武汉大学研究生数值分析考试试题【范本模板】

武 汉 大 学

2013～2014学年第一学期硕士研究生期末考试试题

科目名称：数值分析 学生所在院: 学号: 姓名： 1、（10分）已知方程 32cos 120x x 。

（1）估计出含根的区间;

（2）讨论迭代格式 1

2

cos 43

n n x x 的收敛性； （3）写出求解此方程的牛顿迭代格式,并讨论初值0x 取何值时迭代收敛。

2、(10分）用杜利特尔（Doolittle)分解算法求解方程 b Ax =，其中

1

5

1

4227135

A

146116b 3、（14分）设线性方程组Ax

b 的系数矩阵ij

n n

A

a ,0,1,,ii

a i n 。

12,,

,T

n

b

b b b

（1）分别写出Jacobi 迭代格式及 Gauss —Seidel 迭代格式；

（2）证明：Gauss-Seidel 迭代格式收敛的充分必要条件是方程

11121212221

2

0n n n n nn

a a a a a a a a a 的根的模

1.

4、（12分）已知 )(x f y = 的数据如下：

求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H 及其余项。

5、（10分) 求形如 2y

a bx

cx 的拟合曲线。

6、（10分)确定常数 a ，b 的值，使积分

2

20

(,)

sin I a b a bx

x dx

取得最小值。

7、（10分）已知三次Legendre(勒让德）多项式331

()

(53)2

L x x x ，[1,1]x

试确定常数,(1,2,3)i i A x i

，使求积公式

31122333

()()()()f x dx

A f x A f x A f x

有尽可能高的代数精度,并判断它是否为高斯型求积公式。

8、（12分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==0

0)()

,(y x y y x f dx dy

的单步法：

1

1212

1(3)

4(,)22(,)3

3

n n n n n

n h

y y k k k f x y k f x h y hk

（1）验证它与微分方程相容； （2）确定此单步法的绝对稳定域

9、（12分）设初值0x

充分接近*

x a (0a 为常数）,证明：迭代格式

2

1

2(3)

,0,1,

3n n

n

n

x x a x n x a

三阶收敛于*x ，并求1

3

lim

)

n n

n

a x a

参考答案（2014-1-10）

1、 含根区间:［π，4]； 因为2()

sin 13

g x x ，所以迭代收敛；

在含根区间[π，4］,f 的一阶导数恒正，二阶导数恒负，所以取初值为π时牛顿必收敛. 2、分解为

1

00151

410023111007

A

LU

,(14,5,7)T Ly b y ,(8,1,1)T Ux y x

3、见教材略

4、2

2()376L x x x

，令2

3()376(1)(2)(3)H x x x a x x x

得到3

2

32,()

29156a

H x x x x

5、1

1

111

210124

2024

T

A 法方程y A b a A A T

T

=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛为：

5

0104

1000100342

a

b c

a =58/35=1。657，

b =0,c=—3/7=—0.429

6、

1

1,

x ，

2

2

3

12

81

8

24

a b ， 2

24

(

1)0.11453

a

, 3

96

(1

)0.66434

b

7、三次Legendre(勒让德）的根为 30,

5 令换元3x t ,

311233

1

2727()3

(3)3[(

)(0)(

)]5

5

f x dx f t dt

a f a f a f 再分别取2()

1,,f x x x 代入得到3

2

58,3

3

A

A A

有5次代数精度，是高斯型积分公式。

8、见教材 9、（1）令22

(3)

()

3x x a g x x a

，求导得()()0g a g a ，所以三阶收敛。

极限中的分子31

()

()

()

()3!

n

n n

g x a

g x g a x a ，其中介于n x 之

间。所以原极限

()()1lim

3!3!4n

g g a a