优选立体几何专题复习集体备课

面也不垂直．其中，为真命题的是
A. ①和②
B. ②和③
C. ③和④
D. ②和④
【3】（09 江苏）设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；
（2）若 外一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l 和 平行；
（3）设 和 相交于直线 l ，若 内有一条直线垂直于 l ，则 和 垂直；
3
3
4
6
6
6
3
6
【3】（08 海南）某几何体的一条棱长为 7 ，在该几何体的正视图中，
这条棱的投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的
投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（ ）
A． 2 2
B． 2 3 C． 4
D． 2 5
a 1 x2 ,b 7 x2
2 3
b2h2
b2 (h1
h2
)
h1
5 3
h2 .
【5】（07 安徽）在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下
各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是
（写出所
有正确结论的编．号．）. ①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
【1】(07宁夏、海南)已知某个几何体的三
视图如下，根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得 这个几何体的体积是__8_03_00_c_m_3_.
20
20
正视图
20
侧视图
10
10
20
俯视图
B
S
A
D
E
C
【2】（09 海南）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单
位：c m2 ）为( A )
A．48+12 2 B．48+24 2 C．36+12 2 D．36+24 2
【7】右图为一个几何体的三视图，尺寸 如图所示，则该几何体的表面积（不考虑接触
点）为( C ).
A. 6 3
B. 18 4 3
C . 18 2 3
D. 32 3
【1】(09 山东)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平
面α内的一条直线，则“ ”是“ m ”的( )
A.充分不必要条件 C.充要条件
3．解答题中主要是位置关系的判定和空间 角的计算的综合,一般都可用几何法和向量法两 种方法求解,空间向量的应用越来越受重视．
立体几何是一个相对独立的章节，
与其它章节联系相对较少，有它自己一 套独立的体系，学习立体几何，应注意 点、线、面的位置关系及不同的语言(文 字语言、符号语言、图形语言)之间的转 换，同时要学习用运动变化的观点来认 识立体几何，复习中应特别注意：
V
.
【2】三棱锥 D-ABC 中， BAC 90,DAB 45, DAC 60, AC=4，AB=3，求二面角 B-AD-C 的余弦值．
BC
5 ，BE
32 2
，CF
2
3
，EF =
3
2 2
2,
D
CB CF FE EB
EB, FC
cos EB, FC
3 3
B
E
F C
A
【3】 AO与平面斜交，O为斜足，AO
题：其中真命题的代号是： B, D ．
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 P C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 P D．若往容器内再注入 a 升水，则容器恰好能装满
PP PP
图1
图2
设正四棱柱形底面边长为 b ，高为 h1 ，正四棱锥的高为 h2 ，
3 3
.
由于该二面角
A1
BD
A
C1
B
为锐角，
所以所求的二面角 A1 BD C1 的余弦值为
3. 3
近5年山东省命题特点
2.（08 山东）如图，已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为菱形，
PA 平面 ABCD， ABC 60 ， E，F 分别是 BC，PC 的中点．
（Ⅰ）证明： AE PD ； （Ⅱ）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
【1】如图:直三棱柱ABC—A1B1C1的体积
为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上,AP=C1Q，
则四棱锥B—APQC的体积为( )
B
【解A析. V】2
B.
V 3
C
.
V 4
D.
V 5
V V B APQC
B APQC
又
VB ABC
1 3
V
,
VB APQC
1 3
四边形A1D1EB 为平行四边形，
D1
C1
D1E ∥ A1B .
A1
B1
D1E 平面A1BD，A1B 平面A1BD，
D1E ∥平面A1BD.
D
E
C
A
B
(II) 以 D 为原点， DA, DC, DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系， 不妨设 DA 1，则 D(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(1,1, 0), C1(0, 2, 2), A1(1, 0, 2). DA1 (1,0, 2), DB (1,1,0). 设 n (x, y, z) 为平面 A1BD 的一个法向量，
由
n
DA1,
nwenku.baidu.com
DB
得
x2y 0 x y 0
，取
z
1，则
n
(2,
2,1)
.
D1
C1
设 m (x1, y1, z1) 为平面 C1BD 的一个法向量，
A1
B1
由
m
DC,
m
DB
得
2
y1 x1
2z1 0 y1 0
，取
z1
1,则
m
(1,
1,1)
.
D
E
C
cos m, n m n mn
3 9 3
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【 2】（ 09 广 东 ） 给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平
为 6 ，求二面角 E AF C 的余弦值．
z
P
2
P
F
A
B
E
C
F
A
Dy
DB
E
C
x
解：（Ⅰ）证明：由四边形 ABCD为菱形，ABC 60 ，可得
P
△ABC 为正三角形．
∵ E 为 BC 的中点，
∴ AE BC ．
F
又 BC∥ AD ， ∴ AE AD ．
A D
B
E
C
∵ PA 面 ABCD， AE 面 ABCD，
∴ A(0，0，0)，B( 3，1，0)，C( 3，1，0)，D(0，2，0) ，
P(0，0，2)，E( 3，0，0)，F ( 3 ，1 ，1) ， 22
z
P
∴ AE ( 3，0，0)，AF ( 3 ，1 ，1) ．
22
F
设平面 AEF 的一法向量为 m (x1，y1，z1) ，
A
Dy
B
则
m
立体几何的试题主要分为四大类：
☞空间几何体的概念及特征； ☞几何体的三视图和直观图； ☞平行、垂直关系的判定与性质的应用；
☞几何量(如角度、距离、面积和体积等)的计算.
选择、填空题一般为一至两个（主要考查①三 视图和直观图；②平行、垂直关系的判断；③几何 体的几何特征.)
解答题常常考查①证明平行、垂直②空间角的 计算问题．重点考查逻辑推理和空间想象能力.
m
AE AF
0，
因此
0，
3x1 0，
3 2
x1
1 2
y1
z1
0．
E
C
x
取 z1 1，则 m (0，2，1) ，
z
∵ BD AC ， BD PA ， PA AC A， P
∴ BD 平面 AFC ，
故 BD 为平面 AFC 的一法向量．
F
又 BD ( 3，3，0) ，
A
B
E
C
x
(1)立足课本，控制难度. 重点突出，坚持稳 定，同时改革探索是新高考的导向，课本在复 习中的作用越来越重要．课本例题具有紧扣教 材，简明扼要，难度适中，方法典型，符合 “通法通性”的特点，不少定理是以例题的形 式出现的，因此重视课本的作用是能否提高复 习效果的关键．
(2)总结规律，规范训练．立体几何解题 过程中常带有明显的规律性．如：角的求法， 向量法证明平行与垂直等，只有不断总结，才 能不断提高．本章复习还应注意规范训练．因 为高考中反映出这方面的问题十分严重，不少 考生对作、证、求三环节交代不清，表达不够 规范、严谨，因果关系不充分，图形中各元素 间关系理解错误，符号语言不会运用等，这些 问题都需要规范训练才能解决．
Dy
cos m，BD m BD 2 3 15 ． m BD 5 12 5
体
D
E
C
P
F
A
B
E
C
D1 A1
C1 B1
E1
D
C
D
E
A
F
B
A
B
第
一
证线面平行
问
证线线垂直
证线面平行
第
二 求二面角的余弦值 求二面角的余弦值 求二面角的余弦值 问
2010年
P
几
何
体
A
B
E D
C
第
一
证面面垂直
问
第 求线面角的大小
二 问
求几何体的体积
2011年
证线面平行 求二面角的大小
2012年
近5年山东省命题特点
第八章 立体几何
优选立体几何专题复习集体备 课
主页
空间几何体
空间几何体的结构 空间几何体的体积、表面积
柱、锥、台、球的结构特征 三视图与直观图的画法
点、线、面之间的位置关系
立体几何是高考的重要内容，从知识结 构上分析有如下特点：
1．本章知识点多，需加强理解．①如空 间几何体的结构特征． ②几何体的表面积、 体积公式． ③三视图的特点． ④平面的基本 性质及应用． ⑤直线与直线、直线与平面、 平面与平面的位置关系的判定及性质． ⑥三 种空间角的定义．⑦利用空间向量求空间角 及距离的方法等．
与平面成角，B是A在上的射影,OD是
内的直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6 3
.
A
O
B
D
探究点1. 立体几何中的最值问题
52
探究点2. 立体几何与函数图像
V
1 3
（12
3
x
sin
30（) 8
2
x)
-
1 2
x2
2x, x [0, 3]
07年
08年
09年
D1
C1
几
A1
B1
何
（4）直线 l 与 垂直的充分必要条件是 l 与 内的两条直线垂直。
上面命题中，真．命．题．的序号 (1)(2) （写出所有真命题的序号）.
【4】（08 江西）如图 1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同 底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 a 升水时，水面恰好经过正四棱 锥的顶点 P．如果将容器倒置，水面也恰好过点 P（图 2）．有下列四个命
(a b)2 ≤ a2 b2 ,
2
2
6
x
a
7
b
1
a b ≤ a2 b2 1 x2 7 x2 2
2
2
2
【4】(09 山东)一空间几何体的三视图如图所示,则该
几何体的体积为(
).
A. 2 2 3
B. 4 2 3
C. 2 2 3
3
D. 4 2 3
3
2
2 2
正(主)视图
2
2 侧(左)视图
1.（07 山东）如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，已
知 DC DD1 2AD 2AB ， AD DC ， AB∥DC ．
（Ⅰ）设 E 是 DC 的中点，求证： D1E ∥平面 A1BD1 ；
（Ⅱ）求二面角 A1 BD C1 的余弦值． D1
A1
C1 B1
D
E
C
A
B
解：(I)连结 BE ，则四边形 DABE 为正方形， BE AD A1D1，且 BE ∥ AD ∥ A1D1 ，
2．空间想象能力要求高.复杂几何体的结 构，由几何体画三视图，由三视图还原几何体; 线面位置关系的讨论判定;空间直角坐标系的建
立及点的坐标的确定都需要有较强的空间想象
能力．
3．运算能力要求高.体现在利用空间向量
求空间角及距离，还体现在复杂几何体的表面
积和体积的计算上． 4．本章知识结构思路清晰.首先整体、直
观把握几何体的结构特点;再按照点⇒线⇒面的 位置关系的判定过程和面⇒线⇒点的性质过程 进行两次转化与化归;还介绍了空间向量在立体 几何中的应用．
从新课改两年各省份的高考信息统计可以 看出，命题呈现以下特点：
1．客观题中重点考查空间几何体的三视图 、体积与表面积，借以考查空间想象能力．
2．点、线、面的位置关系是本章重点，可 在客观题中考查平行与垂直的判定和性质，也 可在解答题中考查推理证明．
俯视图
【5】若一个正三棱柱的三视图如下图所
示,则这个正三棱柱的表面积为( C ).
A. 18 3
B. 15 3
C. 24 8 3
C . 24 16 3
【6】如果一个几何体的三视图如图所示, 则此几何体的表面积是( A ).
A. 80 16 2 B. 96 cm
C . 96 16 2
D. 112
∴ PA AE ．
而 PA 面 PAD ， AD 面 PAD 且 PA AD A，
∴ AE 面 PAD ．又 PD 面 PAD ，
∴ AE PD ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 AE，AD，AP 两两垂直，以 A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，又 E，F 分别为 BC，PC 的中点，