第一单元 矩阵的概念及二阶矩阵与列向量的乘法

第1单元 矩阵的概念及二阶矩阵与平面列向量的乘法
【教学目标】
1． 了解矩阵的相关知识，如行、列、元素，零矩阵的意义和表示； 2． 掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则； 3． 理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射．
【教学过程】
1 矩阵的概念
1.1 从表到矩阵
向量OP =(1,3)，将坐标写入表 1中，可简记为13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
表 2表示甲、乙两名选手成绩，可表示成一张矩形数表，记为80908688⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
将方程组{
231,
324
2
x y mz x y z ++=-+=中未知数x ，y ，z 的系数按原来的次序排列可得到表 3，可记为
23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． 1.2 矩阵的概念
我们把形如[]10，13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，80908688⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，23324m ⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．
1.3 矩阵的表示
一般地，用黑体大写字母A ，B ，…或者()ij a 来表示矩阵，其中i ，j 分别表示元素ij a 所在的行与列．
1×2矩阵：[]10（只有一行的矩阵叫做行矩阵，也叫做行向量）；
2×1矩阵：13⎡⎤⎢⎥⎣⎦（只有一列的矩阵叫做列矩阵，也叫做列向量，并用希腊字母α，β，…来表示．通
常用来表示向量、坐标系内的点…）；
{
231,3242
x y mz x y z ++=-+=
2×2矩阵：80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（叫做二阶矩阵，n 阶矩阵即n ×
n 矩阵）．
2×3矩阵：23324m ⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦（注意矩阵的表示：n ×m 矩阵表示有n 行，m 列）．
1.4 特殊的矩阵
零矩阵——所有元素都为0的矩阵叫做零矩阵，记为0．例如[]00，0000⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
等．
单位矩阵——今后学习．
1.5 矩阵相等的充要条件
两个矩阵A ，B ，则A =B 当且仅当它们的行数与列数分别相等，且对应位置的元素也分别相等．
1.6 数学运用
例1 用矩阵表示△ABC ，其中()1,0A -，(0,2)B ，()2,0C ．
变式：矩阵M =01340220⎡⎤
⎢⎥⎣⎦表示怎样的平面图形？
例2 将方程组{231
3242
x y mz x y z ++=-+=的系数表示为矩阵．
例3 已知342x ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，12y z ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦B ，若=A B ，求x ，y ，z 的值．
1.7 行向量与列向量
一般地，我们把像[]1112a a 这样只有一行的矩阵称为行矩阵，而把像1121a
a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦这样只有一列的
矩阵称为列矩阵，并用希腊字母α，β，…来表示．
根据上述定义，平面上的向量(),x y =a 和平面上的点(),P x y 都可以看做是行矩阵[]x
y ，也
可以看做是列矩阵x
y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．因此我们常将[]x
y 称为行向量，而将x
y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
称为列向量．习惯上，我们把
平面向量(),x y 坐标写成列向量x
y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的形式，又因为
(),P x y OP ←−−−−→ 一一对应平面向量，
因此，x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦既可以表示点(),x y ，也可以表示以()0,0O 为起点、以(),P x y 为终点的向量x
y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故
在不引起混淆的情况下，对它们不加以区别．
2 二阶矩阵与平面列向量的乘法
2.1 行向量与列向量的乘法
怎样的两个矩阵可以做乘法？ 一个n ×1行向量可以与一个1×n 列向量相乘，得到的结果是一个1×1矩阵（即一个数）．
我们规定行矩阵[]1112a a 与列矩阵1121b
b ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦的乘法规则为
[][]1111
121111122121b
a a a
b a b b ⎡⎤=⨯+⨯⎢⎥⎣⎦
；
2.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法
二阶矩阵11122122a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与平面列向量00x
y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的乘法规则为
1112011012021220210220a a x a x a y a a y a x a y ⨯+⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯+⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦
．
例4 计算2001x y ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
．
解：20202010x x y x y x y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 2.3 平面变换的定义
一般地，对于平面上的任意一点(向量)(),x y ，按照对应法则T ，总能对应惟一的一个平面点(向量)()','x y ，则称T 为一个变换，简记为
()() ,','T x y x y →：或'
'x x T y y ⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
：
2.4 二阶矩阵与平面列向量的乘法的几何解释——平面变换
一般地，对于平面向量的变换T ，如果变换规则为
' 'x x ax by T y y cx dy +⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦：，也可记为矩阵形式' 'x x a b x T y y c d y ⎡⎤⎡⎤⎡
⎤⎡⎤
→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
： 由矩阵M 确定的变换T ，通常记作T M ．根据变换的定义，它是平面内点集到其自身的映射．当
α＝x
y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示某个平面图形F 上的任意一点时，这些点就组成了图形F ；它在T M 的作用下，将得
到一个新的图形F ′——原象集F 的象集F ′．
例5 计算：（1）1020530406⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（2）103014-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦．（教材P11题6）
例6 设点(),P a b 在矩阵1000⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到点P ′，求P ′点的坐标．（教材P11题7）
例7 已知点P 在矩阵3123⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到点()'2,5P -，求点P 的坐标．（教材P11题10）
例8 （1）已知'10'02x x x y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，试将它写成坐标变换的形式；
（2）已知'3'x x x y y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤
→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试将它写成矩阵乘法的形式．（教材P11题11）
例9 已知变换T 把平面上的点()2,0
，(
分别变换成点(
，(1-，试求变换T 所对应
的矩阵．
解：设变换T 所对应矩阵为M =a b c d ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，则
22020202a b a b a c d c d c +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，a b a c d c ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．
所以：1,2a c ==
112=-
=
1,2a c ==
b =，12d =． 所以M
=112⎡
⎢
⎥⎥⎦
．（相当于绕原点逆时针方向旋转60︒）．
例10 直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M ＝1203⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到直线l ′，求直线l ′的方程．
解：（法1）直线l 过点(－1,0)，（0,1)，因为1012101201030103---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ，故点(－1,0)，(2,3)在直线l ′上．则直线l ′的方程为x －y +1=0．
（法2）设点(x 0,y 0)为直线l 上一点，它在矩阵M 对应的变换下得到点(x ,y )，则001203x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得{
0002,3.x x y y y =+=解得002,
31.3
x x y y y ⎧=-⎪⎨
⎪=⎩ 因为(x 0,y 0)为直线l 上一点，故x 0－y 0+1=0，故有21
1033
x y y --+=，即x －y +1=0． 所以，直线l ′的方程为x －y +1=0．
【课后作业】姓名:____________________
1． 设M 是一个2×2的矩阵，规定其元素23,,{1,2}ij a i j i j =-∈，求M ．
2． 设矩阵M ＝31x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，N ＝52y m n m n ++⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦，若M ＝N ，求x ，y ，m ，n 的值．（类教材P10题5）
3． （1）已知'32'0.54x x x y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，试将它写成坐标变换的形式；
（2） 已知'5'6x x y
y y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试将它写成矩阵乘法的形式．
4． 计算（1）2581062-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（2）
121
3⎡⎢⎢⎥-⎣
⎦
．
5． （1）求点(2,3)在矩阵1234-⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦对应变换的作用下所得点的坐标；
（2）已知点P 在矩阵1012⎡⎤
⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为点()1,1-，求点P 的坐标．
6． 已知变换T 把平面上的点()()2,1,0,1-分别变换为点()()0,1,2,1--，试求变换T 所对应的矩阵M ．
7． 直线l ：y ＝2x 在矩阵M ＝1012-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l ′，求直线l ′的方程．
8． 求三角形121032-⎡
⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵M ＝1301-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
对应变换的作用下所得的象，并求该象的面积．。