线性代数部分1

线性代数部分

线性代数是高等数学中一个重要部分,也是一门应用十分广泛的数学分支,是经济管理

类，理工科等各专业的一门重要的理论基础课程，线性代数为研究和处理涉及许多变元的线性问题提供了有力的数学工具，这一工具在工程技术，经济科学和管理科学中都有广泛的应用.通过本课程的学习，使学生掌握线性代数的基本概念，基本理论和方法，培养学生应用线性代数的基本思想和基本方法来分析和解决实际问题的能力.

本模块主要讲述了行列式、克莱姆法则、矩阵的概念与运算、逆矩阵、分块矩阵、矩阵的秩、向量、线性方程组的解的结构，Mathematica 软件应用等基本知识、基本概念和方法.

第一章 行列式与矩阵

【案例1】一百货商店出售四种品牌的电风扇：A ，B ，C ，D 四种品牌，售价分别为：220元，240元，260元，300元，若某周共售出13台风扇，毛收入为3200元.并已知C 品牌的销售量为A 、D 销售量的总和，C 品牌的毛收入也是A 、D 毛收入的总和，问各种品牌的销售量.

【案例2】某地区甲，乙，丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，三个商场第一季度第一种品牌的销售量分别为20，25，18，（单位：台），第二种品牌的销售量分别为10，11，9，三个商场第二季度第一种品牌的销售量分别为30，28，20，第二种品牌的销售量分别为20，19，17.两种家用电器的单位售价分别为3和4（单位：千元），单位利润分别为0.8和1（单位：千元），求这三家商场在第一季度和第二季度的总收入和总利润.

【案例3】已知总成本y 是产量x 的二次函数2

y a bx cx =++，根据统计资料产量和总成本之间有如下表所示数据，试求总成本函数中的,,a b c 。

对案例1，我们将在本章引入用行列式的方法来解决．对案例2，我们将引进矩阵的概念，并用矩阵的运算解决．对案例3,我们用矩阵初等行变换求解.

§1.1 行列式的定义

一、二阶行列式与三阶行列式

行列式作为一种数学工具，起源于线性方程组的求解问题．在中学我们学过用代入消元法和加减消元法求解二元一次方程组和三元一次方程组．

设有二元线性方程组

11112211212222,.

a x a x

b a x a x b +=⎧⎨

+=⎩ （5-1）

可得

112212211122

11221221211

2121

()()a a a a x b a a b a a a a x a b b a -=-⎧⎨

-=-⎩

（5-2）

112212210a a a a -≠当时，此方程组有唯一解

122122112121121122122111221221

, b a a b a b b a

x x a a a a a a a a --=

=--． （5-3）

为了形式上的统一性，我们引入记号

1112

11221221

2122

a a a a a a a a =-，

称之为二阶行列式．二阶行列式等于它的左上角到右下角连线（“主对角线”）上的两个元

素的乘积减去右上角到左下角连线（“副对角线”）上的两个元素的乘积，此规律又叫做“对角线法则”．

利用二阶行列式的定义，记

1112

112212212122

a a D a a a a a a =-=

，

112111

122112*********

22

212

,b a a b D a b a b D a b a b b a a b =-=

=-=

．

则解（5-3）可以表示为

1212,D D x x D D =

=．

也就是说，12x x 与的分母都是系数行列式

11

12

2122

(0)a a a a ≠，分子是分别用常数项取代1112

2122

a a a a 的第一列与第二列而得到的．

例1 121221

213

x x x x -=-⎧⎨

+=⎩解方程组．

解 12

11(2)2521

D -=

=⨯--⨯=，

121211

(1)1(2)1325,113(1)215131213

D D ---=

=-⨯--⨯===⨯--⨯=，

0D ≠因，故此方程组有唯一解

12122515

5, 3.55

D D x x D D =

===== 类似地，我们引入三阶行列式

111213

21

222311223312233113213213223112213311233231

32

33

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---．

（此式也可以解释为某种形式的“对角线法则”） 将上式右端按第一行的元素提取公因子，可得

111213

2122

231122332332122133233113213222313132

3322

2321232122

11

121332

3331333132

()()() a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =---+-==-+（5-4）

表示式（5-4）具有两个特点：