工程数学(本)2013秋模拟试题(二)

工程数学（本）2013秋模拟试题（二）

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-3

31232121a x x a x x a x x 相容的充分必要条件是( B )，其中0≠i a ，1,2,3i =．

A ．0321=++a a a

B ．0321=-+a a a

C ．0321=+-a a a

D ．0321=++-a a a

2．设B A ,都是n 阶方阵，则下列等式中正确的是( C )． A ．B A B A +=+ B ．11

11A B A B ----+= C ．AB A B = D ．A A λλ=

3．下列命题中不正确的是（ A ）．

A ．A 与1A -有相同的特征值

B ．A 与A '有相同的特征多项式

C ．若A 可逆，则零不是A 的特征值

D ．A 与A '有相同的特征值

4．若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ D ）．

A ．1)()(=+

B P A P B ． P AB P A P B ()()()=

C ．P A P A B ()()=

D ． P A B P A P B ()()()+=+

5．设随机变量X ，则下列等式中不正确的是（ A ）．

A ．(21)2()E X E X +=

B ． (21)4()D X D X +=

C ．22

()()(())D X E X E X =- D ． ()()D X D X -=

2I -= 0 ． 2．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称数λ为A 的 特征值 ．

3．已知()0.2,()0.4P A P B ==，则当事件A ,B 相互独立时，()P AB = 0.08 ．

4．设随机变量1234~0.10.30.5X a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，则=a 0.1 ． 5．不含未知参数的样本函数称为 统计量 ．

三、计算题（每小题16分，共64分）

1．设矩阵122110135A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，121104B ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，AX B =，求X ． 解：利用初等行变换可得

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101310011210001221100531010011001221 ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→112100235010225021112100011210001221 ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→112100235010245001 因此， ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1122352451A 于是由矩阵乘法可得

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-1152614011211122352451B A X ． 2．求线性方程组12312312312324523438213

496

x x x x x x x x x x x x -+=-⎧⎪++=⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩的通解．

解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----14770281414014770542169141328341325421

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00

000000211012010000000021105421 方程组的一般解为 ⎩⎨⎧+=--=21232

31x x x x ，(其中x 3是自由元) 令x 3 = 0，得到方程组的一个特解X 0 =)0,2,1('-；

不计最后一列，x 3 = 1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系

X 1 =)1,1,2('-

于是，方程组的通解为： 10kX X X +=，(其中k 是任意常数)．

3．设~(2,25)X N ，试求: (1) (1217)P X <<； (2) (3)P X >-． （已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9773.0)2(=Φ=Φ） 解：⑴)35

22()5217525212()1712(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 0215.09772.09987.0)2()3(=-=Φ-Φ= ⑵)15

2()52352()3(->-=-->-=->X P X P X P 8413.0)1(=Φ=

4．某厂生产日光灯管．根据历史资料,灯管的使用寿命X 服从正态总体

2(1600,70)N ．在最近生产的灯管中随机抽取49件进行测试，平均使用寿命为1520小时．假设标准差没有改变，在0.05的显著性水平下，判断最近生产的灯管质量是否有显著变化．(已知 96.1975.0=u )

解：零假设1600:0=μH ；1600:1≠μH ．

由于标准差没有改变，故已知2270=σ

，选取样本函数 U x n

N =-μ

σ~(,)01 由已知1520=x ，16000=μ，700=σ，49=n ，于是得

84970

1600

152000

-=-=-=n x U σμ

在0.05的显著性水平下， 96.1800

>=-n x σμ，因此拒绝零假设0H ，即最近生产的

灯管质量出现显著变化．

四、证明题（本题6分）

1．设B A ,都是n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，试证B AB '也是对称矩阵．

证明：由矩阵转置的运算性质可得

B A B B A B AB B ''=''''='')()(

又A 为对称矩阵，故A A ='，从而

AB B AB B '='')(

因此，AB B '也是对称矩阵．