MQB ⊥平面PAD ；
（2）若二面角M BQ C --的大小为30o ，求直线QM 与平面PAD 所成角的正弦值. 19．树人中学高一（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：
在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为1x ，2x ，3x ，…，
n x ，其平均数记为x ，方差记为21s ；把第二层样本记为1y ，2y ，3y ，…，m y ，其平均数记
为y ，方差记为2
2s ；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为2s ．
(1)证明：()(){}
22222
121s n s x z m s y z m n ⎡⎤⎡⎤=
+-++-⎣
⎦⎣⎦+；
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；
(3)如果数学成绩分数在[)60,70内，记为C 等，成绩等级为C 的有4名学生；数学成绩分数在60分以下，记为D 等，成绩等级为D 的有2名学生．现从成绩等级为C ，D 的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D 的概率．
17≈1819≈．。