谈数学教师解题能力的培养

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谈数学教师解题能力的培养

摘要：数学教师应当加强自身解题能力的培养

关键字：解题能力 陈明远

按照波利亚的观点，“数学技能就是解题能力——不仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独创性和想象力的问题。所以，中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练”（《数学的发现》第一卷序言）。

要想加强学生解题能力的训练，数学教师首先自己要加强解题能力的训练。

要提高解题能力必须多做题。笔者认为，数学教师解题能力的培养在多做题的同时，还应该着重从以下几方面来考虑：

第一， 理解题意。

解题的第一步当然是审题。教师要教会学生审题，首先自己要会审题。

例如已知ABC 是锐角三角形，外心为O ，P 在BC 上，AP 是高，若30BCA ABC ∠≥∠+︒，证明90CAB COP ∠+∠<︒

图1 图2

几何问题应当先画一个草图来帮助理解，ABC 应当如图1，而不是如图2。理由是BCA ABC ∠>∠，所以A 点偏在右边（确切地说，A 在BC 的中垂线的右方） 再把外接圆画出来，其中直径EF 是BC 的中垂线，过BC 的中点D 。

A 在EF 右侧表明BCA ABC ∠>∠，但这仅是一个粗糙的不等式。 已知条件30BCA ABC ∠≥∠+︒ ○1体现呢？

对已知条件○1的理解，就是解决本题的第一个关键。

现在有外接圆，BCA ∠的度数就是BA 的一半，ABC ∠ 的度数就是CA 的一半，图是关于EF 对称的，所以2BA CA EA -=

从而○1即EA 的度数30≥︒，转换成角，也就是30EOA ∠≥︒。 ○2

至此，对已知条件○1，我们已经有了充分的了解，应当再看一看题目所要证明的结论

90CAB COP ∠+∠<︒ ○

3其中CAB ∠是一个基本的角（即ABC 的角），而COP ∠则较难把握。CAB ∠与什么角的和恰好是90︒呢？稍想一下就知道

12

DOC BOC CAB ∠=∠=∠。所以OCD ∠与CAB ∠的和恰好是90︒，这样要证明的○3

就化为COP OCD ∠<∠ ○4

这可以说我们又走过了第二个关键步骤。要证明的○4与已有的○2似乎相距很远，如何将它们挂上钩？这是最后的关键。我们将一切“关系”集中到CD 上。

DP 即A 到OE 的距离，由于○2，111222

DP OA OC CD ≥=>，所以 CP DP OP << ○

5，由○5立即得出○4。 本题是2001年第42届IMO 的第一道试题。有一定难度，但理解题意是最重要的，它至少可以帮助我们走过两个关键步骤（只剩下最后一步）。

第二，一题多解。对每一题尽量考虑用多种方法求解，不局限于书上的常规方法。 例如：如果边长顺次为25，39，52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为多少？（1995年全国初中数学联赛题）

解法一：设ABCD 为圆内接四边形，且AB=25，

BC=39，CD=52，DA=60.由圆内接四边形性质（如图3）

180A C ∠=︒-∠，连接BD ，由余弦定理

2222cos BD AB AD AB AD A =+-••∠

22

2cos CB CD CB CD C =+-••∠ 图3

即2222256022560cos 395223952cos A A +-⨯⨯⨯∠=++⨯⨯∠ 解得222225603952625360015212704cos 02(25603952)2(25603952)

A +--+--∠===⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯ 90A ∴∠=︒，BD 为圆的直径。22256065BD =+=

故圆周长为65π

解法二：四边形的长分解因数如下：BC=39313=⨯，CD=52413=⨯

AB=2555=⨯，DA=60125=⨯

由此看出BAD 、BCD 均为222222

(345,51213Rt +=+=，因而,A C ∠∠均为直角）。此时222256065BD R =+=，故圆周长为65π

解法一把平面几何和余弦定理结合起来获得思路；而解法二通过观察与分析题目给的四边形的边长数，运用分解因数法和勾股定理从而得到两个直角三角形，判断出BD 是外接圆的直径，思路巧妙，方法简洁，可以说是奇思妙解。

第三，变化题目。变化题目就是变换问题的条件或结论，从而更深刻地揭示问题的本质。 例如：P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，AD ⊥BC 于点D ，如图4，求证：PE+PF=AD

证明：连结CP APC BPC ABC S S S +=

B

即

111

222

AC EP BC PE BC AD

•+•=•

而AC=BC，PE PF AD

∴+=

图4

下面，对上题进行变式探究：

如果让点P运动到AB的延长线上，结论如何？再进一步，若点P是正三角形内的任意一点或者是正三角形外的一点，关于高线之间又有怎样的数量关系？

变式1 如图5，点P为等腰三角形ABC的底边BA的延长线上的一点，PE CA

⊥的延长线于点E，PF BC

⊥于点F，AD BC

⊥于点D。PE、PF、AD之间存在着怎样的数量关系？

解：连结CP，由CPB CPA CAB

S S S

-=得：

111

222

BC PF AC PE BC AD

•-•=•

又AC BC

=，PF PE AD

∴-=

变式2 如图6，点P为正三角形ABC

PE AC

⊥于点E，PF BC

⊥于点F，PG AB

⊥PF、PG、AD之间存在怎样的数量关系？

解：连结CP、AP、BP

APC PBC APB ABC

S S S S

∴++=

1111

2222

AC EP BC PF AB PG BC AD ∴•+•+•=•

而AC=BC=AB 图6

EP FP GP AD

∴++=

变式3 点P为正三角形ABC外的一点，且PE AC

⊥于点E，PF BC

⊥于点F，PG AB

⊥

于点G，AD BC

⊥于点D，此时PE、PF、PG、AD之间存在怎样的数量关系？

（根据题意画出图形，发现符合条件的图形不止一个，经过测量和分析会发现，在图7中有PE+PF-PG=AD的结论，在图8中有PF-PE-PG=AD的结论，证明方法与上述问题类似，具体证明略）

图7