无人直升机跷跷板式旋翼结构的动力学分析

０　引言
跷跷板式旋翼结构通常具有2片桨叶，2片桨叶共用1个桨毂，桨毂承担挥舞运动，即左右桨叶的挥舞运动是关联的，单侧桨叶向上挥舞必然引起对侧桨叶向下挥舞，这也是
跷跷板式旋翼与全铰接式旋翼的区别所在，我们通常也称跷跷板式旋翼为半刚性旋翼[1]。

为提高操纵性，挥舞铰附近一般设置挥舞橡胶阻尼，而摆振铰与摆振橡胶阻尼一般在桨叶根部附近的桨夹位置处。

一种典型的跷跷板式旋翼结构示意图如图1所示。

图1 一种典型的跷跷板式桨毂结构示意图
将旋翼桨叶以及桨毂简化成刚体模型，即旋翼旋转时，桨叶以及桨毂绕分别绕挥舞铰和摆振铰进行上下挥舞运动和水平周向摆振运动，旋翼的运动的变形量主要靠挥舞橡胶和摆振橡胶的变形来实现[2]。

下文根据跷跷板式桨毂的结构，进行合理的假设与简化，建立跷跷板式旋翼结构的动力学模型，并对其进行计算和分析。

１　动力学模型１．１　动力学简化模型
对于跷跷板式旋翼，其挥舞铰位于主轴轴线位置，即挥舞铰外伸量为零，而周期性的挥舞运动对主轴的弯矩主要靠挥舞橡胶的相对垂向位置h 来调节，2片桨叶连同桨毂一起在摆振橡胶处产生挥舞运动，对于单片桨叶其振幅为θ。

该跷跷板式旋翼的摆振铰外伸量较明显，当桨叶受到周期性的周向哥氏力作用时，桨叶绕摆振铰在摆振橡胶处产生摆振运
动，振幅为α[2]。

根据刚体假设对跷跷板式旋翼进行动力学简化，其简化模型如图2、图3
所示。

图2 挥舞运动简化模型
F 1
F 2
图3 摆振运动简化模型
图中各参数的物理意义分别为ω—旋翼转速，
R —旋翼直径，m —单片桨叶质量，m hub —桨毂重量（1个桨毂装配2片桨叶），l —桨毂挥舞受力点与挥舞橡胶的距离，h —挥舞橡胶相对垂向位置，k 1、c 1—挥舞橡胶刚度系数和粘性阻尼系数，p —摆振铰外伸量，q —摆振阻尼相对位置，k 2、c 2—摆振橡胶
无人直升机跷跷板式旋翼结构的动力学分析
石伟兴 刘培志 赵小川 关永峰
（中国兵器工业计算机应用技术研究所，北京 100089）
摘 要：跷跷板式旋翼结构由于其结构简单，在小型无人直升机的主旋翼以及中大型直升机的尾桨上得到广泛使用。

相较于全铰接式旋翼，跷跷板式旋翼呈现半刚性的特点，其对称桨叶的挥舞运动是联动的，该特点尤其表现在桨叶所受哥氏力的变化上。

该文将旋翼桨毂和桨叶等效为刚体，重点关注挥舞和摆振橡胶的物理参数和相对位置对旋翼振动特性的影响，建立了旋翼的动力学简化模型，并对其运动方程进行了求解分析。

最后以特定的工程实际参数对计算与结果进行了分析，得到各参数对旋翼动力学特性的影响曲线，得到了贴合工程实际的若干结论。

关键词：跷跷板式旋翼；哥氏力；挥舞刚度；挥舞阻尼；摆振刚度；摆振阻尼中图分类号：V211.52 文献标志码：A
刚度系数和粘性阻尼系数。

周期变距时，左右桨叶受到不对称气动力的作用，对于单片桨叶来说这种不对称力是周期变化的，且变化周期与旋翼的转速周期有关系[3]。

在该文的动力学分析中，对气动力
进行了简化，用F 1、
F 2表示（下文用ΔF 表示该不均匀气动力的合力的幅值），气动谐波考虑前4倍旋翼转速的气动谐波的影响，以方便对问题进行阐述。

１．２　动力学分析
一般直升机旋翼的挥舞角一般在10°左右，符合小角度假设，此时tan θ≈θ，当桨毂绕挥舞铰转动θ角度时，挥舞橡胶的压缩变形Δx 可表示为：
Δx =h tan θ≈hθ （1）气动力和挥舞橡胶的合力在挥舞铰处力矩平衡，结合旋转运动，对于单侧桨叶来说，其挥舞运动平衡方程： （2）
式中：
I 为单侧桨叶和桨毂对挥舞铰的质量惯性矩，t 为单片桨叶从0时刻开始旋转所用时间，设x 表示桨毂或桨叶质心距离主轴的距离，假设桨毂和桨叶的质量均匀分布，则根据材料力学质量矩计算公式
R 2+R ×p +p 2
m hub d x
d x
m hub
ΔF 表示的是对于同一片桨叶，每旋转一周所受到的不
均匀气动力的合力的幅值，该气动力合力是个正弦变化的交变力，周期正好是旋翼转速ω[4]。

由挥舞运动方程得其挥舞方向固有频率为：
（3）m hub ×p
2
k 1×h
k 1×h
m×
对于跷跷板式旋翼，其桨毂具有半刚性的特点，当单侧
桨叶挥舞运动时，同时会影响其对侧桨叶的运动，在刚体假设的情况下，旋翼进行周期变距操纵时，两侧桨叶的挥舞运动方向相反，挥舞角绝对值相同，单片桨叶旋转一周，挥舞角从θmax 变化到-θmax ，然后再变化到θmax ，中间经过2处挥舞角为零的情况。

分析如图4所示。

单片桨叶从相位角0开始旋转，0~2π过程中，
θ角的变化经过一个完整的周期，即θ=θmax cos（ωt ）（t 为单片桨叶从0时刻开始旋转所用时间，0≤t ≤T
，T =2π/ω）。

而重心距离主轴的位置变化也遵循三角余弦变化：
（4）
重心的径向速度即为重心位置函数对t 求导得：
（5）
根据柯氏加速度的计算公式，即在角速度ω不
变的情况下，哥氏力大小与重心移动的速度v
有关，而角速度ω与速度v
永远是垂直关系。

所以哥氏加速度为：
（6）
哥氏力为哥氏加速度乘以桨叶质量，即：
（7）
由上式易得，重心的位移和速度周期均为1/2ω，即哥氏力的频率为旋转频率的2倍，大小为2ω。

具体可参考图10的算例曲线。

因此摆振运动平衡方程为：
（8）式中：
I 为桨叶对摆振铰的质量惯性矩，d x
其摆振固有角频率为：
（9）
图4 哥氏力周期计算示意图
F 2
2π
θmax
θmax
7π/4
3π/2
5π/4
3π/4
π/2
π/4
π
F 1
２　计算结果分析
根据以上分析，现有某起飞重量500公斤级无人直升
机，其旋翼为跷跷板结构形式，其主要的物理参数包括旋翼转速、直径、桨叶质量、桨毂质量、摆振橡胶的物理参数以及位置参数、挥舞橡胶的物理参数和位置参数等，根据1.2节的动力学分析，下文将进行具体的分析计算，并分析各参数对固有频率的影响。

２．１　挥舞方向固有频率计算与分析
将参数代入挥舞固有频率计算公式，得到挥舞方向结构
固有频率为2.4378 Hz。

挥舞方向各参数对旋翼固有频率的影响分析结果如图5～图9所示。

根据同样的思路，将参数代入摆振固有频率计算公式，
挥舞固有频率/H z
摆振铰外伸量/m
图9 摆振铰外伸量q 的影响
得到摆振方向结构的固有频率为2.9326 Hz。

同样也可以得到摆振方向各参数对旋翼固有频率的影响结果。

２．２　挥舞角大小对哥氏力的影响
设旋翼的挥舞角为10°，在以上参数情况下，计算一个旋转周期内的挥舞角、重心位置、重心径向速度以及哥氏力等参数的变化情况，计算结果如图10所示。

由计算结果可得得，在挥舞角为10°的情况下，桨叶受到交变哥氏力的作用，其峰值为745 N（76.07 kg），周期为0.047 s，即频率为21.28 Hz，为旋翼转速的2倍。

改变挥舞角的大小，分析哥氏力幅值与挥舞角的关系，如图11所示。

图11所示，单片桨叶哥氏力的大小随挥舞角的增大而迅速增大。

而跷跷板式旋翼左右桨叶的挥舞运动始终是同步的，即对于整副旋翼，其受到的哥氏力在频率不变的情况下，幅值为单片桨叶的2倍。

算例中哥氏力的幅值量级已经和直升机的起飞重量相当，如果不经过减振，将引起直升机各部件剧烈的振动。

２．３　简谐激励下的挥舞运动
设存在四阶挥舞激振力[3]，大小分别为F 1=500 N，
F 2=200 N，挥舞橡胶刚度系数
挥舞固有频率/H z
图5 挥舞橡胶刚度系数k 1影响
挥舞固有频率/H z
单片桨叶质量/kg
图6 桨叶质量m 的影响
图7 桨毂质量m hub 的影响
桨毂重量/Hz
挥舞固有频率/H z
挥舞固有频率/H z
挥舞角垂向位置/m
图8 挥舞橡胶的垂向位置h 的影响
图11 挥舞角与单片桨叶哥氏力的关系
X ：9.969Y ：75.21
图10 取桨叶旋转一周（1个挥舞运动周期）的计算结果
重心位置/m
挥舞角/°
桨叶柯氏力/N
桨叶柯氏力/k g
F 3=100 N，F 4=50 N，对应频率分别为ω、2ω、3ω、4ω，其他参数的初始值与上文所述保持一致。

计算结果如图12所示。

由以上结果可得，旋翼在激振力的作用下，最后达到稳定振动状态，挥舞橡胶的振动幅值约为0.53 mm，对应的加速度幅值约0.3 g。

下面将进行频谱分析。

设我们关注的最高频率为10.8Hz×4=44Hz，根据采样定理，设采样频率为100 Hz。

我们希望得到的频率之间的间隔≤0.25 Hz，则取最小采样长度为N=00/0.2=500。

对时域结果
进行傅里叶分析。

结果如图13所示。

计算结果共得到5个频率值，分别是2.4 Hz（结构挥舞固有频率）、10.8 Hz（1阶激振频率）、21.6 Hz（2阶激振频率）、32.4 Hz（3阶激振频率）、43.4 Hz（4阶激振频率），纵坐标表示各阶频率振动的幅值大小情况。

保持k 1=50 000 N/m，c 1=1 000 N ·s/m
不变，分析h
对振动幅值的影响，计算结果如图14，图15所示。

由以上计算结果可知，挥舞振动幅值与挥舞橡胶的位置
图12 挥舞运动时域响应计算结果
图13 挥舞运动频谱分析结果
图14 橡胶垂向位置h 对10.8 Hz 的振幅影响
位移幅值（m m ）
橡胶垂直位置（m）
位移幅值
加速度幅值
加速度幅值（g ）
加速度幅值（g ）
位移幅值（m m ）
位移幅值加速度幅值橡胶垂直位置（m）
图15 橡胶垂向位置h 对21.6 Hz 的振幅影响
加速度幅值（g ）加速度幅值
位移幅值
基本是线性关系，橡胶距离挥舞角越远，振动幅值越大。

在实际的旋翼设计中，直升机的操纵灵活性与桨毂力矩有很大关系，如果挥舞方向完全自由，无挥舞橡胶的约束，则旋翼操纵时，机身完全依靠旋翼气动力的改变来实现运动状态的改变，而挥舞橡胶的存在使得桨毂对机身产生了挥舞方向上额外的桨毂力矩，从而使直升机的操纵灵活性得到提高[5]，然而挥舞力矩过强时，桨毂以及桨叶所受的挥舞力矩会非常大，同时挥舞振动也更多的传递到主轴上，这样就对桨毂、桨叶以及主轴的强度和疲劳寿命提出了更高的要求。

在实际的设计中，应综合考虑h 的取值。

如果k 1调整到50 000 N/m 保持不变，分析c 1的影响，其主要影响固有频率幅值的变化，对激振力的幅值影响不大，结果如图16所示。

位移幅值（m m ）
加速度幅值（g ）
挥舞橡胶阻尼（Ns/m）
位移幅值加速度幅值
图16 阻尼c 1对振动幅值的影响
２．４　哥氏力作用下的摆振运动
设哥氏力幅值为1 000 N（约102 kg，对应约12°的挥舞角），根据上文摆振运动方程，将哥氏力作为激振力进行响应计算。

由计算结果可得，在哥氏力的作用下，摆振运动最终趋向稳定振动，挥舞橡胶的振动幅值约为0.75 mm，对应的加速度幅值约0.7 g。

下面将对摆振运动进行频谱分析。

已知我们关注的最高频率为10.8 Hz×2=21.6 Hz，所以设采样频率为60 Hz。

我们希望得到的频率之间的间隔≤0.25 Hz，取采样长度为N=250。

将时域信号进行傅里叶计算，结果如图17所示。

计算得到2个频率值，分别是2.88 Hz（结构摆振固有频
率）和21.6 Hz（哥氏力激振频率），且观察纵坐标能了解他们的幅值大小情况。

保持阻尼c 2=1 000 N·s/m 不变，改变k 2的大小，看频谱响应的变化，如图18所示。

随着k 2的增加，旋翼固有频率逐渐提高，到k 2=2 500 000 N/m 左右时，哥氏力激振频率接近旋翼固有频率，发生共振，位移和加速度都达到最大值，为保证结构安全，实际的结构设计中，k 2应在50 000 N/m 以下。

如果k 2调整到50 000 N/m 保持不变，分析c 2的影响，可得到c 2的大小主要会影响固有频率峰值的改变，而对哥氏力21.6 Hz 的峰值影响不大。

如图19所示。

当阻尼值很小时，频谱分析得到2个峰值，包括固有频率和激振力的幅值，且两者的位移幅值基本相当，固有频率的加速度幅值较小。

当阻尼逐渐增加时，固有频率逐渐消失。

因此，结构设计中如果要避免固有频率的影响，除了直接改变固有频率的频率值使其远离激振频率以外，还可以增加阻尼值，从而使固有频率不容易被激振出来，使其影响降到最小，该例中，当c 2的值大于500 N ·s/m 以上时，固有频率的影响就不再明显。

３　结论
通过以上的计算和分析，主要得到以下结论。

首先，挥舞运动的影响系数中，其对固有频率的影响从大到小分别为刚度系数k 1、挥舞橡胶的相对垂向位置h 、桨叶的重量m 、摆振铰外伸量p 、桨毂重量m hub 。

摆振运动的影响系数中，其对固有频率的影响从大到小分别为刚度系数k 2、摆振橡胶相对位置q 、桨叶质量m 以及摆振铰外伸量p 。

其次，为降低旋翼挥舞和摆振固有频率，可适当采用重量较大的桨叶，能够达到适当降低固有频率的目的。

再次，对于跷跷板式旋翼，整副旋翼受到的哥氏力在频率不变的情况下，幅值为单片桨叶的2倍，摆振橡胶刚度在不影响结构装配性的情况下，应尽量选择刚度系数较小和阻尼系数较大的摆振橡胶。

另外，减震橡胶的刚度变化影响旋翼的固有频率，如果固有频率距离激振频率太近，则容易发生共振。

较小的橡胶刚度系数，可使旋翼的固有频率远离哥氏力、挥舞气动激振力以及其各阶谐波的影响。

减震橡胶的阻尼参数主要影响旋
频率/Hz
速度幅值/m /s
加速度幅值/g
位移幅值/m m
频率/Hz
频率/Hz 图17 摆振运动频谱分析计算结果
翼固有频率的响应幅值。

最后，挥舞橡胶刚度系数和相对垂向位置与激振力的响应幅值成正相关的关系，同时也与直升机的操纵灵敏性有关系，在实际的结构设计中，应灵活确定其参数。

参考文献
[1]杨超，宋寿蜂.对直升机动力学的现状与发展的分析[J].北京航空航天大学学报，1995（2）：46-51.[2]王适存.直升机空气动力学[M].南京：南京航空学院印刷厂，1985.
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[4]计宏伟，李建波.桨根弹性约束刚度对直升机飞行动力学特性的影响[D].
江苏：南京航空航天大学，2016.
图18 k 2对振动幅值的影响
图19 阻尼c 2对振动幅值的影响。