山东省济宁市2022届高三模拟考试(三模)数学试题(含答案解析)

山东省济宁市2022届高三模拟考试（三模）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．已知集合{}22A x x =-≤<，{}ln 0B x x =≥，则A B =（ ） A ．[)2,2- B ．()0,1 C ．[)1,2
D ．[]1,2
2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1i i z -=，则z 的虚部为（ ） A ．1
B ．1-
C ．12
-
D ．12
3．已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线与直线210x y -+=垂直，则
该双曲线C 的离心率为（ ）
A
B C ．2 D 4．随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有
2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（ ）
A ．240
B ．480
C ．1440
D ．2880
5．已知二次函数()()2
2f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则14a c
+的最小值为
（ ） A ．3-
B ．3
C ．4-
D ．4
6．已知1cos 64πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，则5sin 26πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝⎭
（ ）
A B ．C ．78
D ．78
-
7．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ） A ．2:1
B ．3:2
C ．7:3
D ．7:4
8．若函数()2f x +为偶函数，对任意的[)12,2,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有
()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则（ ）
A ．()()233log 6log 122f f f ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
B ．()()323log 12log 62f f f ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
C ．()()233log 6log 122f f f ⎛⎫
>> ⎪⎝⎭
D ．()()323log 12log 62f f f ⎛⎫
>> ⎪⎝⎭
9．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n .按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，
[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.其中，成绩落在区间[)50,60内的人数为
16.则下列结论正确的是（ ）
A ．样本容量1000n =
B ．图中0.030x =
C ．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分
D ．该市要对成绩由高到低前20%的学生授子“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号
10．已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛
⎫>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，则下列结论正
确的是（ ）
A ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移3
π
个单位得到 B ．直线1112
x π
=-
是()f x 图象的一条对称轴 C ．若()()122f x f x -=，则21x x -的最小值为2
π D ．直线12y =
与函数()y f x =在100,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的图象有7个交点
11．已知直线y b =+与圆2216x y +=交于A 、B 两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），则实数b 的取值可以是（ ）
12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2
21n n n a S a =+，2
2
log n n n
S b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ） A ．{}2
n S 是等差数列
B ．1n n a a +< C
．1
n S ≤
D ．满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10 三、填空题
13．设随机变量()2
~,X N μσ，若()()02P X P X <=>，则()1P X ≤=________.
14．已知函数()()2,0
5,0x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩
，则()2022f =________.
15．在边长为4的等边ABC 中，已知2
3
AD AB =
，点P 在线段CD 上，且1
2
AP mAC AB =+，则AP =________. 四、双空题
16．已知抛物线C ：()2
20x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B
两点，且33AF BF ==，则p =________；设点M 是抛物线C 上的任意一点，点N 是C 的对称轴与准线的交点，则MN MF
的最大值为________.
五、解答题
17．已知函数()sin cos 3f x x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)在锐角ABC 中，若(
)f A =
AC =
BC =ABC 的面积. 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31a =，67S =，数列{}n b 满足11222n n b b b +++
+=-.
(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
(2)记()tan n n n c b a π=⋅，求数列{}n c 的前3n 项和.
19．如图1，在平行四边形ABCD 中，2AB =
，AD =30BAD ∠=，以对角线
BD 为折痕把ABD △折起，使点A 到达图2所示点P 的位置，且PC =
(1)求证：PD BC ⊥；
(2)若点E 在线段PC 上，且二面角E BD C --的大小为45，求三棱锥E BCD -的体积. 20．某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为600元、900元、1500元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束，选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为
34，23，1
2
，第一关闯关成功选择继续闯关的概率为35，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为2
5，且每关闯关成功
与否互不影响.
(1)求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
(2)设小李所得总奖金为X ，求随机变量X 的分布列及其数学期望.
21．已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆E 的右
焦点，点Q 在椭圆E 上，且QF 的最大值为3，椭圆E 的离心率为1
2. (1)求椭圆E 的方程；
(2)若过点A 的直线与椭圆E 交于另一点P （异于点B ），与直线2x =交于一点M ，
PFB ∠的角平分线与直线2x =交于点N ，求证：点N 是线段BM 的中点.
22．已知函数()()2
ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，a ∈R .
(1)当0a =时，证明：()()()e 21f x x ≥--；
(2)若函数()f x 在()1,e 内有零点，求实数a 的取值范围.
参考答案：
1．C 【解析】 【分析】
解对数不等式求得集合B ，再根据交集的定义即可得解. 【详解】
解：{}{}ln 01B x x x x =≥=≥， 所以[)1,2A B =. 故选：C. 2．D 【解析】 【分析】
利用复数的除法化简复数z ，利用复数的概念可得出复数z 的虚部. 【详解】 由已知可得()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222
z +-+=
===-+--+， 因此，复数z 的虚部为1
2. 故选：D. 3．A 【解析】 【分析】
求出双曲线C 渐近线的斜率，与已知直线斜率的乘积等于-1，即可求解. 【详解】
由题意，双曲线的方程为：b y x a
=±
，斜率为1b
k a = 和b a - ，
直线210x y -+= 的斜率为22k = ，因为两直线垂直， 则有121k k =- ，即21b
a
⨯
=- ，（0,0a b ＞＞ ，显然这是不可能的），
或21,2b a b a ⎛⎫⨯-=-= ⎪⎝⎭ ，222222255,,44c c a b a e e a =+=∴===； 故选：A.
4．B 【解析】 【分析】
将其中2个“冰墩墩”捆绑，记为元素a ，另外1个“冰墩墩”记为元素b ，将a 、b 元素插入这
4位运动员所形成的空中，结合插空法可求得结果.
【详解】
因为3个“冰墩墩”完全相同，将其中2个“冰墩墩”捆绑，记为元素a ，另外1个“冰墩墩”记为元素b ，
先将甲、乙、丙、丁4位运动员全排，然后将a 、b 元素插入这4位运动员所形成的空中，
且a 、b 元素不相邻，则不同的排法种数为42
45A A 480=.
故选：B. 5．B 【解析】 【分析】
由二次函数的值域可得出101a c =>-，可得出1c >，则有144
1c a c c
+=+-，利用基本不等式可求得结果. 【详解】
若0a =，则函数()f x 的值域为R ，不合乎题意，
因为二次函数()()2
2f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则0a >，
且()min 44114ac ac f x a a --=
==，所以，1ac a -=，可得1
01
a c =>-，则1c >，
所以，144113c a c c +=+-≥=，当且仅当2c =时，等号成立，
因此，14
a c
+的最小值为3.
故选：B. 6．D 【解析】 【分析】
利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求值.
2
2517sin 2sin 2cos 22cos 1216323648πππππαααα⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
=++=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 故选：D. 7．C 【解析】 【分析】
正六棱柱有内切球，则O 到每个面的距离相等，即11OO O D =，可求内切球的半径，根据22211OA OO O A =+可求外接球的半径，代入球的面积公式计算．
【详解】
如图：12,O O 分别为底面中心，O 为12O O 的中点，D 为AB 的中点 设正六棱柱的底面边长为2
若正六棱柱有内切球，则11OO O D =r =222
117OA OO O A =+=，即外接球的半径R =则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为22224π:4π:7:3R r R r == 故选：C ．
8．A 【解析】
由题意可得函数()f x 在[)2,+∞上递减，且关于2x =对称，则3522f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，利用作差法
比较235
log 31,,log 412
++三者之间的大小关系，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】
解：由对[)12,2,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 所以函数()f x 在[)2,+∞上递减， 又函数()2f x +为偶函数， 所以函数()f x 关于2x =对称， 所以3522f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
又2233log 61log 32,log 121log 42=+>=+>，
因为3
222222253
log 31log 3log 3log 2log 3log 022+-=-=-=-，
所以25
log 312
+>，
因为3
233333353
log 41log 4log 4log 3log 4log 022+-=-=-=-<，
所以25
log 312
+<，
所以235
log 6log 1222
>
>>， 所以()()235log 6log 122f f f ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭，
即()()233log 6log 122f f f ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
.
故选：A. 9．BC 【解析】 【分析】
根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断A ；根据频率之和等于1，即可判断B ；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C ；根据题意得
()()100.0040.01080780.0400.220.20⨯++-⨯=>，即可判断D.
对于A ：因为成绩落在区间[)50,60内的人数为16，所以样本容量16
1000.01610
n ==⨯，故
A 不正确；
对于B ：因为()0.0160.0400.0100.004101x ++++⨯=，解得0.030x =，故B 正确； 对于C ：学生成绩平均分为：
0.0161055+0.0301065+0.04010750.01010850.004109570.6⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故C 正
确；
对于D ：因为()()100.0040.01080780.0400.220.20⨯++-⨯=>，
即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D 不正确. 故选：BC. 10．BCD 【解析】 【分析】
由图象求出函数()f x 的解析式，利用三角函数图象变换可判断A 选项；利用正弦型函数的对称性可判断B 选项；利用正弦型函数的周期性可判断C 选项；求出()12
f x =
在100,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时23x π+的可能取值，可判断D 选项.
【详解】
对于A 选项，由图可知，函数()f x 的最小正周期为4126T πππ⎛⎫
=⨯+= ⎪⎝⎭
，则22πωπ==， 又因为sin 1126f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为22ππϕ-<<，则2363πππϕ-<+<，
所以，6
2
π
π
ϕ+
=
，则3π
ϕ=
，所以，()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦， 故函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移6
π
个单位得到，A 错；
对于B 选项，11113sin sin 112632
f ππ
ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+=-
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以，直线1112
x π
=-
是()f x 图象的一条对称轴，B 对； 对于C 选项，因为()()()()12max min 2f x f x f x f x -==-，
所以，21x x -的最小值为22
T π
=，C 对； 对于D 选项，当10
03
x π≤≤
时，2733x πππ≤+≤，
由()1sin 232f x x π⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭可知23x π+的可能取值集合为
5131725293741,,,,,,6666666πππππππ⎧⎫
⎨⎬⎩
⎭，
所以，直线12y =与函数()y f x =在100,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的图象有7个交点，D 对. 故选：BCD. 11．BC 【解析】 【分析】
设2AOB θ∠=，可得04
π
θ<<
，求得()
4cos d θ=∈，利用点到直线的距离公式可得
出关于b 的不等式，解出b 的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】
设2AOB θ∠=，则022
π
θ<<
，可得04
π
θ<<
，
设圆心到直线AB 的距离为d ，圆2216x y +=的圆心为原点，半径为4，
所以，()
4cos d θ=∈，由点到直线的距离公式可得2
b d ==
，
所以，42
b
<，解得8b -<<-8b <. 故选：BC. 12．ACD 【解析】 【分析】
根据题意得()()2
1121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得22
11n n S S --=，即可判断A ；由A 知，
n S ，所以n a =，1n a +=
B ；因为1
n S ≤1
≤，令()10x x =≥，即()e 10x
x x ≥+≥，构造函数
()()e 10x f x x x =--≥，求解判断即可；根据题意得
()22
221log log 2log 2n n n S b n n S +==+-⎡⎤⎣⎦，求和得()()211log 122n T n n =-+++⎡⎤⎣
⎦，再根据题意求解判断即可. 【详解】
因为221n n n a S a =+，当1n =时，2
11121a S a =+，解得11S =，
当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即()()2
1121n n n n n S S S S S ---=+-，
整理得22
11n n S S --=，所以数列{}2n S 是首项为211S =，公差为1的等差数列，
所以()2
111n S n n =+-⨯=，又正项数列{}n a 的前n 项和为n S
，所以=n S ，故A 正确；
当1n =时，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-
，即=n a 又111S a ==
，所以n a =
=
1n a +=
>
1n n a a +<，故B 不正确；
因为1
n S ≤
，n S
1
，令()10x x ≥，
所以原不等式为：()e 10x x x ≥+≥，即()e 100x
x x --≥≥，
令()()e 10x f x x x =--≥，所以()e 1x
f x '=-，当0x ≥时，e 10x -≥恒成立，
所以()f x 在[)0,∞+单调递增，所以()()00f x f ≥=
，所以1
n S ≤成立，故C 正确；
因为n S
，所以2n S +=
12
22
222log log log n n n S n b S n ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
()222121
log log 2log 22n n n n +==+-⎡⎤⎣⎦，所以1231n n n T b b b b b -=+++++
()()()22222222221
log 3log 1log 4log 2log 5log 3log 1log 1log 2log 2n n n n =-+-+-+++--++-⎡⎤⎣
⎦
()()()()22211
1log 1log 21log 1222n n n n =
-++++=-+++⎡⎤⎡⎤⎣
⎦⎣⎦， 因为3n T ≥，即()()21
1log 1232
n n -+++≥⎡⎤⎣⎦，化简整理得：231260n n +-≥， 当9n =时，2939126180+⨯-=-<，当10n =时，21031012640+⨯-=>， 所以满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10，故D 正确. 故选：ACD.
给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 13．0.5##1
2
【解析】 【分析】
根据正态分布曲线的对称性求得μ，即可得出答案. 【详解】
解：因为随机变量()2
~,X N μσ，()()02P X P X <=>，
所以1μ=， 所以()10.5P X ≤=. 故答案为：0.5.
14．1
8##0.125
【解析】 【分析】
利用函数()f x 的解析式可求得()2022f 的值. 【详解】
因为()()2,05,0
x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()3
1202220222025328f f f -=-=-==.
故答案为：1
8.
15 【解析】 【分析】
根据题意得34AP mAC AD =+
，求出1
4m =，所以1142
AP AC AB =+，即
2
1142AP AC AB ⎛⎫
=+ ⎪，求解即可.
因为23AD AB =
，所以3
2AB AD =，又12
AP mAC AB =+，
即13
24
AP mAC AB mAC AD =+
=+，因为点P 在线段CD 上， 所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314
m +=，即1
4m =，
所以11
42
AP AC AB =
+，又ABC 是边长为4的等边三角形， 所以2
2
2211111cos604216
44AP AC AB AC AC AB AB ⎛⎫
=+=++ ⎪⎝⎭
1111
164416716424
=
⨯+⨯⨯⨯+⨯
=，故7AP = 16．
3
2
##1.5 【解析】 【分析】
空1：设直线联立方程可得2
124p y y =，根据题意可得21123
2p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，代入可解得32p =；空
2：根据抛物线定义
1
sin MF
MD
MN MN MND
=
=
∠取到最大值即MND ∠最小，此时直线MN 与抛物
线C 相切，利用导数求切线分析求解． 【详解】
设过点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的直线l 为2p
y kx =+，()()1122,,,A x y B x y
联立方程222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪
⎩
消去x 得()222
2104p y k py -++
=，可得2
124p y y = ∵33AF BF ==，则可得：21123
2p y p y ⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，可得231224p p p ⎛
⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得32p =
过点M 作准线的垂线，垂足为D ，则可得1
sin MF
MD
MN MN MND
=
=
∠
若
MN MF
取到最大值即MND ∠最小，此时直线MN 与抛物线C 相切
2
3x y =，即2
3
x y =，则23y x '=
设200,3x M x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，则切线斜率023k x =，切线方程为()2
0002
33x y x x x -=-
切线过30,4N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入得22
023433
x x --=-，解得032x =±，即33,24M ⎛⎫± ⎪⎝⎭
则33,22MD ND ==，即π4
MND ∠=
则
1
sin MF
MD
MN MN MND
==
∠
故答案为：3
2
．
17．(1)π
【解析】 【分析】
（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭周期公式可求得函数()f x 的最小正周期；
（2）由已知条件结合角A 的取值范围可求得角A 的值，利用余弦定理可求得AB 边的长，再利用三角形的面积公式可求得结果. (1)
解：因为()21sin cos cos sin sin sin cos 332f x x x x x x x ππ⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭
)1cos 2111sin 2sin 22sin 244423x x x x x π-⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭ 所以，函数()f x 的最小正周期为22
π
π=. (2)
解：因为(
)1sin 223f A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
sin 23A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
因为02
A π
<<
，则223
3
3A π
π
π-
<-
<
，233A ππ
∴-=，可得3
A π=，
由余弦定理可得222
232cos
23
BC AB AC AB AC AB π
==+-⋅=+，
即210AB -=，因为0AB >
，解得AB =， 此时，AB 为最长边，角C 为最大角，此时222
cos 02AC BC AB C AC BC +-=
>⋅，则角C 为锐角，
所以，11sin 22ABC S AB AC A =⋅==
△ 18．(1)3
n n a =，2n n b =
(2)
)187
n -
【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，可得出数列{}n a 的通项公式，利用前n 项和与通项的关系可求得数列{}n b 的通项公式；
（2）设32313n n n n p c c c --=++，推导出数列{}n p 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列{}n c 的前3n 项和. (1)
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则3161216157a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11
3a d ==，
所以，()111333
n n
a n =+-=，
当1n =时，21
22
2b ，
当2n ≥时，112122n n n b b b b +-++
++=-，可得12122n n b b b -++
+=-，
上述两个等式作差可得1222n n n
n b +=-=，
12b =也满足2n n b =，故对任意的N n *∈，2n n b =.
(2)
解：由（1）可得2tan
3
n
n n c π=，
设(
323132
323132202n n n n n n n p c c c -----=++=⨯+=，
所以，
18n n p p +=，所以，数列{}
n p 是等比数列，且首项为1p =-为8，
因此，数列{}n c
的前3n
项和为))3181818
7
n n n T ---==
-.
19．(1)证明见解析
(2)1
4
【解析】 【分析】
（1）利用余弦定理结合勾股定理可证得AD BD ⊥，结合平形四边形的几何性质可得出
BC BD ⊥，利用勾股定理可得出PD CD ⊥，利用线面垂直的判定和定义可证得结论成立；
（2）以点B 为坐标原点，BC 、BD 、DP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PE PC λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，解出λ的值，确定点E 的位置，然后利用锥体的体积公式可求得结果. (1)
证明：在ABD △中，由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-
⋅∠
43221=+-⨯=， 所以，222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥，
又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以，BC BD ⊥，
在PCD 中，
PC =PD =2CD =，222PD CD PC ∴+=，则PD CD ⊥，
因为PD BD ⊥，BD CD D ⋂=，PD ∴⊥平面BCD ，
BC ⊂平面BCD ，PD BC ∴⊥. (2)
解：因为BC BD ⊥，PD ⊥平面BCD ，以点B 为坐标原点，BC 、BD 、DP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则()0,0,0B
、)C 、()0,1,0D
、(P ，
设
(
)
1,,,
PE PC λλ
λ==-
=
-，其中
01λ≤≤
，
())
,,,1BE BP PE λλ=+=+
-=
-，
设平面BDE 的法向量为()
,,m x y z =，()0,1,0BD =， 则())
0310
m BD y m BE x y z λλ⎧⋅==⎪⎨
⋅=+-+=⎪⎩
，取1x λ=-，可得()1,0,m λλ=
-，
易知平面BCD 的一个法向量为()0,0,1n =， 由已知可得cos ,2
2m n m n m n
λ⋅<>=
=
=
⋅
01λ≤≤，解得1
2λ=，
所以，E 为PC 的中点，因此，111111
1223624
E BCD P BCD BCD V V S PD --==⨯⋅=⨯⨯=△.
20．
(1)
21
100
(2)分布列见解析；()630E X =. 【解析】 【分析】
（1）根据题意包含两种情况，第一种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关失败，第二种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关成功，第三关闯关失败，分别求概率相加即可求解；（2）根据题意得X 的可能取值为：0，600，1500，3000，再分别求每个随机变量对
应的概率，再求分布列和期望. (1)
根据题意得，小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的事件分为两类情况：第一种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关失败，其概率为：1
3323145320
P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭；第二种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关成功，第三关闯关失败，其概率为：
233221314535250
P ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭；记“小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零”为事件A ：
则()123321
2050100
P A P P =+=+=. (2)
根据题意得：X 的可能取值为：0，600，1500，3000，
所以()33323322123
011144534535250P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
()33360014510P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，()33229
150********
P X ⎛⎫==⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，
()332213
30004535250P X ==⨯⨯⨯⨯=，
所以X 的分布列为：
所以X 的期望为：()23393
06001500300063050105050
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．(1)22
143
x y +=
(2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）由已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆E 的方程；
（2）设点P 在x 轴上方，对直线PF 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线PF 的斜率存在时，分析可得221NF
PF NF
k k k =
-，设出直线AP 、FN 的方程，求出点P 、M 、N 的坐标，由
已知条件可得出M 、N 坐标之间的关系，可证得结论成立；在直线PF 的斜率不存在时，直接求出M 、N 的坐标，即可证得结论成立. (1)
解：由已知可得max 2223
1
2QF a c c a a b c
⎧=+=⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得21
a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
因此，椭圆E 的方程为22
143
x y +
=. (2)
证明：由对称性，不妨设点P 在x 轴上方.
∵当直线PF 的斜率存在时，因为PFB ∠的角平分线为FN ，所以，2PFB NFB ∠=∠， 所以，22tan tan 1tan NFB PFB NFB
∠∠=
-∠，即221NF PF NF k k k =-， 设直线AP 的方程为()2y k x =+，其中0k ≠，
联立()22
23412y k x x y ⎧=+⎨+=⎩可得()2222
431616120k x k x k +++-=， 设点()11,P x y ，则2121612
243k x k --=+，所以，2126843
k x k -=+，
则()11212243k
y k x k =+=+，即点2226812,4343⎛⎫- ⎪++⎝⎭
k k P k k ， 所以，2122
12
12434681141
34PF
k
y k k k k x k k +===----+， 设直线FN 的方程为()1y m x =-，则点()2,N m 、()2,4M k ，
因为221NF PF NF k k k =
-，则2242141k m
k m
=--，整理可得()()2210k m km -+=， 因为0km >，所以，2m k =，所以，
142N M y m y k ==， 所以，点N 为线段BM 的中点；
∵当直线PF 的斜率不存在时，不妨设点31,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
则直线AP 的方程为()1
22
y x =
+，所以点()2,2M ，
又因为直线FN 的方程为1y x =-，所以点()2,1N ， 所以，点N 为线段BM 的中点. 综上可知，点N 为线段BM 的中点. 【点睛】
关键点点睛：本题考查线段中点的证明，解题的关键就是对直线PF 的斜率是否存在进行分类讨论，通过设出直线方程，求出M 、N 的坐标，结合线段的中点坐标公式得以证明. 22．(1)证明见解析； (2)e 21a -<< 【解析】 【分析】
（1）构造函数()()()()=e 21g x f x x ---，证得min ()0g x ≥即可； （2）根据零点存在性定理结合导函数与单调性、最值等关系进行判定. (1)
证明：当0a =时，设()()()()=e 21(e 1)(ln 1)g x f x x x x ---=---，1
()(e 1)
x g x x
-'=-，由()001g x x '<⇒<<，()01g x x '>⇒>，可得()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以min ()(1)0g x g ==，则()0g x ≥，即()()()e 21f x x ≥--； (2)
函数()()2
ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，(1)0,(e)0f f ==，若函数()f x 在()1,e 内有零
点，则函数()f x 在()1,e 内至少有两个极值点，即()f x '在()1,e 内至少有两个变号零点.
2ln e 12ln e 1
()1a x a x a x a f x x x x
----++'=-
-=，等价于()2ln e 1h x x a x a =--++在()1,e 内至少有两个变号零点，22()1a x a h x x x
-'=-
=，()1,e x ∈，当1
2a ≤或e 2a ≥时，()0
h x '≥或()0h x '≤恒成立，则()h x 在()1,e 上单调，不合题意；当
122
e
a <<时，由()012h x x a '<⇒<<，()02e h x a x '>⇒<<，可得()h x 在(1,2)a 单调递减，在(2,e)a 上单
调递增，所以当(1)0)
(e)0(2)0h h h a >⎧⎪
>⎨⎪<⎩
时，()h x 在()1,e 内有两个变号零点且最多两个，即
答案第17页，共17页 2e 010
32ln 2e 10a a a a a -+>⎧⎪->⎨⎪--+<⎩
，令2t a =，()1,e t ∈
，设31()ln e 1()ln 022F t t t t F t t t '=--+⇒=-=⇒=
(t ∈时，()0F t '>，()F t 单调
递增，当)t ∈时，()0F t '<，()F t
单调递减，所以
max ()e 1e 10F t F ==
+=+<，即32ln 2e 10a a a --+<在122e a <<上恒成立，所以e 21a -<<.此时()0h x =即()0f x '=有两个零点，设为121e x x <<<，当()11,x x ∈和()2,e x 时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以1()(1)0f x f >=，2()(e)0f x f <=，则()f x 在()12,x x 上有零点，综上可得：e 21a -<<.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。