(新教材学案)1.2.3直线与平面的夹角含解析

衡石量书整理
1.2.3 直线与平面的夹角
导思 1.空间中斜线与平面所成角的定义与性质是什
么？
2．求直线与平面所成角的方法有哪些？
1.直线与平面所成的角
直线与平面的夹角的取值范围与斜线与平面夹角的取值范围相同吗？
提示：不相同，直线与平面的夹角的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2 ，斜线与平面的夹角的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2 . 2．斜线与平面所成角的性质
(1)“最小角”结论
(2)“三相等”结论 经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、 射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等． (3)射影长计算公式 当线段AB 所在的直线与平面α所成的角为θ，且AB 在平面α内的射影为A′B′时，有A′B′＝AB__cos__θ．
一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？它是唯一的吗？ 提示：是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的．
3．直线与平面的夹角的向量求法
如果v 是直线l 的一个方向向量，n 是平面α的一个法向量，直线l 与
平面α所成角的大小为θ，则θ＝π2 －〈v ，n 〉或θ＝〈v ，n 〉－π2 ，
特别地，cos θ＝sin 〈v ，n 〉或sin__θ＝||cos 〈v ，n 〉 ．
直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 的夹角一定是直线和平面的夹角吗？
提示：不是，直线和平面的夹角为⎪⎪⎪⎪
⎪⎪π2－〈v ，n 〉 .
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)斜线与平面的夹角的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2 .( ) (2)直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( )
(3)一条直线与平面α所成的角小于它和平面α内其他直线所成的角．( )
提示：(1)×.斜线与平面的夹角的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2 . (2)×.直线的方向向量与平面的法向量的夹角可能是钝角．
(3)×.当直线与平面垂直时不对．
2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，且cos
〈m ，n 〉＝32 ，则直线l 与平面α所成的角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
【解析】选B.设直线l 与平面α所成的角为θ，
则sin θ＝cos 〈m ，n 〉＝32 ，所以θ＝60°.
3．(教材例题改编)已知直线l ∩平面α＝A ，B 是直线l 上一点，AB ＝6，直线l 与平面α所成的角为60°，则线段AB 在平面α内的射影长为________．
【解析】射影长＝ABcos 60°＝6×12 ＝3.
答案：3
关键能力·合作学习
类型一 定义法求直线与平面所成的角(数学运算、直观想象)
1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AB 上的点，且AB ＝4EB ，则直线C 1E 与平面ADD 1A 1所成角的正切值为( )
A ．28
B ．24
C ．216
D ．17
2．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P-ABCD 为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ，E 为棱PA 的中点，则直线CE 与平面PAD 所成角的正弦值为( )
A ．23
B ．53
C ．32
D ．22
3．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为________．
【解析】1.选A.如图，
在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，
所以直线C1E与平面ADD1A1所成角等于直线C1E与平面BCC1B1所成角，
因为EB⊥平面BB1C1C，连接BC1，
则∠EC1B即为直线C1E与平面BCC1B1所成角．
设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4a，
则EB＝a，BC1＝4 2 a.
所以tan ∠EC1B＝a
42a ＝
2
8
.
即直线C1E与平面ADD1A1
所成角的正切值为
2 8 .
2．选A.如图，侧棱PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，则平面PAD ⊥平面ABCD，
因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD，
而平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以CD ⊥平面PAD.
连接ED ，则ED 为CE 在平面PAD 上的射影，
则∠CED 为CE 与平面PAD 所成角，
设PA ＝AB ＝AD ＝2a ，
则AE ＝a ，ED ＝ 5 a ， EC ＝ED 2＋CD 2 ＝
5a 2＋4a 2 ＝3a. 所以sin ∠CED ＝CD CE ＝2a 3a ＝23
. 即直线CE 与平面PAD 所成角的正弦值为2
3
. 3．连接BC 1交B 1C 于O 点，连接A 1O.
设正方体棱长为a.易证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，
所以A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影，
所以∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角．
在Rt △A 1BO 中，A 1B ＝ 2 a ，OB ＝22
a ， 所以sin ∠BA 1O ＝OB A 1B ＝1
2
，
所以∠BA 1O ＝30°.
即A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°.
答案：30°
用定义法求直线与平面所成角的关注点
(1)关键：寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射影．
(2)三种情况：①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0； ②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为π2 ；
③若是斜线与平面，作出斜线与平面所成的角，通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．
类型二 向量法求直线与平面所成的角(数学运算、逻辑推理)
【典例】如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点．
(1)证明：AB 1∥平面BC 1D ；
(2)证明：BD ⊥平面AA 1C 1C ；
(3)若AA 1＝AB ，求直线BC 1与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值．
【思路导引】(1)连接B 1C ，交BC 1于O ，连接OD ，推导出OD ∥AB 1，由此能证明AB 1∥平面BC 1D.
(2)推导出BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，由此能证明BD ⊥平面AA 1C 1C.
(3)设AA 1＝AB ＝2，以B 为原点，在平面ABC 中过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出
直线BC 1与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值．
【解析】(1)连接B 1C ，交BC 1于O ，连接OD ，
因为正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，O 是B 1C 的中点，所以OD ∥AB 1，
因为AB 1⊄平面BC 1D ，OD ⊂平面BC 1D ，
所以AB 1∥平面BC 1D.
(2)因为正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，又D 是AC 中点，所以BD ⊥AC ，
又AA 1⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，
所以BD ⊥AA 1，
因为AA 1∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面AA 1C 1C.
(3)设AA 1＝AB ＝2，以B 为原点，在平面ABC 中过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C 1(0，2，2)，A( 3 ，1，0)，C(0，2，0)，1
C B ＝(0，－2，－2)，CA → ＝( 3 ，
－1，0)，1CC ＝(0，0，2)， 设平面AA 1C 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z)， 则1CA 3x y 0CC 2z 0
⎧=-=⎪⎨==⎪⎩n n ，取x ＝1，得n ＝(1， 3 ，0)，
设直线BC 1与平面AA 1C 1C 所成角为θ，
则sin θ＝11|C B |
|C B |||n n ＝238·4
＝64 . 所以直线BC 1与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为64 .
用向量法求直线与平面所成的角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量AB
→ ； (3)求平面的法向量n ；
(4)计算：设直线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|n ·AB →||n ||AB →|
.
已知四棱锥P-ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，PA ＝PD ，∠APD ＝90°，F 为AD 中点，BP ＝AD.
(1)证明：平面PBF ⊥平面ABCD ；
(2)求BF 与平面PBC 所成的角．
【解析】(1)因为PA ＝PD ，F 为AD 的中点，
所以PF⊥AD.
由题意，在△ABF中，AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，
由余弦定理，得BF＝AB2＋AF2－2·AB·AF·cos ∠BAF
＝22＋12－2×2×1×1
2＝ 3 .
因为PA＝PD，∠APD＝90°，AD＝2，所以PF＝1.
又BP＝AD＝2，所以BF2＋PF2＝BP2，即PF⊥BF.
因为AD⊂平面ABCD，BF⊂平面ABCD，AD∩BF＝F，
所以PF⊥平面ABCD，而PF⊂平面PBF，
所以平面PBF⊥平面ABCD；
(2)连接BD，因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，又F为AD的中点，
所以BF⊥AD.
由(1)知，FA，FB，FP两两互相垂直．以F为坐标原点，分别以FA，FB，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则F(0，0，0)，A(1，0，0)，D(－1，0，0)，B(0， 3 ，0)，P(0，0，1)，
FB
→ ＝(0， 3 ，0)，BC → ＝AD → ＝(－2，0，0)，PB → ＝(0， 3 ，－1). 设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，
由⎩⎨⎧n ·PB →＝3y －z ＝0n ·BC →＝－2x ＝0 ，取z ＝1，得n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，33，1 ； 设BF 与平面PBC 所成角为θ.
则sin θ＝|FB →·n ||FB →|·|n | ＝13·233
＝12 . 所以BF 与平面PBC 所成的角为π6 .
类型三 直线与平面所成角的性质及应用(直观想象、逻辑推理)
角度1
“最小角”结论的应用 【典例】已知PA ，PB ，PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是________.
【解析】如图，在PC 上任取一点D 并作DO ⊥平面APB ，连接PO ， 则∠DPO 就是直线PC 与平面PAB 所成的角．
所以cos ∠BPD ＝cos ∠DPO·cos ∠OPB ，
cos ∠APD ＝cos ∠DPO·cos ∠OPA ，
因为∠BPD ＝∠APD ＝∠APB ＝60°，
所以∠OPB＝∠OPA＝30°，
所以cos ∠DPO＝cos ∠BPD
cos ∠OPB＝cos 60°
cos 30°＝
1
2
3
2
＝
3
3，
即PC与平面PAB所成角的余弦值为3
3.
答案：3
3
本例若改为：已知PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，且∠APC＝∠BPC＝60°，直线PC与平面PAB所成的角为45°，求射线PA与PB的夹角．
【解析】在PC上任取一点D并作DO⊥平面APB，连接PO，
则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．
所以cos ∠BPD＝cos ∠DPO·cos ∠OPB，
cos ∠APD＝cos ∠DPO·cos ∠OPA，
因为∠BPD＝∠APD＝60°，∠DPO＝45°，
所以∠OPB＝∠OPA，
所以cos ∠OPA ＝cos ∠APD
cos ∠DPO ＝
cos 60°
cos 45°
＝
1
2
2
2
＝
2
2
，
所以∠OPA＝45°，所以∠APB＝2∠OPA＝90°，
即射线PA与PB的夹角为90°.
角度2
“三相等”结论及应用
【典例】如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，O为点P在平面ABC上的射影．
①若PA＝PB＝PC，则直线PA，PB，PC与平面ABC的夹角相等；
②若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的外心；
③若PD＝PE＝PF，则点O是△ABC的内心．
以上判断正确的序号是________．
【解析】连接OA，OB，OC，则OA，OB，OC分别是线段PA，PB，PC在平面ABC上的射影，∠PAO，∠PBO，∠PCO分别是直线PA，PB，PC与平面ABC的夹角，因为PA＝PB＝PC，
所以根据斜线与平面所成角的性质，有∠PAO＝∠PBO＝∠PCO，OA ＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心，①②正确；同理若PD＝PE＝PF，则OD＝OE＝OF，但是OD，OE，OF是否与△ABC的三边垂直
无法说明，故点O不一定是△ABC的内心，③不正确．
答案：①②
斜线与平面所成角的性质的应用策略
(1)“三相等”结论常用于直接证明角或线段的相等，省去了先证明三角形全等的麻烦；
(2)“最小角”结论可以用于比较线面角、线线角的大小，也可以求线面角、线线角，灵活应用这个结论，有时会起到事半功倍的效果．
1．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，P是棱BC上的动点．记直线A1P与平面ABC所成的角为θ1，与直线BC所成角为θ2，则θ1，θ2的大小关系是()
A．θ1＝θ2B．θ1>θ2
C．θ1<θ2D．不能确定
【解析】选C.因为θ1是直线A1P与平面ABC所成的角，而θ2是直线A1P与直线BC所成的角，由最小角定理可知θ1≤θ2，又因为直线BC在平面ABC内且不可能与A1P的射影AP共线，所以θ1<θ2.
2．在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为()
A．30米B．20米C．15 2 米D．15米
【解析】选A.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，△PAD是一个等腰直角三角形，∠APD＝90°.△OAB为等边三角形，所以OA＝30，
因为OP⊥平面ABCDEF，所以∠OAP＝45°，
所以OP＝OA＝30.要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30米．
课堂检测·素养达标
1．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角
是()
A．∠C1BB1B．∠C1BD
C．∠C1BD1D．∠C1BO
【解析】选D.由线面垂直的判定定理，得C1O⊥平面BB1D1D，
所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，
所以∠C 1BO 为BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角．
2．AB ⊥平面α于点B ，BC 为AC 在α内的射影，CD 在α内，若∠ACD ＝60°，∠BCD ＝45°，则AC 和平面α所成的角为( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
【解析】选C.设AC 和平面α所成的角为θ，
则cos 60°＝cos θcos 45°，
故cos θ＝2
2 ，所以θ＝45°.
3．(教材练习改编)已知正四面体ABCD ，则AB 与平面BCD 所成角的余弦值为( )
A ．12
B ．23
C ．13
D ．33
【解析】选D.取CD 中点E ，连接BE ，过A 作AO ⊥平面BCD ，则交BE 于O ，
设正四面体ABCD 的棱长为2，
则BE ＝22－12 ＝ 3 ，BO ＝23 BE ＝233
， 因为AO ⊥平面BCD ，所以∠ABO 是AB 与平面BCD 所成角，cos ∠
ABO ＝BO AB ＝2
332 ＝33
.
所以AB与平面BCD所成角的余弦值为
3 3 .
4．若θ是直线l与平面α所成的角，则cos θ的取值范围为________. 【解析】由题意，0≤θ≤90°，所以0≤cos θ≤1.
答案：[0，1]
5．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a ＝(1，2，3)，则l与α所成角的正弦值为________．
【解析】cos 〈a，n〉＝a·n
|a||n|＝
1×2＋2×1＋3×1
1＋4＋9·4＋1＋1
＝
2＋2＋3
14×6
＝
21
6，所以l与平面α所成角的正弦值为21 6.
答案：21
6
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