数学八年级上册《直角三角形三边的关系》课件
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a2+b2=c2
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
B 几何语言：
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）.
a
c
∟
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. C b A
赵爽弦图
c b
a
b-a
证明： S大正方形＝c2
S小正方形＝(b-a)2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
上面三个正方形的面积之间有什么关系？ （图中每一格代表一平方厘米）
SP+SQ=SR 等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 AC2+BC2=AB2
想一想
这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平 方和等于斜边的平方
那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和 是否等于斜边的平方呢?
利用勾股定理进行计算
R Q
P
R
Q
P
S正方形R
72 4 1 34 2
25
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.
做一做 分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直 角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这 个直角三角形是否成立.
A
13 5
C
12
B
归纳
由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如 果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
B
4
A
6.如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆 底部12 m处.旗杆原来有多高?
9m 12 m
解：设旗杆顶部到折断处的距离为x m，根据勾股 定理，得
92 122 x2
x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m.
认识勾 股定理
如果直角三角形两直角边长 分别为a，b，斜边长为 c ， 那么a2+b2=c2
即 c2=4×12 ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2
所以 a2+b2=c2
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明 才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002 年在北京召开的国际数学大会的会徽.
做一做
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，
你能否根据这一图形，证明勾股定理.
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ; 也可以表示为 c2 +4•ab/2 .
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴ a2+b2=c2
b
ac
c
b a
a
cb ca
b
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结 合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．
练一练
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：
100
225
x
17
? 15
已知直角三角形两边，求第三边.
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积
为 64 cm² .
15 cm
17 cm
2.判断题
①△ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) ②△ABC的a=6,b=8,则c=10 ( )
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高 3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基 的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
直角三角形三边的关系
观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米；
AR P
CQB
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
试一试
A
R Q
C
P
B A
R
Q
C
B
P
(每一小方格表示1平方厘米)
P的面 Q的面 R的面 积(单 积(单 积(单 位长度) 位长度) 位长度)
图2
9
16
25
图3
9
4
13
P、Q、
R面积 关系
直角三 角形三 边关系
SP+SQ=SR BC2+AC2=AB2 BC2+AC2=AB2
R Q
P
R
Q
P
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积.
3.填空题 在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则△ABC面积为_2_4___, 斜边为上的高为4_.8_____.
A D
C
B
4.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),Biblioteka 这时梯脚与墙的距离是多少?A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
1.直角三角形三边的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方 法．（重点）
2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历 观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合 的数学思想．（难点）
问题情境
=0.49，
C
B 所以BC=0.7.
5.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶 上方4 km处，过了15 s，飞机距离这个男孩头顶5 km.这一 过程中飞机飞过的距离是多少千米？
解：在Rt△ABC中，
BC2 =52 -42 =9，
BC>0
4
BC=3(km)
答：飞机飞过的距离是3km.
C
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
B 几何语言：
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）.
a
c
∟
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. C b A
赵爽弦图
c b
a
b-a
证明： S大正方形＝c2
S小正方形＝(b-a)2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
上面三个正方形的面积之间有什么关系？ （图中每一格代表一平方厘米）
SP+SQ=SR 等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 AC2+BC2=AB2
想一想
这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平 方和等于斜边的平方
那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和 是否等于斜边的平方呢?
利用勾股定理进行计算
R Q
P
R
Q
P
S正方形R
72 4 1 34 2
25
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.
做一做 分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直 角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这 个直角三角形是否成立.
A
13 5
C
12
B
归纳
由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如 果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
B
4
A
6.如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆 底部12 m处.旗杆原来有多高?
9m 12 m
解：设旗杆顶部到折断处的距离为x m，根据勾股 定理，得
92 122 x2
x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m.
认识勾 股定理
如果直角三角形两直角边长 分别为a，b，斜边长为 c ， 那么a2+b2=c2
即 c2=4×12 ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2
所以 a2+b2=c2
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明 才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002 年在北京召开的国际数学大会的会徽.
做一做
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，
你能否根据这一图形，证明勾股定理.
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ; 也可以表示为 c2 +4•ab/2 .
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴ a2+b2=c2
b
ac
c
b a
a
cb ca
b
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结 合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．
练一练
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：
100
225
x
17
? 15
已知直角三角形两边，求第三边.
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积
为 64 cm² .
15 cm
17 cm
2.判断题
①△ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) ②△ABC的a=6,b=8,则c=10 ( )
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高 3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基 的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
直角三角形三边的关系
观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米；
AR P
CQB
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
试一试
A
R Q
C
P
B A
R
Q
C
B
P
(每一小方格表示1平方厘米)
P的面 Q的面 R的面 积(单 积(单 积(单 位长度) 位长度) 位长度)
图2
9
16
25
图3
9
4
13
P、Q、
R面积 关系
直角三 角形三 边关系
SP+SQ=SR BC2+AC2=AB2 BC2+AC2=AB2
R Q
P
R
Q
P
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积.
3.填空题 在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则△ABC面积为_2_4___, 斜边为上的高为4_.8_____.
A D
C
B
4.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),Biblioteka 这时梯脚与墙的距离是多少?A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
1.直角三角形三边的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方 法．（重点）
2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历 观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合 的数学思想．（难点）
问题情境
=0.49，
C
B 所以BC=0.7.
5.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶 上方4 km处，过了15 s，飞机距离这个男孩头顶5 km.这一 过程中飞机飞过的距离是多少千米？
解：在Rt△ABC中，
BC2 =52 -42 =9，
BC>0
4
BC=3(km)
答：飞机飞过的距离是3km.
C