第二章光的偏振效应

出射光束的琼斯矢量
⎛ i ⎞ ⎛1 ⎞ E′ = ⎜ ⎟ = i ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠
这是水平线偏振光。
对于一般的方位角 偏振角度旋转 2φ。 半波片的方位角为 入射光束的琼斯矢量为
φ, φ,
线偏振光仍保持为线偏振状态，
入射光束为垂直偏振状态，
计算半波片的琼斯矩阵为
⎛ 0⎞ E =⎜ ⎟ ⎝1 ⎠
一任意偏振态可表示为基矢的线性组合
⎛ Ex ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 0⎞ ˆx + E y e ˆy , Exy = ⎜ ⎟ = Ex ⎜ ⎟ + E y ⎜ ⎟ = Ex e ⎝ 0⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ Ey ⎠
Er ⎛1⎞ El ⎛1 ⎞ ˆR + El e ˆL , Exy = ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ = Er e 2 ⎝i ⎠ 2 ⎝ −i ⎠
1 ˆR = ˆx + ie ˆy ) (e e 2 1 ˆ ˆx − ie ˆy ) (e eL = 2
圆偏振光可由一对相位差为 ±π / 2 的平面偏振光组合而成
1 ˆx = ˆR + e ˆL ) (e e 2 i ˆy = − ˆR − e ˆL ) (e e 2
一对圆偏振光可组成平面偏振光。
1 ωl 令平均的绝对相位变化 ϕ = (ns + n f ) 2 c ωl 考虑到波片的相位延迟 Γ = (ns − n f ) c ω ins l ⎛ ⎞ ⎛E ′ ⎞ e c 0 ⎟ ⎛ Es ⎞ s ⎜ ⎜ ⎟= , ⎜ ω ⎟⎜ E ⎟ ⎜E ′⎟ ⎜ in f l ⎝ f⎠ f ⎝ ⎠ ⎝ 0 e c ⎟ ⎠
2
2
2 2
2. 基本偏振器件的变换矩阵
利用琼斯矩阵的方法可以很方便地计算出光束通过波片，移 相器等元件的偏振态的变化。 在琼斯矩阵法中，通常假定光在波片等元件表面上不存在反 射，认为光通过波片等元件是全透射的。 如图，一个方位角为 矢量描述
φ
的波片，入射光束的偏振态由琼斯
⎛ Ex ⎞ E =⎜ ⎟ ⎝ Ey ⎠
所以可以把由波片产生的变换写成：
⎛E ′ ⎞ ⎛ Ex ⎞ x ⎜ ⎟ = R(−φ )W0 R(φ ) ⎜ ⎟ Ey ⎠ ⎜E ′⎟ ⎝ ⎝ y ⎠ ⎛ cos φ sin φ ⎞ 式中，R(φ ) 是旋转矩阵， R(φ ) = ⎜ ⎟ sin cos − φ φ ⎝ ⎠ W0 是晶体sf坐标系中波片的琼斯矩阵，
iΓ / 2 ⎛ e 0 ⎞ iϕ W0 = e ⎜ − iΓ / 2 ⎟ ⎝ 0 e ⎠
如果干涉效应不重要或者不易觉察，则可将相位因子 e
iϕ
忽略，由上述可见，一块波片的作用可以由它的相位延迟
Γ 和它的方位角 φ 表征，并可由下面三个矩阵之积表示：
W = R(−φ )W0 R(φ )
一个波片的琼斯矩阵W是一个幺正矩阵，即
⎛ El ⎞ ⎛ Ex ⎞ 表象 ⎜ ⎟ 和 ⎜ ⎟ 之间的关系是幺正变换： ⎝ Er ⎠ ⎝ Ey ⎠ ⎛ Ex ⎞ 1 ⎛ 1 1⎞ ⎛ El ⎞ Exy = ⎜ ⎟ = = FElr , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ −i i ⎠ ⎝ Er ⎠ ⎝ Ey ⎠
式中
1 ⎛ 1 1⎞ F= ⎜ ⎟, 2 ⎝ −i i ⎠ F + = F −1.
φ + π / 2 代替，就得到与上述平面偏振光正交的偏振态。
⎛ − sin φ ⎞ ˆ J′ = ⎜ ⎟ φ cos ⎝ ⎠
沿z方向传播的简谐平面波，可以用分量形式表示如下：
⎧ Ex = Ax cos(τ + δ x ) ⎪ ⎨ E y = Ay cos(τ + δ y ) ⎪ ⎩ Ez = 0
⎛ cos ϕ − sin ϕ ⎞⎛ cos ε ⎞ Exy = R(−ϕ ) Eξη = ⎜ ⎟⎜ ⎟ i sin cos sin ϕ ϕ ε ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ cos ϕ cos ε − i sin ϕ sin ε ⎞ =⎜ ⎟ i sin cos cos sin ϕ ε ϕ ε + ⎝ ⎠
偏振光的强度
第二章 光的偏振效应和琼斯 矩阵表示
1. 光波偏振态的琼斯矩阵表示 2. 基本偏振器件的变换矩阵
1. 光波偏振态的琼斯矩阵表示
平面偏振光可表示为
⎛ cos φ ⎞ π π ˆ J =⎜ ⎟ (− ≤ φ < ) 2 2 ⎝ sin φ ⎠
归一化的琼斯矩阵
ˆ+J ˆ =1 J
式中 φ 为偏振光的振动平面与xz平面的夹角，即方位角。 将φ 用
⎛ El ⎞ Elr = ⎜ ⎟ , ⎝ Er ⎠
F为幺正矩阵，有 逆变换：
1 ⎛ 1 i ⎞ ⎛ Ex ⎞ + = Elr = F Exy , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E 2 ⎝1 −i ⎠ ⎝ y ⎠
一个单位振幅、零方位角的椭圆偏振态可表示为：
⎛ cos ε ⎞ Exy = ⎜ ⎟, ⎝ i sin ε ⎠
⎛ Eξ ⎞ ⎛ cos ϕ sin ϕ ⎞ ⎛ Ex ⎞ Eξη = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ = R(ϕ ) Exy , ⎜ E ⎟ ⎝ − sin ϕ cos ϕ ⎟ ⎠ ⎝ Ey ⎠ ⎝ η⎠
式中
⎛ cos ϕ sin ϕ ⎞ R(ϕ ) = ⎜ ⎟ sin cos ϕ ϕ − ⎝ ⎠
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R(ϕ ) 也是幺正矩阵，满足
半波片的相位延迟 Γ = π。 假定半波片的方位角为 入射光束的琼斯矢量为
φ = 45 ，入射光束为垂直偏振状态，
⎛ 0⎞ E =⎜ ⎟ ⎝1 ⎠
可以计算半波片的琼斯矩阵为
1 ⎛1 −1⎞⎛ i 0 ⎞ 1 ⎛ 1 1⎞ ⎛ 0 i ⎞ W= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ − − 1 1 0 i 1 1 i 0 2⎝ ⎠⎝ ⎠ 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎞ 0 ⎟ ⎛ Es ω ⎟⎜ E in f l c ⎟⎝ f e ⎠
⎞ ⎟, ⎠
式中， l 为波片的厚度， ω 为光束频率。 波片的相位延迟定义为 Γ = (ns − n f ) 由于常用晶体波片的双折射很小，即
ωl
c
ns , n f ,
ns − n f
因此波片引起的相位绝对变化可能是上述相位延迟的几百倍。
光波振幅为 Ax , Ay , 相位为 该平面波用琼斯矩阵表示为
τ = ωt − k ir .
⎛ Ax exp(iδ x ) ⎞ ⎛ J x ⎞ ˆ J =⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ Ay exp(iδ y ) ⎠ ⎝ J y ⎠
基本的琼斯矩阵与偏振的基态
沿x轴和沿y轴的单位矢量
⎛1 ⎞ ˆ ⎛ 0⎞ ˆ ˆx = ⎜ ⎟ , J = e ˆy = ⎜ ⎟ J =e ⎝ 0⎠ ⎝1 ⎠
入射光为圆偏振光时，半波片将使右旋圆偏振光转变成左旋圆偏振光。 入射光束的琼斯矢量
1 ⎛ 1⎞ E= ⎜ ⎟ 2 ⎝i ⎠
半波片的琼斯矩阵为
⎛ cos φ − sin φ ⎞⎛ i 0 ⎞⎛ cos φ sin φ ⎞ W =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ sin cos 0 i sin cos φ φ φ φ − − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ i(cos2 φ − sin 2 φ ) 2i sin φ cos φ ⎞ =⎜ ⎟ 2 2 i(sin φ − cos φ ) ⎠ ⎝ 2i sin φ cos φ
⎛ cos φ − sin φ ⎞⎛ i 0 ⎞⎛ cos φ sin φ ⎞ W =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ sin cos 0 i sin cos φ φ φ φ − − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ i(cos2 φ − sin 2 φ ) 2i sin φ cos φ ⎞ =⎜ ⎟ 2 2 i(sin φ − cos φ ) ⎠ ⎝ 2i sin φ cos φ π ⎛ ⎞ − cos( 2 ) φ 出射光束的琼斯矢量 ⎟ ⎛ i sin 2φ ⎞ ⎜ 2 E′ = ⎜ ⎟ ⎟ = i⎜ ⎝ −i cos 2φ ⎠ ⎜ − sin( π − 2φ ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2
⎛ 0⎞ ˆ Elr = ⎜ ⎟ , ⎝1 ⎠
⎛1 ⎞ ˆ Elr = ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠
坐标变换（旋转）下琼斯矩阵的变换
ˆx , e ˆy ) 将坐标轴旋转角度 ϕ 得到新的基矢 (e ˆξ , e ˆη ) (e
⎛ Eξ ⎞ ˆξ , e ˆη ) 下的表示 ⎜ ⎟ 以及在 (e ˆx , e ˆy ) 任意偏振态在 (e ⎜E ⎟ ⎝ η⎠ ⎛ ⎞ 下的表示 Ex 之间的关系为 ⎜ ⎟ ⎜E ⎟ ⎝ y⎠
⎛1 0⎞ ˆ Px = ⎜ ⎟, ⎝ 0 0⎠ ⎛ 0 0⎞ ˆ Py = ⎜ ⎟, ⎝0 1⎠
变换为
通光轴沿x方向
通光轴沿y方向
当一个任意偏振光通过光轴沿x方向的偏振片后，偏振态的
⎛ 1 0 ⎞ ⎛ Ex ⎞ ⎛ E x ⎞ ⎜ ⎟⎜ E ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 0 0⎠⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠
半波片的琼斯矩阵
或表示为
1 ⎛1 i ⎞⎛ cos ε ⎞ 1 ⎛ cos ε − sin ε ⎞ Elr = F Exy = ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟, 2 ⎝1 −i ⎠⎝ i sin ε ⎠ 2 ⎝ cos ε + sin ε ⎠
+
定义 tan ε 为椭圆率， ε > 0 表示右旋，ε < 0 表示左旋。 在上式中取 ±π / 4 分别得到右旋和左旋圆偏振光：
可改写为
iΓ / 2 ⎛E ′ ⎞ ⎛ e 0 ⎞ ⎛ Es s ⎜ ⎟ = eiϕ ⎜ − iΓ / 2 ⎟ ⎜ Ef ⎜E ′⎟ e 0 ⎝ ⎠ ⎝ f ⎝ ⎠
⎞ ⎟, ⎠
通过坐标变换，可以给出xy坐标系中出射光束偏振态的 琼斯矢量
⎛ E ′ ⎞ ⎛ cos φ − sin φ ⎞ ⎛ E ′ ⎞ s ⎜ x ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ E ′ ⎟ ⎝ sin φ cos φ ⎠ ⎜ E ′ ⎟ ⎝ y ⎠ ⎝ f ⎠
式中， Ex , E y 为两个复数分量， x轴和y轴是固定的实验坐标轴。
⎛ Es ⎜ ⎝ Ef
⎞ ⎛ cos φ sin φ ⎞ ⎛ Ex ⎞ ⎛ Ex ⎞ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ E ⎟ = R(φ ) ⎜ E ⎟ , ⎠ ⎝ − sin φ cos φ ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ y⎠
对于某个晶体，其“慢”轴和“快”轴是确定的。 上式中， Es , E f 分别是偏振矢量的慢分量和快分量，
光强可表示为
I = E E = ( Ex
+
*
⎛ Ex ⎞ 2 2 E y ) ⎜ ⎟ = Ex + E y . ⎝ Ey ⎠
*
如设光波通过器件后的琼斯矩阵为 E ′
⎛E ′ ⎞ x Exy′ = ⎜ ⎟ , ⎜E ′⎟ ⎝ y ⎠
则器件的透过率为
T=
E′ E′
+
E E
+
=
′ + E′ Ex y Ex + E y
这两个分量是波片的本征波，它们以自己的相速度和偏振进行 传播。由于这两个分量的相速度不同，它们通过晶体后其间将 产生相位差（相位延迟），从而改变了输出光束的偏振态。
令 ns , n f 分别为“慢分量”和“快分量”的折射率，则出射光束 在晶体sf坐标系中的偏振态为
ω ins l ⎛ ⎛E ′ ⎞ e c ⎜ s ⎟=⎜ ⎜E ′⎟ ⎜ ⎝ f ⎠ ⎜ ⎝ 0
右旋和左旋的圆偏振光的琼斯矩阵
1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛1 ⎞ ˆR = ˆL = e ⎜ ⎟, e ⎜ ⎟ i 2⎝ ⎠ 2 ⎝ −i ⎠
ˆR + ie ˆL = 0 e
ˆL , e ˆR ) 均可作为二维琼斯矩阵矢量空间的 ˆx , e ˆ y ) 或 (e (e
正交归一化的基矢，他们可以互相表示如下：
R −1 (ϕ ) = R + (ϕ ) = R(−ϕ ), R(ϕ1 ) R(ϕ2 ) = R(ϕ1 + ϕ2 ),
任意椭圆偏振光的琼斯矩阵
利用坐标系的旋转，可以计算一个斜椭圆偏振光的琼斯矩阵。 先假设在
ξη
坐标系中有一个正椭圆偏振态，再将此坐标系
连同椭圆偏振态一起逆时针旋转
ϕ.
斜椭圆偏振态在xy坐标系表示为：
出射光束的琼斯矢量
⎛1 ⎞ 1 E= (i cos 2φ − sin 2φ ) ⎜ ⎟ 2 ⎝ −i ⎠
四分之一波片的琼斯矩阵
四分之一波片的相位延迟 Γ = π / 2。 假定四分之一波片的方位角为
W +W = 1
一束偏振光通过波片，在数学上被描述为一个幺正变换。包 括琼斯矢量之间的正交关系以及琼斯矢量的大小在内的许多物理性 质，在幺正变换下是不变的。因此，假若两束光的偏振态是互相垂 直的，在通过一个任意波片后它们还是垂直的。
偏振器（偏振镜）
有一对互相正交的通过轴和消光轴，其功能在于将任意偏振 态的光波变换为沿偏振镜的通光轴方向的平面偏振光。 偏振器的琼斯矩阵为