考点1直线与圆锥曲线的位置关系

圆锥曲线的热点问题
[最新考纲]
1．理解数形结合的思想．
2．了解圆锥曲线的简单应用.
知 识 梳 理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．
即⎩⎨⎧
Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，
消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切；
Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．
(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行．
2．圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
(2)圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|(抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)．
3．圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1
中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0
；在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0
；在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0
. 辨 析 感 悟
1．对直线与圆锥曲线交点个数的理解
(1)直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 29＝1恒有两个公共点．(√)
(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．(×)
(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．(√)
2．对圆锥曲线中有关弦的问题的理解
(4)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C
于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为x 24＋y 23＝1. (√)
(5)已知点(2,1)是直线l 被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点，则l 的方程为x ＋4y －6＝0. (×) (6)(2014·潍坊一模改编)直线4kx －4y －k
＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0
的距离等于94. (√)
[感悟·提升]
两个防范 一是在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况，如(2)；
二是中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部，如(5).
考点一 直线与圆锥曲线位置关系
【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为
F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 解 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，所以c ＝1.
把点P (0,1)代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b ＝1，
所以a 2＝b 2＋c 2＝2.
所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.
(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在，且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 22
＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切， 所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0， 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①
联立⎩
⎨⎧ y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ， 消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.
因为直线l 与抛物线C 2相切，
所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0.
整理得km ＝1.②
综合①②，解得⎩⎨⎧ k ＝22，m ＝2或⎩⎨⎧ k ＝－22，m ＝－ 2.
所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.
规律方法 将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：
在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．
【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .
(1)求k 的取值范围；
(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得
向量OP →＋OQ →与AB →
垂直？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，
代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，
整理得⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于①中
Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0， 解得k ＜－22或k ＞22.
即k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，＋∞. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
则OP →＋OQ →
＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)
由方程①得，x 1＋x 2＝－42k 1＋2k 2
， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝－42k 2
1＋2k 2
＋2 2. ∵(OP →＋OQ →)⊥AB →
，∴(x 1＋x 2)·(－2)＋y 1＋y 2＝0，
即：－42k 1＋2k 2·(－2)－42k 2
1＋2k 2
＋22＝0. 解得k ＝－24，由(1)知k 2＞12，与此相矛盾，
所以不存在常数k 使OP →＋OQ →与AB →
垂直.。