三角函数图像和性质

Z）时，ymax
1；
x
π
2
2kπ（k
Z）时，ymin
1；
例1、下列各等式能否成立？为什么？ （1）2sinx=3； （2）sin2x=0.5
1 sin x 1
例2、设sinx=t-3，x∈R，求t的取值范围。
例3 求下列函数的最值，并求出相应 的x值。 （1） y=2sinx （2）y=sinx+2 （3） y=（sinx-1）2+2 （4）y=sin2x
2
2
练习1、y 1 的定义域为（
）
sin x
A.R
B.{x | x kπ，k Z）
C.[1，0）（0，1]
D.{x | x 0}
练习2、y 3sin（2x ）最小正
6 周期为（ ）
A.4π
B.2π
Cπ.
D.
2
练习3、下列函数为偶函数的是（ ）
A.y sin | x |
B.y sin 2x
等式sin（ ） sin 能否说明
sin（x 2kπ4 ）2 sin x，4 x R，k 0
是正弦函数y sin x的周期？为什么？
2
性质二：周期性
对于一个周期函数f（x），如果在它的所有周 期中存在一个最小的正数，那么这个最小的 正数就叫做它的最小正周期。
sin x的周期：...... 4、 2、2、4、6......
正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象
定义域为R
值域为[-1,1]
y
1
y=1
4
3
2
7 2
5
3
2
2
0
2
2
-1
x 2kπ（k Z）
2
x 2kπ（k Z）
2
2
3 2
3
4
5
7
x
2
2
y= -1
性质一：正弦函数 y=sinx 定义域和值域
定义域为R，值域为[-1,1]
x
π
2
2kπ（k
0
3
5
7
x
2
2
2
2
2
2
2
2
-1
y sin x的减区间：[ 2k，3 2k ] （k Z）
2
2
性质三：正弦函数 y=sinx 的单调性
增区间：
[ 2kπ，π 2kπ] （k Z）
2
2
减区间：
[ 2kπ，3π 2kπ]
2
2
（k Z）
例5、求下列函数的单调区间： （1）y 1 sin x
性质二：周期性 正弦函数y sin x的周期2kπ(k Z, k 0)
T 2
y Asin（ωx φ）（A 0，ω 0, x R)
的周期为T
2π ω
正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象
y sin x的增区间：[ 2k， 2k ]
2
2
y
1
（k Z）
4
3
2
2
3
4
7
5
3
2
3 2
3
4
5
7
x
2
2
性质一：定义域和值域
定义域为R，值域为[-1,1]
增性性性减 x质x质质区 的y区四三二周π间：：：π2间2A期奇单周s：[：i偶[调期为n2（2性k性性Tk2ωππx2正（ω2（2πkφ弦kπ Tkkπ函），， 数3（Zπ πZ22）f）A（时x时220）kk，，，π π=ωsy]]yimnmaxinx0为,（ （x奇1；kk函1R； )数ZZ。））
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
2
2
2 -1
2
3 2
3
4
5
7
x
2
2
sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z）
f（x 2k） f（x），（k Z）
性质二 周期性
一般地，对于函数f（x），如果存在一个非 零常数T，使得定义域内的 每一个x值，都满 足f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做 周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
（2）y sin 2x
f (x) sin x
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
2
2
2 -1
2
3 2
3
4
5
7
x
2
2
f（ x） sin（ x） sin x f（x）
性质四：奇偶性
正弦曲线关于原点（0，0）对称； 正弦函数f（x）=sinx为奇函数。
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
2
2
2
-1
C.y sin x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D.y sin x 1
练习4、y 2 sin x的最大值及取得 最大值时x的值为（ ）
A.y 3，x
2
B.y 1，x 2k（k Z）
2
C.y 3，x 2k（k Z）
2
D.y 1，x 2kπ（k Z）
2
回顾： 1、正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象；
例如：y=sinx的最小正周期T=2π
例4求下列函数的周期：f（x T ） f（x）
（1）y sin 3x
（2）y sin x 4
分析：令3x=Tu 2
3
y=sinu的周期为2π
T 8
u →u+2π
（3）y Asin（x3x →）3x，+2（πA（30x，2）0)
T xx2xx23?
3
y 1
o
2
2
-1
五点法：
(0,0) ( ,1) ( ,0)
2
3
2
x
2
(3 ,1) (2 ,0)
2
回顾：
2、正弦函数y=sinx，x∈R的图象；
sin(x+2k)=sinx, kZ
y=sinx x[0,2]
y=sinx xR
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x