高等计算流体力学-02

( j 3)
j 1
k
a j bk
k 1 other
k 0,1,2,3
( 2) 0 a1 (1) 0 a2 a3 (1) 0 a4 0 1 2 2 2 2 ( 2) a1 (1) a2 0 a3 (1) a4 0 ( 2)1 a1 ( 1)1 a2 01 a3 (1)1 a4
物理坐标 计算坐标
常用的一维坐标变换函数： 指数函数 双曲正切函数
x j tanh( bg j ) / tanh( bg )
要求： 坐标变换必须足够 光滑，否则会降低精度 网格间距变化要缓慢，否则 会带来较大误差
9
方法2） 在非等距网格上直接构造差分格式 原理： 直接进行Taylor展开，构造格式 格式系数是坐标（或网格间距）的函数
守恒性的例子： 环形管道里的流动 —— 总质量保持不变

j 1
N
n n n n g g 1 g 1 g 1 / 2 j 1 j N 2 2 2
特点： 消去了中间点上的值，只保留两端 物理含义： 只要边界上没有误差，总体积分 方程不会有任何误差。
n 1 j j
前差 后差 中心差
… j-2
后
j-1 j
前
j+1 …
其他： 向前（后）偏心差分；
c.
差分方程 经差分离散后的方程，称为差分方程
u u a 0 t x
1 un un j j
t
a
n un j u j 1
x
0
如何确定精度？ 1） 理论方法， 给出误差表达式 2）数值方法， 给出误差对 x 的数值依赖关系
n 1 n un un g g j j 1 1 j j h 2 2
n n n n 其中： g j 1 g (u j l 1, u j l 2 ,u j l ) 2
称为守恒型差分格式。 基本思想： 保证（整个区域）积分守恒律严格满足
紧致型： 多个点函数值的组合逼近多个点导数值的组合
Fj1 Fj Fj1 a1 f j2 a2 f j1 a3 f j a4 f j1 a5 f j2
f Fj x j
例：
1/ 4Fj 1 Fj 1/ 4Fj 1 3( f j 1 f j 1 ) / 2x
u 1 2u 1 3u 2 u j 1 u j ( ) j x ( 2 ) j x ( 3 ) j x 3 ...... x 2! x 3! x
O(x)
2 u u j 1 u j u x x 2 2! x x j j
第二讲
有限差分方法基本原理
1
有限差分方法概述
2
有限差分法概述 1. 差分方法 离散点上利用Taylor展开，把微分转化成差分
… j-2 j-1 j j+1 …
（等距网格）
u 2u 2 t x
0 x 1,0 t T
u x j
u j 1 u j x
f a1 f j k a2 f j k 1 a3 f j k 2 ...... am f j k m1 x j
… j-2 j-1 j j+1 …
例：f (Байду номын сангаасf
j
j
f j 1 ) / x
f j (2 f j 3 15 f j 2 60 f j 1 20 f j 30 f j 1 3 f j 2 ) / 60x
1/ 3Fj 1 Fj 1/ 3Fj 1 (28( f j 1 f j 1 ) ( f j 2 f j 2 )) / 36x 2 / 5Fj 1 3 / 5Fj (3 f j 1 44 f j 1 36 f j 12 f j 1 f j 2 ) /120x
4
基架点 （stencil ） j-2 j-1 j j+1
a1u j 2 a2u j 1 a3u j a4u j 1 u j (a1 a2 a3 a4 ) uj (2a1 a2 0a3 a4 ) uj ((2) 2 a1 (1) 2 a2 0 2 a3 12 a4 )2 / 2! u (j3) ((2) 3 a1 (1)3 a2 03 a3 13 a4 )3 / 3! O(4 )
u j 1 u j 1 1 3u u ( 3 ) j x 2 2x 3! x x j
差分表达式
b. 前差、后差、中心差
u u j 1 u j O(x) x x j u u j u j 1 O(x) x x j u u j 1 u j 1 O(x 2 ) 2x x j
2） 常系数线性格式都是守恒的 例如，差分格式： 等价于
1 f (a1 f j 3 a2 f j 2 a3 f j 1 a4 f j a5 f j 1 a6 f j 2 ) x j x
f j 1/ 2 f j 1/ 2 f x x j
1 un un j j
t
1 un un j j
a a
n un j u j 1
x x
0 0
1 1 un un j j 1
t
e. 守恒型差分格式
u f u 0 t x
早期—— 极为强调守恒性 最近—— 重新认识
定义：对于上述守恒型方程，差分格式
u a1u j 2 a2u j 1 a3u j a4u j 1 O(3 ) x j
1 1 u ( x j 2 x j ) 2 u ( 3) ( x j 2 x j ) 3 O ( x j 2 x j ) 4 2! 3! 1 1 u j 1 u j u j ( x j 1 x j ) u ( x j 1 x j ) 2 u ( 3) ( x j 1 x j ) 3 O ( x j 1 x j ) 4 2! 3! 1 1 u j 1 u j u j ( x j 1 x j ) u ( x j 1 x j ) 2 u ( 3) ( x j 1 x j ) 3 O( x j 1 x j ) 4 2! 3! u j 2 u j u j ( x j 2 x j )
联立求解
F j，
多对角方程 追赶法求解（LU分解法）
紧致格式： 同样的基架点，可构造更高阶格式 （因为自由参数更多） （最高）精度=自由参数个数-1
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2. 构造差分格式的基本方法—— 待定系数法
u a1u j 2 a2u j 1 a3u j a4u j 1 O(3 ) x j
如果
u是准确的，则 u也是准确的 （假设边界条件没有误差）
n j j
5
关于守恒性格式的一些注解
1）
f j 1 / 2 f j 1 / 2 f x x
中的符号 f j 1/ 2
与函数f 在 j 1 / 2 点的值无关！
f j 1/ 2 f (u j l , u j l 1 ,......, u j l ) 是j点周围几个点上 f (或者u)值的函数， 为一记号，请勿理解为j+1/2点的值 ！
1 2u a 2u x TE 2 t 2 2! t j 2! x j
n n
微分方程
差分方程
截断误差：
4
d. 显格式及隐格式
显格式： 无需解方程组就可直接计算n+1层的值； 隐格式： 必须求解方程组才能计算n+1层的值
u a1u j k a2u j k 1 a3u j k 2 ...... am1u j k m O(m ) x j
要善于用数值计算的手 段研究CFD ， 不能仅限 于用理论手段研究CFD !
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3. 复杂网格的处理方法
… j-2
j-1
j
j+1 …
u u j 1 u j 1 O(x 2 ) 2x x j
3 u u j 1 u j 1 1 u ( ) x 2 3 j 2x 3! x x j
1 un un j j
t

1 1 n 1 1 un un j 1 2u j j 1 2 x
1/ bk 0
解出ak （可选）化成守恒型
f j 1/ 2 f j 1/ 2 f x x j
( 2) 3 a1 ( 1) 3 a2 0 3 a3 (1) 3 a4 0
小程序： 求系数
(3.1)
更一般的情况： m+1个基架点上构造的m阶差分格式：
1 1 u j 2 u j u j ( 2 ) u ( 2 ) 2 u ( 3) ( 2 ) 3 O ( 4 ) 2! 3! 1 1 u j 1 u j u j ( ) u ( ) 2 u ( 3) ( ) 3 O (4 ) 2! 3! 1 1 u j 1 u j u j ( ) u ( ) 2 u ( 3) ( ) 3 O (4 ) 2! 3!
非均匀网格
1） 一维情况： 非均匀网格 方法1 （常用）： 网格（Jacobian）变换
x x( )
f f d x dx
x x( )
i (i 1) /( N 1)
[0,1]的均匀网格
d dx
为已知函数
xi x( i )
将方程由物理空间变到计算空间 （以x 为自变量变为以 为自变量）
… j-2
j-1
j
j+1 …
( x j 2 x j ) 0 a1 ( x j 1 x j ) 0 a2 a3 ( x j 1 x j ) 0 a4 0 ( x j 2 x j )1 a1 ( x j 1 x j )1 a2 01 a3 ( x j 1 x j )1 a4 ( x j 2 1 x j ) 2 a1 ( x j 1 x j ) 2 a2 0 2 a3 ( x j 1 x j ) 2 a4 0
f j 1/ 2 b1 f j 2 b2 f j 1 b3 f j b4 f j 1 b5 f j 2
其中
b1 a1 ; bk bk 1 ak
守恒方程+ 守恒格式= 守恒解
(k 2,3,...)
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f. 传统型（非紧致）差分格式及紧致型差分格式
传统型： 运用多个点函数值的组合逼近一点的导数


多维问题，各方向独自离散；（时间同样考虑）
n n 1 n u u j u j O(t ) t t j
比有限体积法计算量小； 便于构造高阶格式；
3
基本概念：
a. 差分表达式及截断误差:
精度 （1阶） 截断误差 （2阶）
2 u u j 1 u j 1 u x 2 x 2! x j x j