平行四边形的边、角的性质

第1课时平行四边形的边、角
的性质
1．理解平行四边形的概念；(重点)
2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点)
3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)
一、情境导入
平行四边形是我们常见的一种图形(如图)，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？
二、合作探究
探究点一：平行四边形的定义
如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．
解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．
证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D ＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC ＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2.∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：平行四边形的定义是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．
探究点二：平行四边形的边、角特征
【类型一】利用平行四边形的性质求线段长如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE ＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF ＝BF.∴AD＝BF.∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD ＝7.故答案为7.
方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
【类型二】利用平行四边形的性质求角度
如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为() A．35°B．55°
C．25°D．30°
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.
方法总结：平行四边形对边平行，对角相等，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．
【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论
如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD 的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P 是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.
解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC＝∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP＝∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB.∵∠DCG＋∠DCP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠DCP＝∠FCP.∵在△PCF和△PCE中，
⎩⎪
⎨
⎪⎧
CE＝CF，
∠FCP＝∠ECP，
CP＝CP，
∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.
方法总结：本题的综合性比较强，考查了平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等．
【类型四】判断直线的位置关系
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM、MC，试问直线DM和
MC 有何位置关系？请证明．
解析：由AB ＝2AD ，M 是AB 的中点的位置关系，可得出DM 、CM 分别是∠ADC 与∠BCD 的角平分线．又由平行线的性质可得∠ADC ＋∠BCD ＝180°，进而可得出DM 与MC 的位置关系．
解：DM 与MC 互相垂直．证明如下：∵M 是AB 的中点，∴AB ＝2AM .又∵AB ＝2AD ，∴AM ＝AD ，∴∠ADM ＝∠AMD .∵平行四边形ABCD ，∴AB ∥CD ，∴∠AMD ＝∠MDC ，∴∠ADM ＝∠MDC ，
即∠MDC ＝12∠ADC ，同理∠MCD ＝1
2
∠BCD .∵平
行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠MDC ＋∠MCD ＝12∠BCD ＋1
2∠ADC ＝90°，即∠MDC ＋∠MCD ＝90°，∴∠DMC ＝90°，∴DM 与MC 互相垂直．
方法总结：应熟练掌握平行四边形的性质，并能求解一些简单的计算、证明等问题．
探究点三：两平行线间的距离
如图，已知l 1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点
G ，H 在l 2上．求证：△EGO 与△FHO 面积相等．
解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．
证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都
相等，设为h .∴S △EGH ＝12GH ·h ，S △FGH ＝1
2
GH ·h ，
∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH ＝S △FGH －S △GOH ，∴△EGO 的面积等于△FHO 的面积．
方法总结：解决问题的关键是明确同底等高的两个三角形的面积相等，再结合两平行线间的距离即可得出结论．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
三、板书设计
本节课通过对平行四边形的性质的探究学习，培养了学生运用转化的数学思想，通过观察、分析、归纳，是学生养成自主学习的良好习惯，为后期的学习打基础.。