高中数学经典题型50道(另附详细答案)讲解学习

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数学题高中题带答案解析

数学题高中题带答案解析一、选择题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且该点为函数的唯一极值点。

若a>0，求b/a的取值范围。

答案解析：由题意知，f(x)在x=1处取得极小值，因此f'(x)在x=1处为0。

首先求导数f'(x) = 2ax + b。

将x=1代入得f'(1) = 2a + b = 0，从而得到b = -2a。

由于a>0，所以b<0。

因此，b/a = -2。

2. 一个等差数列的前三项分别是2x-3，4x-1和10-3x，求x的值。

答案解析：由等差数列的性质可知，第二项减去第一项等于第三项减去第二项，即(4x-1) - (2x-3) = (10-3x) - (4x-1)。

化简得2x + 2 = 7 - 7x，解得x = 1。

3. 已知一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，且d<r/2，求圆上到直线距离最大的点到直线的距离。

答案解析：圆心到直线的距离d是圆心到直线垂线段的长度。

由于d<r/2，根据勾股定理，圆上到直线距离最大的点实际上就是圆心投影点到直线的那一侧的圆上点。

因此，该点到直线的距离为半径r与圆心到直线垂线段d之和，即r + d。

二、填空题1. 若一个等比数列的前三项分别为a, b, c，公比为q，那么该数列的通项公式为______。

答案解析：等比数列的通项公式为an = a * q^(n-1)，其中an表示第n项，a为首项，q为公比。

2. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=x的对称点B的坐标为______。

答案解析：点A(2,3)关于直线y=x的对称点B的坐标可以通过交换A点的x和y坐标得到，即B(3,2)。

三、解答题1. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，求g(x)的单调区间。

答案解析：首先求函数g(x)的导数g'(x) = 3x^2 - 6x - 9。

高中数学经典高考难题集锦

《高中数学经典高考难题集锦》一、集合问题1. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，求集合A的元素。

解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0，找出满足条件的x的值。

然后，将这些值组成集合A。

2. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，集合B={x|x^24x+3=0}，求集合A∩B。

解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0和x^24x+3=0，找出满足条件的x的值。

然后，找出同时属于集合A和集合B的元素，即求出集合A∩B。

3. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，集合B={x|x^24x+3=0}，求集合A∪B。

解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0和x^24x+3=0，找出满足条件的x的值。

然后，找出属于集合A或集合B的元素，即求出集合A∪B。

二、函数问题1. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的零点。

解答思路：函数的零点即函数图像与x轴的交点，也就是使函数值为0的x的值。

因此，我们需要解方程x^25x+6=0，找出满足条件的x的值，这些值即为函数f(x)的零点。

2. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的单调区间。

解答思路：函数的单调性是指函数在其定义域内是否单调递增或单调递减。

我们可以通过求函数的一阶导数f'(x)，然后判断f'(x)的符号来确定函数的单调性。

当f'(x)>0时，函数单调递增；当f'(x)<0时，函数单调递减。

3. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的极值。

解答思路：函数的极值是指函数在其定义域内的最大值或最小值。

我们可以通过求函数的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)，然后判断f'(x)和f''(x)的符号来确定函数的极值。

当f'(x)=0且f''(x)>0时，函数在该点取得极小值；当f'(x)=0且f''(x)<0时，函数在该点取得极大值。

高中数学经典50题(附答案)

︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=xM+xN+2a 又圆方程
将代入得
得︱AM︱+︱AN︱=8
(2)假设存在a
因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱
所以︱AP︱=︱PP′︱，P点在抛物线上，这与P点是MN的中点矛盾。故a不存在。
7.抛物线上有两动点A，B及一个定点M，F为焦点，若成等差数列
16、设若是与的等比中项，则的最小值为（）
A．8 B．4 C．1 D．
答案：B
解析：因为，所以，
，当且仅当即时“=”成立，故选择B．
点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．
17、设数列满足为实数．
（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；
因为，BC中点，所以直线PD的方程为（1）
又故P在以A，B为焦点的双曲线右支上。设，则双曲线方程为（2）。联立（1）（2），得，
所以因此，故炮击的方位角北偏东。
说明：本题的关键是确定P点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。
4.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行
6.设抛物线的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心，︱AB︱为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M，N。点P是MN的中点。
（1）求︱AM︱+︱AN︱的值
（2）是否存在实数a，恰使︱AM︱︱AP︱︱AN︱成等差数列若存在，求出a，不存在，说明理由。

高一数学知识点三角函数与恒等公式经典题常考题50道含答案与解析

高一数学三角函数及恒等公式经典题常考题50道一、单选题1.函数y=cosx|tanx|（0≤x＜且x≠ ）的图象是下图中的（）A. B. C. D.【答案】C【考点】同角三角函数基本关系的运用，正弦函数的图象【解析】【解答】解：当0 时，y=cosxtanx≥0，排除B，D．当时，y=﹣cosxtanx＜0，排除A．故选：C．【分析】根据x的围判断函数的值域，使用排除法得出答案．==========================================================================2.若α，β都是锐角，且，则cosβ=（）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【考点】两角和与差的余弦函数【解析】【解答】解：∵α，β都是锐角，且，∴cosα= = ，cos（α﹣β）= = ，则cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）= + = ，故选：A．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]的值．==========================================================================3.设为锐角，若cos = ，则sin 的值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】二倍角的正弦【解析】【解答】∵为锐角，cos = ，∴∈，∴ = = ．则sin =2 . 故答案为：B【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式求出正弦的值，再由二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。

==========================================================================4.sin15°sin105°的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】【解答】sin15°sin105°=sin15°cos15°= sin30°= ，故答案为：A．【分析】利用诱导公式转化已知的三角函数关系式求出结果即可。

(完整版)高中数学经典50题(附答案)

高中数学题库1. 求下列函数的值域：解法2 令t ＝sin x ，则f (t )＝－t 2＋t ＋1，∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值．本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 34万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32ππ和，求该慧星与地球的最近距离。

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为12222=+by a x （图见教材P132页例1）。

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/ππ=∠=∠xFA xFA 或。

作m FA FB Ox AB 3221B ==⊥，则于故由椭圆第二定义可知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=)32(34)(22m c c a a c m c ca a c m两式相减得,23)4(21.2,3231c c c m c a m a c m =-==∴⋅=代入第一式得 .32.32m c c a m c ==-∴=∴答：彗星与地球的最近距离为m 32万千米。

说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a +（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析整理版

高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式；（2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。

)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。

高中数学经典50题(附答案)

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为12222=+by a x （图见教材P132页例1）。

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/ππ=∠=∠xFA xFA 或。

高中数学考试题型及答案

高中数学考试题型及答案一、选择题1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-1)的值。

A. -2B. 0C. 2D. 4答案：B解析：将x=-1代入函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，得到f(-1) = 2(-1)^2 + 3(-1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0。

2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∩B。

A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {2, 4}答案：B解析：集合A和集合B的交集是两个集合中共有的元素，即A∩B={2, 3}。

二、填空题3. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求第5项a5的值。

答案：11解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，将n=5，a1=3，d=2代入公式，得到a5 = 3 + (5-1)×2 = 3 + 8 = 11。

4. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a=2，b=1，求双曲线的渐近线方程。

答案：y = ±x/2解析：双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x，将a=2，b=1代入公式，得到y = ±(1/2)x。

三、解答题5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求函数的单调区间。

答案：函数f(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 6x。

令f'(x) > 0，解得x < 0或x > 2；令f'(x) < 0，解得0 < x < 2。

因此，函数f(x)在(-∞, 0)和(2, +∞)上单调递增，在(0, 2)上单调递减。

6. 解不等式：2x^2 - 5x + 2 < 0。

答案：首先将不等式2x^2 - 5x + 2 < 0进行因式分解，得到(2x - 1)(x - 2) < 0。

高中数学比较好的练习题及讲解

高中数学比较好的练习题及讲解### 高中数学练习题及讲解#### 练习题一：函数的性质题目：已知函数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5$，求：1. 函数的极值点。

2. 函数的单调区间。

解答：1. 求导数 $f'(x) = 6x^2 - 6x + 1$。

- 令 $f'(x) = 0$，解得 $x = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ 和 $x = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$。

- 判断极值点：$f''(x) = 12x - 6$，对于 $x = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$，$f''(x) > 0$，为极小值点；对于 $x =\frac{1 - \sqrt{13}}{6}$，$f''(x) < 0$，为极大值点。

2. 单调区间：- 当 $x < \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ 或 $x > \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增。

- 当 $\frac{1 - \sqrt{13}}{6} < x < \frac{1 +\sqrt{13}}{6}$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减。

#### 练习题二：几何概率题目：在圆 $x^2 + y^2 = 1$ 内随机取一点 $P(x, y)$，求点$P$ 落在圆 $x^2 + y^2 = r^2$（$r < 1$）内的概率。

解答：- 圆 $x^2 + y^2 = 1$ 的面积为 $\pi$。

- 圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 的面积为 $\pi r^2$。

- 点 $P$ 落在小圆内的概率为小圆面积与大圆面积的比值，即$\frac{\pi r^2}{\pi} = r^2$。

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3). 因此 kPA
=
53 8−3
=
3 ，故炮击的方位角北偏东 30 。
说明：本题的关键是确定 P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的
基本概念。
4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽度为 8 米，
3
一小船宽 4 米，高 2 米，载货后船露出水面的部分高 0.75 米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为 x2 = −2 py ( p 0) 。将 B（4,-5）代入得 P=1.6 x2 = −3.2 y 船两侧与抛物线接触时不能通过则 A(2,yA)，由 22=-3.2 yA 得 yA = - 1.25 因为船露出水面的部分高 0.75 米所以 h=︱yA︱+0.75=2 米答：水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时，小船开始不能通行 [思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。．
设曲线段 C 的方程为 y 2 = 2 px( p 0)(xA x xB , y 0) ，其中 xA , xB 为
A、B 的横坐标，p = MN ，所以 M (− p ,0), N( p ,0) ，由 AM = 17, AN = 3，
2
2
得 (xA
+
p)2 2
+
2 pxA
= 17
（1）
4
(x A
3. A，B，C 是我方三个炮兵阵地，A 在 B 正东 6 Km ，C 在 B 正北偏西
30 ，相距 4 Km ，P 为敌炮阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种
信号，由于 B，C 两地比 A 距 P 地远，因此 4 s 后，B，C 才同时发

高中数学优质试题50道(附经典解析)149

高中数学优质试题50道（附经典解析）优质试题11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP x AB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x yx yx y==++++,由系数和1x y x yx y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ+=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了． 2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有个．答案：30个优质试题21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90na n+的最小值为．【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-,由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13．2．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有种．答案：192种优质试题31．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为．解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE =所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2．将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有种．答案：30种优质试题41．在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为满足条件的实数a 的所有值为．解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP ==，则a = （2）当2a <时，min AP =1a =-2．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有种．答案：90种优质试题51．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为．解：构造函数1yx =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令2220802y x mx mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩所以y x =+1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d = 所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42．某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有种．答案：140种优质试题61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（）A ．1r 和2r 中的较大者B ．1r 和2r 中的较小者C ．12r r +D ．12r r -解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C 与12,O O 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=-若C 与12,O O 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21rr >，则12212e e r e e += 2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有种．答案：6种优质试题71．已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x=+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by xa ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c=+，所以ON bk a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+，所以22221x y a b N b y x a c ⎧-=⎪⎛⎫⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++=所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有个．答案：28个优质试题81．已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191ab+=，则c 的取值范围是．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c =+≥+=，所以10c ≥又因为a b c +>，而()1991016b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2．从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种．解： 48种优质试题91．在平面直角坐标系xoy中，已知点A是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =时，则点C的纵坐标的取值范围是．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++-- 2．编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是种．答案：20种优质试题101．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是．解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ，设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=- 在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB取得最小值为2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有种．答案：45种优质试题111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是．解：()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤< 综上可得，142k -≤≤ 2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有种．答案：55种优质试题121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+ 所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有种．答案：31116322C C C C 种优质试题131．已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为．2．若5(1)ax -的展开式中3x的系数是80，则实数a 的值是．答案：2优质试题141．()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f =，()()()()212f f f n n f n +++=，则()2015f = ．解：()()()()212f f f n n f n +++=，()()()()()212111f f f n n f n +++-=--两式相减得()()()()2211f n n f n n f n =---所以()()111f nn f n n -=-+所以()()()()()()()()201520142201420132012121201512015201420131201620152014320161008f f f f f f f f =⋅⋅=⋅⋅⋅==2．某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：节目单上不同的排序方式有种．答案：144种优质试题151．若,a b 是两个非零向量，且a b a b λ==+，λ⎤∈⎥⎣⎦，则b 与a b -的夹角的取值范围是．解：令1a b ==，则1a b λ+=设,a b θ=，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=-又λ⎤∈⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2．若(nx 的展开式中第三项系数等于6，则n = ．答案：12优质试题161．函数()22fx xx=+，集合()()(){},|2A xy f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B的元素构成的图形的面积是．解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式种．答案：1680种优质试题171．在棱长为1的正方体1111A B C D A B C D -中，112A E AB =，在面ABCD 中取一个点F ，使1EF FC +最小，则这个最小值为．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD于一点，即为所求点F ，使1E F F C +最小．其最小值就是2EC ．连接212,AC B C ，计算可得2121,,AC B C AB =，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2EC =2．若()62601261mx a a x a x a x +=++++ 且123663a a a a ++++=，则实数m的值为．答案：1或-3优质试题181．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于．解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P 为1FQ 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c cc ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224ac =，所以2e =解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=，所以2e = 解法三：设(),,0Q am bm m >，则()1,Q F c a m b m =---，()2,QF c am bm =-- 由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫⎪⎝⎭所以22b b ac a-=-⋅，即2c a =，所以2e =2．现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为．答案：18优质试题191．已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC 满足：24OA OB ==，0OA OB =，()()20OC OAOC OB --=，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅的最大值为．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=，得22220x y x y +--=(cos 2sin OC OA OB x θθ-⋅-⋅=等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42．已知数列{na }的通项公式为121n n a -=+，则01na C +12na C +33na C ++1n n na C += ．答案：23n n+优质试题201．已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=，PQ = 点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN的长度满足FN MN FN ≤即55MN ≤2．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是个．答案：48优质试题211．已知函数是定义在R上的偶函数，当x ≥时，()()()2502161122x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是．解：设()t f x =，问题等价于()2g t t a t b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<< 所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩ 综上， 5924a -<<-或914a -<<- 2．在24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有项．答案：5优质试题221．已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是2C上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是．解：由题意22:4Cy x=设:(2)1ABlx m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=-设()21:(42)21BC l x y m m m=--++-代入22:4C y x=，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=-所以(][)2442,610,ym m=--+∈-∞-+∞2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72优质试题231．数列{}na 是公比为23-的等比数列，{}nb 是首项为12的等差数列．现已知99ab >且1010ab >，则以下结论中一定成立的是．（请填上所有正确选项的序号） ①9100a a<；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}na 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a>时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的；当10a>时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}nb 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910b b >当10a<时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}nb 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910bb >综上可知，①③一定是成立的． 2．设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为．答案：150优质试题241．已知集合(){}2,|21A x y y x bx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧MPN（红色）．此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧MPN上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（ABO 与ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。

高中数学经典50题(附答案)

线段 C 是以点 N 为焦点，以 l2 为准线的抛物线的一段，其中 A、B 分别为曲线段 C 的端
点。
设曲线段 C 的方程为 y 2 2 px( p 0)(xA x xB , y 0) ，其中 xA , xB 为 A、B 的
横坐标， p MN ，所以 M ( p ,0), N( p ,0) ，由 AM
5
（1）求证： OA OB （2）当 OAB 的面积等于 10 时，求 k 的值。
（1）
证明：图见教材
P127
页，由方程组
y
2
x
消去 x 后，整理得 ky 2 y k 0 。
y k(x 1)
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，由韦达定理得 y1 y2 1 A, B 在抛物线 y 2 x 上，
又圆方程
[x (a 4)]2 y 2 16
将 y 2 4ax 代入得 x2 2(4 a)x a2 8a 0
xM xN 24 a 得︱AM︱+︱AN︱=8
(2)假设存在 a 因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱所以︱AP︱=︱PP′︱，P 点在抛物线上，这与 P 点是 MN 的中点矛盾。故 a 不存在。
由 AB 2,得 tan 2 1 , 3 tan 3 ，
33
3
的取值范围是
0,
6
5 6
,
[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于 l 的方程由 tan 给出，
所以可以认定，否则涉及弦长计算时，还要讨论时的情况。
2
2
9、已知抛物线 y 2 x 与直线 y k(x 1) 相交于 A、B 两点
7. 抛物线 y 2 2 px p 0上有两动点 A，B 及一个定点 M，F 为焦点，若 AF , MF , BF

高中数学经典50题(附答案)_202006050943551

1. 求下列函数的值域：解法 2 令 t＝sinx，则 f(t)＝－t2＋t＋1，∵ |sinx|≤1, ∴ |t|≤1.问题转化为求关于 t 的二次函数 f(t)在闭区间[－1,1]上的最值．本例题(2)解法 2 通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距 m 万千米和 4 m 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和3，求该慧星与地球的最近距离。

23解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点 F(c,0) 处，椭圆的方程为 x 2 y 2 1 a 2 b2（图见教材P132 页例 1）。

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星 A 只3能满足xFA (或xFA / )。

作 AB Ox于B，则FB 1 FA 2 m3323c 故由椭圆第二定义可知得4mma 3a2 (cc a2 (acc) c2 3m)1 c213两式相减得 m • m,a 2c.代入第一式得m (4c c) c,3 a322 c 2 m. a c c 2 m.33答：彗星与地球的最近距离为 2 m 万千米。

3说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a c ，另一个是a c.（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。

另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。

数学高中试题讲解大全及答案

数学高中试题讲解大全及答案一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是：A. (-1, 5)B. (2, -4)C. (2, 0)D. (0, 4)【解析】首先，我们可以将函数f(x) = x^2 - 4x + 4写成顶点式的形式。

通过完成平方，我们有f(x) = (x - 2)^2。

因此，顶点坐标为(2, 0)。

【答案】C2. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B：A. {1, 2}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {1, 2, 3, 4}【解析】集合A和B的并集是指包含A和B中所有元素的集合，不重复计算相同的元素。

因此，A∪B = {1, 2, 3, 4}。

【答案】D二、填空题1. 若直线y = 3x + 5与x轴相交，则交点的横坐标为______。

【解析】当直线与x轴相交时，y的值为0。

将y = 0代入直线方程，解得x = -5/3。

【答案】-5/32. 已知等差数列的首项a1 = 2，公差d = 3，求第10项a10。

【解析】等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d。

将n = 10，a1 = 2，d = 3代入公式，得到a10 = 2 + 9 * 3 = 29。

【答案】29三、解答题1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5，求导数f'(x)。

【解析】根据导数的定义，我们可以分别对x的幂次项求导。

对于2x^3，导数是6x^2；对于-3x^2，导数是-6x；常数项5的导数是0。

因此，f'(x) = 6x^2 - 6x。

【答案】f'(x) = 6x^2 - 6x2. 解不等式：|x - 1| + |x + 2| ≥ 5。

【解析】首先，我们需要考虑绝对值不等式的不同情况。

我们可以将x分为三个区间：x ≤ -2，-2 < x ≤ 1，x > 1。

对于每个区间，去掉绝对值符号，然后解不等式。

高一数学知识点三角函数及恒等公式经典题常考题 50道含答案及解析

高一数学三角函数及恒等公式经典题常考题50道一、单选题1.函数y=cosx|tanx|（0≤x＜且x≠ ）的图象是下图中的（）A. B.C. D.【答案】C【考点】同角三角函数基本关系的运用，正弦函数的图象【解析】【解答】解：当0 时，y=cosxtanx≥0，排除B，D．当时，y=﹣cosxtanx＜0，排除A．故选：C．【分析】根据x的范围判断函数的值域，使用排除法得出答案．==========================================================================2.若α，β都是锐角，且，则cosβ=（）A. B. C.或 D.或【答案】A【考点】两角和与差的余弦函数【解析】【解答】解：∵α，β都是锐角，且，∴cosα= = ，cos（α﹣β）= = ，则cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）= += ，故选：A．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]的值．==========================================================================3.设为锐角，若cos = ，则sin 的值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】二倍角的正弦【解析】【解答】∵为锐角，cos = ，∴∈，∴= = ．则sin =2 . 故答案为：B【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式求出正弦的值，再由二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。

==========================================================================°sin105°的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】【解答】sin15°sin105°=sin15°cos15°= sin30°= ，故答案为：A．【分析】利用诱导公式转化已知的三角函数关系式求出结果即可。

高中数学练习题及讲解及答案

高中数学练习题及讲解及答案### 高中数学练习题及讲解及答案#### 练习题1：函数的奇偶性题目：判断函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的奇偶性，并说明理由。

解答：首先，我们需要确定函数的定义域，该函数的定义域为全体实数$ \mathbb{R} $。

接下来，我们计算 $ f(-x) $：\[ f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x \]由于 $ f(-x) = -f(x) $，我们可以得出结论，函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 是奇函数。

#### 练习题2：不等式的解法题目：解不等式 $ |2x - 1| < 4 $。

解答：首先，我们考虑绝对值不等式的性质，将其分为两个不等式：\[ -4 < 2x - 1 < 4 \]接着，我们分别解这两个不等式：\[ -3 < 2x < 5 \]然后，我们将不等式两边同时除以2，得到：\[ -1.5 < x < 2.5 \]所以，不等式 $ |2x - 1| < 4 $ 的解集为 $ (-1.5, 2.5) $。

#### 练习题3：三角函数的图像与性质题目：已知 $ \sin A = \frac{1}{2} $，求 $ \cos 2A $ 的值。

解答：根据二倍角公式，我们有：\[ \cos 2A = 1 - 2\sin^2 A \]将已知的 $ \sin A = \frac{1}{2} $ 代入公式中，计算得：\[ \cos 2A = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 -2\left(\frac{1}{4}\right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]因此，$ \cos 2A = \frac{1}{2} $。

#### 练习题4：数列的通项与求和题目：数列 $ \{a_n\} $ 的首项 $ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $。

高中数学经典题型汇总

高中数学经典题型汇总在高中数学的学习中，掌握经典题型是提高成绩的关键。

以下为大家汇总了一些具有代表性的经典题型，并进行详细的分析和讲解，希望能对同学们的学习有所帮助。

一、函数相关题型1、函数的定义域和值域问题例：求函数$f(x)＝＼sqrt{x-1}＋＼frac{1}｛x-2}＄的定义域。

分析：要使根式有意义，则根号下的式子必须大于等于 0；分式有意义，则分母不为 0。

所以可得$x 1 ＼geq 0$且$x 2 ＼neq 0$，解得$x ＼geq 1$且$x ＼neq 2$，即定义域为$1, 2) ＼cup （2, ＋＼infty)＄。

求函数值域的方法多样，常见的有观察法、配方法、换元法等。

2、函数的单调性和奇偶性例：判断函数$f(x)＝x^3 ＋ x$的奇偶性和单调性。

分析：首先判断奇偶性，对于定义域内的任意$x$，有$f(x)＝ x^3 x ＝（x^3 ＋ x) ＝ f(x)＄，所以函数为奇函数。

对于单调性，对函数求导$f'（x)＝ 3x^2 ＋ 1$，因为$f'（x) ＞ 0$恒成立，所以函数在定义域内单调递增。

二、三角函数题型1、三角函数的化简求值例：化简$＼sin^2\alpha ＋＼cos^2(＼alpha ＋＼frac{＼pi}｛3}）＋＼sin\alpha\cos(＼alpha ＋＼frac{＼pi}｛3}）＄。

分析：利用三角函数的和差公式及二倍角公式进行化简，可得$＼frac{3}｛4} ＋＼frac{1}｛2}＼sin(2\alpha ＋＼frac{＼pi}｛3}）＄。

求值时，通常需要根据已知条件，结合特殊角的三角函数值进行计算。

2、解三角形例：在$＼triangle ABC$中，已知$a ＝ 3$，＄b ＝ 4$，＄＼angle A ＝ 30^＼circ$，求$c$。

分析：可以使用正弦定理或余弦定理来求解。

使用余弦定理$a^2 ＝b^2 ＋ c^2 2bc\cos A$，代入数据可得$c^2 4\sqrt{3}c ＋ 7 ＝ 0$，解得$c ＝＼sqrt{3} ＋ 2$或$c ＝ 2 ＼sqrt{3}＄（舍去）。

高中数学经典题型50道（另附详细答案）讲解学习

⾼中数学经典题型50道（另附详细答案）讲解学习⾼中数学经典题型50道(另附详细答案)⾼中数学习题库（50道题另附答案）1.求下列函数的值域：解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵ |sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的⼆次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值．本例题(2)解法2通过换元，将求三⾓函数的最值问题转化为求⼆次函数在闭区间上的最值问题，从⽽达到解决问题的⽬的，这就是转换的思想．善于从不同⾓度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的⽬的是将数学问题由陌⽣化熟悉，由复杂化简单，⼀句话：由难化易．可见化归是转换的⽬的，⽽转换是实现化归段⼿段。

2. 设有⼀颗慧星沿⼀椭圆轨道绕地球运⾏，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千⽶和m 34万千⽶时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹⾓分别为32ππ和，求该慧星与地球的最近距离。

解：建⽴如下图所⽰直⾓坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的⽅程为12222=+by a x （图见教材P132页例1）。

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹⾓为3π时，由椭圆的⼏何意义可知，彗星A 只能满⾜)3(3/ππ=∠=∠xFA xFA 或。

作m FA FB Ox AB 3221B ==⊥，则于故由椭圆第⼆定义可知得+-=-=)32(34)(22m c c a a c m c ca a c m 两式相减得,23)4(21.2,3231c c c m c a m a c m =-==∴?=代⼊第⼀式得.32.32m c c a m c ==-∴=∴答：彗星与地球的最近距离为m 32万千⽶。

说明：（1）在天体运⾏中，彗星绕恒星运⾏的轨道⼀般都是椭圆，⽽恒星正是它的⼀个焦点，该椭圆的两个焦点，⼀个是近地点，另⼀个则是远地点，这两点到恒星的距离⼀个是c a -，另⼀个是.c a +（2）以上给出的解答是建⽴在椭圆的概念和⼏何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。

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