弹性力学第三章

of a rectangular plate in pure shear. P37
Fig.3.1.1(b)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
Hale Waihona Puke 11D. =bxy , X=0, Y=0
• 满足相容方程 4 =0
• 由下式求出应力分量 x=2/y2=0 y= 2/x2=0 xy=-2/xy=-b
Chapter 3 solution of plane problems in rectangular coordinates
第三章 平面问题直角坐标解答
3.1 solution by polynomials 3.1 多项式解答
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
1
Review: Inverse method 逆解法
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
9
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
10
D. =bxy , X=0, Y=0
• It satisfies the compatibility equation 4 =0
• find the stress components by x=2/y2=0 y= 2/x2=0 xy=-2/xy=-b
u/x =My/(EI) u=Mxy/(EI)+f(y) v/y = -My/(EI) v= -My2/(2EI)+g(x) u/y+v/x=0 -df(y)/dy=dg(x)/dx+Mx/(EI)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
18
Separation of variables 分离变量
• Select satisfying the compatibility equation 设定 ，并 满足相容方程 4 =0 (2.12.11)
• find the stress components by 由下式求出应力分量
x=2/y2-Xx y= 2/x2-Yy xy=-2/xy
(2.12.10)
• find the stress components by
x=2/y2=2c y= 2/x2=0 xy=-2/xy=0
for a rectangular plate with its edges parallel to
the coordinate axes, find the surface force
弹性力学 第三章
21
Simply supported beam 简支梁
• u=Mxy/(EI)- y+u0
(3.2.5)
v= -My2/(2EI)-Mx2/(2EI)+x+v0 (3.2.6)
• u(0,0)=0 u0=0
• v(0,0)=0 v0=0
• v(L,0)=0 = ML /(2EI)
components by
(lx+m yx)s=X
(my+lxy)s =Y
• the stress function =cy2 can solve the problem
of uniform tension (c>0) or uniform
compression (c<0) of a rectangular plate in x
• In the case of plane stress, substitution of
stresses into the physical equations(2.6.4)
yields 平面应力问题，将应力代入物理方程得 应变
x=[x- y]/E =My/(EI) y=[y- x]/E = - My/(EI) rxy=xy/G =0
• Find the stress components by
由下式求出应力分量 x=2/y2=6ay
y= 2/x2=0
xy=-2/xy=0
• For a rectangular plate shown in fig.1, find the
surface force components shown in fig.1对矩形
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
19
Review: Rigid-body displacements-displacements corresponding to zero strains
刚体位移--应变为零时的位移
• u= - y +u0 v= x+v0
• u0--the rigid-body translation in the x direction x向刚体平动
compression (a<0) of a rectangular plate in y
direction. P37 Fig.3.1.1(a)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
5
B. =ax2 ,
• 满足相容方程 4 =0
X=0, Y=0
• 由下式求出应力分量 x=2/y2=0 y= 2/x2=2a xy=-2/xy=0
• for a rectangular plate with its edges parallel to the coordinate axes, find the surface force components by
(lx+m yx)s=X
(my+lxy)s =Y
• the stress function =bxy can solve the problem
direction. P37 Fig.3.1.1(c)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
8
C. =cy2 ,
• 满足相容方程 4 =0
X=0, Y=0
• 由下式求出应力分量 x=2/y2= 2c y= 2/x2=0 xy=-2/xy=0
• 对和坐标轴平行的矩形板求出面力分量知 =cy2 能解决矩形板x向受均匀拉力(c>0)或 均 匀压力(c<0)的问题。P37 Fig.3.1.1(c)
• The superposition of a linear function to the stress function for any problem does not affect the stresses.
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
3
A. =a+bx+cy , X=0 Y=0
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
4
B. =ax2 , X=0, Y=0
• It satisfies the compatibility equation 4 =0
• find the stress components by
x=2/y2=0 y= 2/x2=2a xy=-2/xy=0
• for a rectangular plate with its edges parallel to
• 对和坐标轴平行的矩形板求出面力分量知 =ax2 能解决矩形板y向受均匀拉力(a>0)或 均 匀压力(a<0)的问题。P37 Fig.3.1.1(a)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
6
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
7
C. =cy2 , X=0, Y=0
• It satisfies the compatibility equation 4 =0
• find the surface force components by
(lx+m yx)s=X=0
(my+lxy)s =Y=0
• a linear stress function corresponds to the case
of no surface forces and no stress .
• find the surface force components by
由下式对给定坐标的物体求出面力分量
(lx+m yx)s = X (my+lxy)s =Y (2.7.2)
• Identify the problem which the selected can solve
确定所设定的 能解决的问题
• Fig 2
• statically equivalent systems 静力等效 a=2M/h3 • x=6ay=12My/h3=My/I I=h3/12 y= 0 xy=0
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
16
3.2 Determination of displacements when x=My/I y= 0 xy=0 位移的确定
-df(y)/dy=dg(x)/dx+Mx/(EI)=
• -df(y)/dy= f(y)=- y+u0 • dg(x)/dx+Mx/(EI)=
g(x)= - Mx2/(2EI)+x+v0
• u=Mxy/(EI)- y+u0
(3.2.5)
v= -My2/(2EI)-Mx2/(2EI)+x+v0 (3.2.6)
• 对和坐标轴平行的矩形板求出面力分量知 = bxy 能解决矩形板受纯剪作用。P37 Fig.3.1.1(b)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
12
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
13
E. =ay3 , X=0, Y=0
• It satisfies the compatibility equation 满足相容方程 4 =0
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
17
Integration of geometrical equations x=u/x y=v/y rxy=u/y+v/x
几何方程的积分
• substitution of strains into the geometrical equations (2.4.6) yields 将应变代入几何方程
• v0--the rigid-body translation in the y direction y向刚体平动
• --the rigid-body rotation of the body about z
axis.绕z 轴的刚体转动
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
20
徐汉忠第一版2000/7
1thefirsttermcrushingstressonlyconsideredxy4p45fig332徐汉忠第一版20007弹性力学第三章31徐汉忠第一版20007弹性力学第三章32aboutsecondtermratiosecondtermfirsttermh05115lratio115ratio160ratio1375徐汉忠第一版20007弹性力学第三章33aboutcrushingstressratio12ratio75徐汉忠第一版20007弹性力学第三章3435xy6qxhdyql徐汉忠第一版20007弹性力学第三章35solutionplanestressboundaryproblemstressfunctionconstantbodyforces常体力应力边界问题按应力函数求解的公式displacementboundarycondition无位移边界条件singlevalueddisplacementsmultiplyconnectedbody多连体的位移单值条件徐汉忠第一版20007弹性力学第三章36有对称条件可用对称条件确定部分常数也可不考虑对称条件
=u/y= Mx/(EI)- ----the cross section remains plane after bending 横截面弯曲变形后仍 为平面。
1/ = 2v/x2 =- M/(EI) ----all the longitudinal lines will have the same curvature曲率相同
the coordinate axes, find the surface force
components by
(lx+m yx)s=X
(my+lxy)s =Y
• the stress function =ax2 can solve the problem
of uniform tension (a>0) or uniform
• u=Mxy/(EI)- MLy /(2EI)
(3.2.8)
v=-My2/(2EI)-Mx2/(2EI)+Mx/(2EI)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
22
3.3 Bending of a simple beam under uniform load简支梁在均布荷载作用下的弯曲
• A simple beam ,length 2L, depth h, uniform load q. P41 fig.3.3.1
• 满足相容方程 4 =0
• 由下式求出应力分量
x=2/y2=0 y= 2/x2=0 xy=-2/xy=0 • 由下式对给定坐标的物体求出面力分量
(lx+m yx)s=X=0
(my+lxy)s =Y=0
• 确定所设定的 能解决的问题为：任意物体无
体力，无面力，无应力。
• 应力函数加或减一个线性项不影响应力。
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
2
A. =a+bx+cy , X=0, Y=0
• It satisfies the compatibility equation 4 =0
• find the stress components by
x=2/y2=0 y= 2/x2=0 xy=-2/xy=0
板求出面力分量，如图1所示。
• Solve the problem of pure bending of a rectangular beam. 矩形板纯弯曲问题
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
14
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
15
E. =ay3 , X=0, Y=0
• Fig 1