高中一年级《函数的概念及表示》

(4)f(x)＝|x|，g(x)＝x－，xx，≥x0＜，0； (5)f(x)＝x0，g(x)＝1(x≠0)； (6)f(x)＝x＋1x，g(t)＝t＋1t .
(1)y＝ 2x＋3＋x－1 1；(2)y＝(x＋2－1)x0
【思路点拨】 分析所给函数解析式 ―→ 列不等式组 ―→ 求x范围，得定义域 【解析】 (1)要使函数有意义，需满足2x－ x＋13≠≥00， ，
x (x≥1) 【思路点拨】 初中阶段我们已经知道，一次函数的图象是直线，二次函 数图象是拋物线，反比例函数图象是双曲线.现在我们只要结合定义域，找 到一些关键点，便可画出函数的大致图象.
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【解析】 (1)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图1； (2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 且x＝1,3时，y＝0； 当x＝2时，y＝－1， 所画函数图象如图2.
图
能形象直观地表示出函数的变化 只能近似地求出自变量的值所对 象
情况
应的函数值，而且有时误差较大
法
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2.关于分段函数 (1)分段函数虽由几部分构成，但代表的是一个函数.只不过在定义域内的不 同部分取值时，函数对应关系不同.其值域也是各段上的函数值集合的并集. (2)求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于 哪一段，就用哪一段的解析式. (3)作分段函数的图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时， 先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象 即可.
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x＋4 3.若 f(x)＝x2－2x
－x＋2 (1)求 f(f(f(5)))的值； (2)若 f(a)＝－1，求 a 的值.
(x≤0) (0＜x≤4) ， (x＞4)
【解析】 (1)∵5＞4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.∵－3＜0， ∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1， 又∵0＜1＜4，∴f(f(f(5)))＝f(1)＝1－2＝－1 (2)当a＋4＝－1时，a＝－5＜0，∴a＝－5符合题意， 当a2－2a＝－1时，a＝1， ∵0＜1＜4，∴a＝1符合题意； 当－a＋2＝－1时，a＝3＜4， ∴a＝3不符合题意.∴a＝－5或a＝1.
【思路点拨】 解答本题应从y与x的关系出发，分析出票价与斜率的关系， 然后就(Ⅰ)，(Ⅱ)两种建议分别描出图象，与题中①、②、③、④对应便可 求解.
【解析】 由题可知直线与y轴交点的纵坐标的相反数表示支出，斜率表 示票价，建议(Ⅰ)中票价不变，即直线的斜率不变；减少支出即直线与y轴交 点纵坐标变大，对应①.建议(Ⅱ)中，直线与y轴交点的纵坐标不变，斜率变 大，对应③.
定义 {x|x∈R}
(－∞，＋∞)
符号
{x|x≥a}
［a，＋∞)
{x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
(a，＋∞) (－∞，a］ (－∞，a)
在这些图象中
()
A.①反映了建议(Ⅱ)，③反映了建议(Ⅰ)
B.①反映了建议(Ⅰ)，③反映了建议(Ⅱ)
C.②反映了建议(Ⅰ)，④反映了建议(Ⅱ)
D.④反映了建议(Ⅰ)，②反映了建议(Ⅱ)
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(2)方法一：设 t＝1x， 则 x＝1t (t≠0)， 代入 f(1x)＝1－xx2，
1 得 f(t)＝1－t(1t )2＝t2－t 1， 故 f(x)＝x2－x 1(x≠0).
1 方法二：∵f(1x)＝1－x x2＝(1x)2x－1， ∴f(x)＝x2－x 1(x≠0).
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定义域
对应关系
存在性
f (x) 2x 3 7 x
唯一性

3 2
,7

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1.函数的表示法
列表 用 表格 的形式表示两个变量之间 函数 关系
法
的方法
图象 用 图象 把两个变量间的对应关系关系表示出
法
来的方法
解析 一个函数的 解析式 可以用自变量的
法 (简称 解析表达式 )表示出来的方法
即x≥－32 ， x≠1
∴原函数定义域为x|x≥－32且x≠1 (2)要使函数有意义，
需满足x2＋ －1x>≠00 解得 x<2 且 x≠－1
故函数定义域为{x|x<2 且 x≠－1}.
若 f(x)＝11－ ＋xx(x≠－1)，求 f(0)，f(1)，f(1－x)，f(f(x)).
设出其函数解析式，只要想法确定其系数即可求出结果.
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例题分析
1.求下列函数的解析式：
(1)已知 f(2x＋1)＝x2＋1，求 f(x)； (2)已知 f(1x)＝1－xx2，求 f(x). (3)已知函数 φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中 f(x)是 x 的正比例函数，g(x)是 x 的 反比例函数，且 φ(13)＝16，φ(1)＝8，求 φ(x)的解析式. 【解析】 (1)设 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1， ∴f(t)＝(t－2 1)2＋1. 从而 f(x)＝(x－2 1)2＋1.
(3)先求定义域，在定义域上化简函数式 y＝xx2－－1x＝x，x∈(－∞，1)∪(1， ＋∞).其图象如下：
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求分段函数的函数值
x＋1 已知 f(x)＝
0
(x＞0) (x＝0) ， (x＜0)
求 f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1))).
【思路点拨】 求f(x)的解析式 → 令x＝－1求f(－1) → f(f(－1)) → f(f(f(－1)))
∴2a＋ a＋bb＝＝1b，＋1，
ab＝ ＝1212， .
∴f(x)＝12x2＋
1 2x.
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题后感悟
(1)中解法为直接变换法或称为配凑法，通过观察、分析，将右端“x2－
3x＋2”变为接受对象“x＋1”的表达式，即变为含(x＋1)的表达式，这种解
法对变形能力、观察能力有一定的要求.
【答案】B
小结
(1)解答此类题目的关键在
于借助变量间的合已学知识加以综合分析，从而把问题解决.
(2)判断两变量之间是否为函数关系，关键是看变
量之间的关系是否为确定的关系，如③中收入与消
费支出的关系是一种趋势而非确定关系，而其余均
为确定关系.
(1)f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2； (2)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2； (3)f(x)＝xx2＋－11，g(x)＝x－1；
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【解析】 ∵－1＜0，∴f(－1)＝0， ∴f(f(－1))＝f(0) π ，∴f(f(f(－1)))＝f( π )
π ＋1.
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范 围，代入相应的解析式求得.
(2)象本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处 理.
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误区警示
已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式. 【错解】 ∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4. 【错因】 本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域.上面的解法，似乎 是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域， 那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数.但是f(x)＝x2－4的定义域不 是全体实数. 事实上，任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成.所以， 当函数f(g(x))一旦给出，则其对应关系f就已确定并不可改变，那么f的“管 辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定.因此，我们由f(g(x))求f(x)时，求 得的f(x)的定义域就理应与f(g(x))中的f的“管辖范围”一致才妥.
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例题分析
求函数解析式
求下列函数的解析式： (1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知f( x ＋1)＝x＋2 x ，求f(x)；
(3)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x). 【思路点拨】 (1)(2)小题可以用换元法或配凑法，求a，b，c，利用条件
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小结反思 1.函数的三种表示方法的优缺点比较
优点
缺点
一是简明、全面地概括了变量间 解
的关系；二是通过解析式可以求 析
出任意一个自变量所对应的函数 法
值
不够形象、直观、具体，而 且并不是所有的函数都能用 解析式表示出来
列 不需要计算就可以直接看出与自
表 变量的值相对应的函数值
法
它只能表示自变量取较少的 有限值的对应关系
3 2
,7

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(3)函数 y＝1x (0<x<1) 的图象如图 3. x (x≥1)
图3 (1)图象法是表示函数的方法之一，画函数图象时，以定 义域、对应关系为依据，采用列表、描点法作图.当已知式是一次或二次式时， 可借助一次函数或二次函数的图象帮助作图. (2)作图象时，应标出一些关键点.例如，图象的顶点、端点、与坐标轴的 交点等.要分清这些关键点是实心点，还是空心点.
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【解析】 (1)∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1 ＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. (2)令 x＋1＝t，则 t≥1.即 x＝(t－1)2. 则 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1). (3)∵f(0)＝c＝0， ∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c ＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b， f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1，
图1
图2
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第二部分函数的表示方法
问题导入
1.两个函数相同是指它们的 定义域 相同，且 对应关系 完全一致.
2.在函数定义域中，任意的x∈A，在f的作用下，在B中都有唯一确定的
f(x)与之对应.这可概述为： 存在性 和 唯一性 .
3. f (x)
2x 3
7x
的定义域为
yk x
2.区间的概念
设a，b是两个实数，且a＜b，
定义
名称
{x|a≤x≤b}
闭区间
{x|a＜x＜b}
开区间
符号
［a，b］ (a，b)
{x|a≤x＜b} 左闭右开区间 ［a，b)
{x|a＜x≤b} 左开右闭区间 (a，b］
几何表示
3.无穷大概念
(1)实数集R用区间表示为 (－∞，＋∞) ，“∞”读作 无穷大 ，“－∞” 读作负无穷大，“＋∞”读作正无穷大 . (2)无穷区间的表示
x
(2)中解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象 “ ＋1“换作另一
个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的
函数关系，此即为所求函数解析式.但在利用这种方法时要注意自变量的取值
范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式.
(3)中解法称为待定系数法，我们只要清楚所求函数解析式的类型，便可
(3)可设 f(x)＝kx，g(x)＝mx (k≠0，m≠0)， 则 φ(x)＝kx＋mx . 由 φ(13)＝16，φ(1)＝8， 得 13k＋3m＝16，
k＋m＝8， ∴km＝＝35，. ∴φ(x)＝3x＋5x.
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作函数的图象
作出下列函数的图象. (1)y＝1x，(x>1)； (2)y＝x2－4x＋3，x∈［1,3］； (3)y＝1x (0<x<1) ；
【解析】 f(0)＝11－ ＋00＝1；f(1)＝11－ ＋11＝0； f(1－x)＝11－ ＋((11－ －xx))＝2－x x(x≠2). f(f(x))＝11－ ＋ff((xx))＝11－ ＋1111－ ＋ － ＋xxxx＝x(x≠－1).
(1)f(x)＝x，g(x)＝ x2 (2)f(x)＝xx2－－39，g(x)＝x＋3 (3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 (4)f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1
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2.作出下列函数的图象. (1)y＝x，|x|≤1； (2)y＝1－x，x∈Z 且|x|≤2； (3)y＝xx2－－1x. 【解析】 (1)此函数图象是直线y＝x的一部分.
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(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以其图象由五个点组成，这些 点都在直线y＝1－x上.(这样的点叫做整点)
3.求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝ 4＋x－2x；
(2)f(x)＝
1－x 1＋x .
4.已知 f(x)＝1＋1 x，g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求 f(x)的定义域； (2)求 f(2)，g(2)，f(g(2))的值.
【解析】 (1)∵x＋1≠0，∴x≠－1. 故 f(x)的定义域为 (－∞，－1)∪(－1，＋∞). (2)f(2)＝1＋1 2＝13，g(2)＝22＋2＝6， f(g(2))＝f(6)＝17.