高中数学人教A版必修4第一章正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像平移及解析式的求法

正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像平移
及解析式的求法
【知识点梳理及分析】
一、有关正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)基础知识
1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如
A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1
T
叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．
3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下： 4．图象的对称性
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：
(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π
2，k
∈Z)成轴对称图形．
(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 二、图像的平移转换
图像的平移转换遵循左加右减，上加下减原则 1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换
（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.
（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的
1|
|
ω倍，得到
y ＝sin ω x 的图象.
（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.
2.两种变换方法
注意：左侧为先平移后伸缩，右侧为先伸缩后平移 三、正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)解析式的求法
1.表达式的化简（主要利用辅助角公式）
（1）辅助角公式sin cos a b αα+22)a b αϕ++(其中,辅助角ϕ所在象
限由点(,)a b 所在的象限决定,2222sin tan b
a a
b a b ϕϕϕ=
==++ ，该法也叫合一变形).
（2）所涉及到公式
① 两角和与差的正弦、余弦公式： (1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-
②二倍角公式
（1）a a a cos sin 22sin =
（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2
222-=-=-=a a a a a
③降幂公式：
（1）22cos 1cos 2a a += （2） 2
2cos 1sin 2a
a -=
注：表达式的化简攻略
可化简的表达式多种多样，很难靠举例一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，主要有以下几个特征：
（1）观察式子：主要有三点
①系统：整个表达式是以正余弦为主，如果有正切需要切化弦进行统一 ②确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式看做一个角来进行变换
③式子是否齐次：式子要做到齐次统一，利用所涉及到三角函数恒等式的公式进行转换，把同一角转换为齐二次式或是齐一次式在使用辅助角公式，使结果成为y ＝A sin(ωx ＋φ)
（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂（注意平方降幂）.
2. 求解A 、ω、φ以及确定解析式 (1)A 的求解
A 的求解：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点
2
（2）ω的求解
结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π
ω
(ω>0)来确定ω
①如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两条对称轴为x=a ，x=b （a<b ），则T=2(b-a).
②如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两个对称中心为（a ，0）、（b ，0）（a<b ），则T=2(b-a).
③如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的对称轴与对称中心分别为x=a ，（b ，0）则T=4a -b .
注意：在y ＝Asin(ωx ＋φ)中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.
（3）φ
的求解
①代入法：把图上已知点代入即可. ②五点法
确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”（即图像上升时与x 轴交点）为ωx ＋φ=0；“第二点”（即图像的“峰点”）为ωx ＋φ=π
2；“第三点”（即图像下降时与x 轴交点）为ωx ＋φ=π；
“第四点”（即图像的“谷点”）为ωx ＋φ=3π
2
；“第五点”为ωx ＋φ=2π.
（4）y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 中“B ”的确定 B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝
最高点＋最低点
2
补充：函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：
①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论
②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性
③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束
④d
x c b
x a y ++=
sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决
⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，
但须注意t 的取值范围：2≤t 。

【例题及练习】
题型1：三角函数的图象
例1．函数f (x )=2
sin cos x x
x x ++在[-π，π]的图像大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
例2.下列函数中，以
2
π为周期且在区间(4
π，
2
π)单调递增的是（） A ．f (x )=│cos2x │ B ．f (x )=│sin2x │ C ．f (x )=cos │x │ D ．f (x )=sin │x │
题型2：三角函数图象的变换
例1.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）
（A ）
sin(2)
10y x π
=- （B ）y =sin(2)5x π- （C ）y =1sin()210x π
- （D ） 题型3：三角函数图象的应用
例1：设函数()cos()6f x x π
ω=+在[]-ππ，的
图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为 A.
109π B. 76
π
C.
43π D. 32
π
例2．若x 1=4π，x 2=4
3π
是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=
A ．2
B ．3
2 C ．1
D ．
12
例3．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.
1sin()220
y x π=-
.
)0,0)(sin(.4求这个函数的解析式的图象的一部分，
右图所示的曲线是例>>+=ωϕωA x A y
参考答案： 题型一 例1 D 例2 A
题型二 例1 C 题型三
例1 C 例2 A 例3 2π- 例4 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=32sin 2y πx。