离散型随机变量及其分布列

(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．
【精彩点拨】利用随机变量的定义判断．
【自主解答】(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
X
0
1
…
m
P
…
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
练习：
1．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ＝________.
【解析】设二级品有k个，∴一级品有2k个，三级品有 个，总数为 个．∴分布列为
ξ
1
2
3
P
P ＝P(ξ＝1)＝ .【答案】
2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.【解析】P(X＝3)＝ ＝ .【答案】
分布列及其性质的应用
设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ (i＝1,2,3,4)，求：(1)P(X＝1或X＝2)；(2)P .
因此随机变量Y的分布列为
Y
0
10
20
50
60
P
1．两点分布的几个特点
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
2．性质
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)
1、判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．()
(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．
[再练一题]
2．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
【自主解答】(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝ ＝ ＝ ，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－ ＝ .
X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两张卡片”；
X＝11，表示“取出标有5,6的两张卡片”．
用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
1．关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．
【解】(1)
ξ
0
1
2
3
结果
取得3
个黑球
取得1个白
球，2个黑球
取得2个白
球，1个黑球
取得3
个白球
(2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量．
写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．
因此X的分布列为
X
0
1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝ ＝ ＝ .
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝ ＝ ＝ ，P(Y＝10)＝ ＝ ＝ ，
P(Y＝20)＝ ＝ ＝ ，P(Y＝50)＝ ＝ ＝ ，P(Y＝60)＝ ＝ ＝ .
(2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．()
(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.()
【解析】(1)×因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．
(2)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．
(3)√由分布列的性质可知，该说法正确．
【解】从箱中取两个球的情形有以下6种：
{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．
当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2；当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1；
当取到1白1黑时，随机变量X＝1；当取到2黄时，X＝0；当取到1黑1黄时，X＝2；
当取到2黑时，X＝4.则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.
【精彩点拨】 → →
【自主解答】(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．
(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．
“三步法”判定离散型随机变量
【解析】(1)B中水沸腾时的温度是一个确定值．(2)A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．【答案】(1)B(2)C
离散型随机变量的判定
指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某超市5月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.
【精彩点拨】先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2， <X< 的含义，利用分布列求概率．
【解答】(1)∵P(X＝i)＝ ＋ ＋ ＋ ＝1，∴a＝10，则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝ ＋ ＝ .
(2)由a＝10，可得P ＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝ ＋ ＋ ＝ .
(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
随机变量的辨析方法
1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和.
【精彩点拨】
→ →
【自主解答】(1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，
X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2，…，11.
从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C ，事件“X＝3”包含的基本事件总数为C ，事件“X＝4”包含的基本事件总数为C C ，事件“X＝5”包含的基本事件总数为C C ，事件“X＝6”包含的基本事件总数为C C .
从而有P(X＝3)＝ ＝ ，P(X＝4)＝ ＝ ，P(X＝5)＝ ＝ ，P(X＝6)＝ ＝ ，
利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：1X的各个取值表示的事件是互斥的.2不仅要注意 ，而且要注意pi≥0，i＝1，2，…，n.
[再练一题]
X
0
1
P
4a－1
3a2＋a
1．若离散型随机变量X的分布列为：
求常数a及相应的分布列．
【解】由分布列的性质可知：3a2＋a＋4a－1＝1，即3a2＋5a－2＝0，解得a＝ 或a＝－2，
(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5，…，11.
X＝3，表示“取出标有1,2的两张卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两张卡片”；
X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两张卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；
X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；
2．离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
随机变量的概念
判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；
(2)2016年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；
P(X＝－2)＝ ＝ ，P(X＝－1)＝ ＝ ，P(X＝0)＝ ＝ ，P(X＝1)＝ ＝ ，
P(X＝2)＝ ＝ ，P(X＝4)＝ ＝ .
从而得到X的分布列如下：
X
－2
－1

1
2
4
P
在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
【解】(1)X可能取值0,1,2,3,4,5，
X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.
(2)ξ可能取值为0,1，
当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．
离散型随机变量的分布列
1．定义
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
又因4a－1>0，即a> ，故a≠－2.所以a＝ ，此时4a－1＝ ，3a2＋a＝ .所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
求离散型随机变量的分布列
口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．
【自主解答】随机变量X的可能取值为3,4,5,6.
2．注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
[再练一题]
3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)在2016年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．
1．(1)下列变量中，不是随机变量的是()
A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
(2)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()
A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率
X
0
1
P
1－p
p
两个特殊分布
1．两点分布
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
2．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则
P(X＝k)＝ ，k＝0,1,2，…，m，
其中m＝min ，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
1．依据具体情境分析变量是否为随机变量．
2．由条件求解随机变量的值域．
3．判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．
2．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量．
姓 名
年级
性 别
学 校
学 科
教师
上课日期
上课时间
课题
9离散型随机变量及其分布列
1．随机变量
(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
所以随机变量X的分布列为
X
3
4
5
6
P
1．求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…，n)．(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi.(3)列出表格．
2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题
(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．