20080411高一数学(331几何概型)

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高中数学第三章概率331几何概型课件新人教A版必修3(00001)

1 6
.又S底面ABCD＝1，所以只要h≤
1 2
即可．所有满足h≤
1 2
的点
组成以正方形ABCD为底面，12为高的长方体，其体积为12.又正方体
的体积为1，所以使四棱锥M－ABCD的体积不超过 16 (事件A)的概率
1
为P(A)＝21＝12.
先要确定使四棱锥M－ABCD体积不超过
1 6
的M点构成的几何
2，又圆的面积是π，所以P(A)＝2π.故选D. 答案：D
类型三体积类几何概型
例3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随
机取一点M，求使四棱锥M－ABCD的体积不超过
1 6
(事件A)的概
率．
【解析】
设M到平面ABCD的距离为h，则VM－ABCD＝
1 3
S底面
ABCD·h≤
状元随笔几何概型与古典概型的异同
名称
古典概型
几何概型
相同点
基本事件发生的可能性相等
①基本事件有有限个； ①基本事件有无限
不同点
②P(A)＝0⇔A为不可个；②P(A)＝0⇐A为不
能事件；③P(B)＝1⇔ 可能事件；③P(B)＝1⇐
B为必然事件
B为必然事件
知识点二几何概型的概率计算 1．几何概型的概率计算公式
心，1为半径作圆，在矩形ABCD内的部分(半圆)的面积为
π 2
，因此
取到的点到点O的距离大于1的概率P＝2－2 2π＝1－π4.
【答案】 B
取到的点到点O的距离大于1表示取到的点在以O为圆心，1为
半径的圆外.
方法归纳此类几何概型问题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型公式，从而求得随机事件的概率．

人教版高中必修33.3.1几何概型课程设计

人教版高中必修3-3.1 几何概型课程设计一、课程背景高中数学是普通高中教育中必修的一门学科。

其中，几何是其中的重要组成部分。

在几何方面，除了基本的几何概念、几何公式、几何等式外，还有几何概型。

此课程设计是基于人教版高中必修3-3.1几何概型教材编写的，通过课程设计，旨在帮助学生全面了解几何概型的相关概念、知识点及其应用，培养学生学习和运用几何知识的能力，提高他们学习几何的兴趣和能力，为其未来的学习奠定基础。

二、教学目标通过本次课程设计的教学，期望学生能够：•掌握几何概型的相关概念、知识点，并能成功运用；•加深对几何知识的理解，从而提高学生的学习兴趣及学习能力；•培养学生的思维能力、分析问题的能力和解决问题的能力；•为学生接下来的学习及应用提供基础支持。

三、教学内容1. 概型问题的本质•了解概型问题的本质是什么；•了解概型问题的类型；•理解非概型问题与概型问题的区别。

2. 线段、角的分类•掌握线段分类的方法；•掌握角度分类的方法；•理解角的基本概念。

3. 三角形•了解三角形的基本知识点；•掌握三角形内角和定理及其证明；•掌握三角形的分类方法。

4. 直线和圆的位置关系•掌握圆心角和圆弧关系；•了解圆与直线的位置关系及其相关知识点；•理解圆和直线的相交关系。

5. 同位角•了解同位角的相关概念及其应用；•掌握同位角对应的角具有相等性的特点；•理解同位角对角的表达。

6. 相似问题•掌握相似三角形的定义及其相关概念；•了解相似三角形的判定方法和应用；•掌握相似三角形的求解方法。

四、教学方法1. 案例分析法针对几何概型的知识点，要求学生自己探讨、设计、分析，通过案例研究等方法灵活运用几何知识。

2. 理论讲解法在讲解重要知识点、定理时，老师将依托于理论知识进行课堂讲解，注重讲解中的启发式、图像化等方法，以让学生感性理解。

3. 思维启发法通过提出问题、运用反例、调动积累知识等思维激发方法，引导学生发散思维和沉淀掌握的几何知识。

331几何概型课件

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式3】在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM 交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率．
解如图所示，因为过一点作射线是均匀的，因而应把在∠ACB内作射线CM看做是等可能的，基本事件是射线CM落在 ∠ACB内任一处，使|AM|＞|AC|的概率只与∠BCC′的大小有关，这符合几何概型的条件．设事件D为“作射线CM，使|AM|＞|AC|”．在 AB 上取点 C′使|AC′|＝|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′＝180°－2 30°＝75°， μA＝90－75＝15，μΩ＝90，所以 P(D)＝1950＝16.
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特别提示在使用几何概型中，事件 A 的概率计算公式
P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域面长积度或面体积积或体积时，公式中分子和分母涉及的几何度量一定要对等．即若一个是长度，则另一个也是长度．一个若是面积，则另一个也必然是面积，同样，一个若是体积，另一个也必然是体积．
距离平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1 的距离都大于a3的概率为13.
(8 分)
(3)设点 M 到平面 ABCD 的距离为 h，由题意，得13a2h＜16a3，
∴h＜a2.
∴使四棱锥 M－ABCD 的体积小于16a3 的概率为12.
(12 分)
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【题后反思】分清题中的条件，提炼出几何体的形状，并找出总体积是多少．以及前探究学习
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解记 E：“A 与 C，B 与 D 之间的距离都不小于 10 米”，把 AB 三等分，由于中间长度为 30×13＝10(米)，所以 P(E) ＝1300＝13.

高中数学必修3课件：3.3.1 几何概型

栏目导引
精彩推荐典例展示
第三章概率
规范解答几何概型与其他知识的综合应用
例4 (本题满分12分)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y
＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
【解】 (1)由点到直线 l 的距离公式可得
d＝ 422＋5 32＝5 1 .
栏目导引
第三章概率
题型二与面积有关的几何概型例2 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗
小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖．小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
【解析】各选项中奖的概率依次为38，14，31，13，故选 A.
栏目导引
第三章概率
【答案】 A 【名师点评】找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关的面积，套用公式从而求得随机事件的概率．
B.25
C.35
D.54
栏目导引
第三章概率
解析：选 A.所有的基本事件构成的区间长度为 3－(－2)＝5， ∵直线在 y 轴上的截距 b 大于 1， ∴直线横截距小于－1， ∴“直线在 y 轴上的截距 b 大于 1”包含的基本事件构成的区间长度为－1－(－2)＝1，由几何概型概率公式得直线在 y 轴上的截距 b 大于 1 的概率为 P＝51，故选 A.
栏目导引
第三章概率
【名师点评】本题相当于把正方体分割为27个棱长为1的小正方体，蜜蜂位于正中间的一个正方体内．
栏目导引
第三章概率
跟踪训练
3．已知正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体 ABCDA1B1C1D1 内任取点 M ，点 M 在球 O 内的概率是 ________．

高中数学3.3-1几何概型

是多方面的：有平时训练时的不严格要求自己，有审题时的粗枝大叶、不细心，有忙而出错……；我们要找出自己粗心的原因，有针对性的训练自己，从而克服自己的粗心.
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求解关键是将问题几何化，法二用参数x表示时间，转化为用数
轴上的线段(几何图形)来表示，用区间长度作为几何度量．
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【变式1】一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯
的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列
三种情况的概率各是多少？ (1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．
误区警示审题不清而出错【示例】国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段
内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被
某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了
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【核心扫描】 1．几何概型的概念、公式及应用．(重点)
2．几何概型的概率计算．(难点)
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自学导引 1．几何概型的两个基本特点：(1)基本事件有无限多个； (2)每个基本事件出现的可能性相等． 2．几何概型
对一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生，则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面

3.3 几何概型-高一数学人教版(必修3)

第三章概率3.3 几何概型1．几何概型（1）几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.（2）几何概型的特点①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有________多个.②每个基本事件发生的可能性________.（3）古典概型与几何概型的异同点相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的.不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关.2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：()P A ________________.3．均匀随机数的产生（1）均匀随机数的定义在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样，称这样的随机数为均匀随机数.我们常用的是[0,1]上的均匀随机数.（2）均匀随机数的特征由均匀随机数的定义,可得随机数的特征：①随机数是在一定范围内产生的；②在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等.（3）[0,1]上的均匀随机数利用计算器的RAND（）函数可以产生0~1之间的均匀随机数,试验的结果是区间［0,1］上的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的.因此,可以用计算器产生0~1之间的均匀随机数进行随机模拟.用带有PRB功能的计算器产生均匀随机数的方法如图所示：试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）1．与长度有关的几何概型的求法求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件A 包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.注意：在寻找事件A 发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件A 的概率.[]2,2-中随机选取一个实数a ，则函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点的概率是A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】()14214221x x x xf x a a +=-⋅+=-⋅+,令20x t =>，则()()221f x g t t at ==-+.若函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点，即方程14210x x a +-⋅+=有实根，即方程2210t at -+=有大于零的实根.由根与系数的关系得1210t t =>，故方程的两个根同号，则1220t t a +=>，解得0a >.又因为2440a ∆=-≥，解得1a ≤-或1a ≥.综上所述，满足题意的a 的取值范围是12a ≤≤.故由几何概型可知函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点的概率是()211224-=--.故本题正确答案为A.【名师点睛】本题考查的是函数的零点和几何概型问题.本题中的函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点，通过换元20x t =>，转化为方程2210t at -+=有大于零的实根，由2440a ∆=-≥，1210t t =>且1220t t a +=>，解得12a ≤≤，由几何概型可知函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点的概率是14. 2．与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率.“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 A ．π12-B ．π13-C ．π112-D ．π16-【答案】D 【解析】如图，∵三角形的三边长分别是5,5,6，∴三角形的高4AD =，则三角形ABC 的面积164122S =⨯⨯=.易知蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2对应的区域为图中的阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的12，又圆的半径为2，则阴影部分的面积为21112π2122π2S =-⨯⨯=-，根据几何概型的概率计算公式可得所求的概率为122ππ1126-=-，故选D.【名师点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键，考查转化思想以及计算能力.求出蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2对应图形的面积及三角形的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得到结论. 3．与体积有关的几何概型的求法用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解.P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,2PA AB ==,在该四棱锥内部或表面任取一点O ,则三棱锥O PAB -的体积不小于23的概率为______. 【解析】如图,取,,,AD BC PC PD 的中点分别为,,,E F G H ,连接,,,,EF FG GH HE 当点O 在几何体CDEFGH 内部或表面上时,23O PAB V -≥.在几何体CDEFGH 中,易知56CDEFGH G CDEF G DEH V V V --=+=, 又83P ABCDV -=,则所求概率为5568163=.【名师点睛】本题主要考查几何概型、棱锥的体积公式，考查了空间想象能力与计算能力. 4．随机模拟的应用（1）求解不规则图形的面积：利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A 的面积,解题的依据是根据随机模拟估计概率()A P A =随机取的点落在中的随机取点频数的总次数，然后根据()P A =A 随机取点的全部结构成事件的区域面果构成的积区域面积列等式求解.（2）估算随机事件的概率：用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟.应用随机模拟方法设计模拟试验，可用计算器产生随机数，通过随机数的特征来估计概率.注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值.y=f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成区域的面积S.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,…,x N和y1,y2,…,y N,由此得到N个点(x i,y i)(i=1,2,…,N).再数出其中满足y i≤f(x i)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为__________．【解析】这种随机模拟的方法是在[0,1]内生成N个点,而在曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成的区域内的点有N1个,所以1NSS N≈矩形,又矩形的面积是1,所以由随机模拟方法得到S的近似值为1NN.【名师点睛】用随机模拟的方法构造几何概型求面积,即可求出所求面积的近似值.1）在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，求事件“||1AM≤”的概率；（2）某班在一次数学活动中，老师让全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x，y，统计出两数能与1构成锐角三角形的三边长的数对(,)x y共有12对，请据此估计π的近似值（精确到0.001）．【解析】（1）如图，在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，满足条件的点M落在扇形BAD内（图中阴影部分），由几何概型的概率计算公式，得π(||1)4ABCDSP AMS≤==阴影部分正方形，故事件“||1AM≤”的概率为π4．（2）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，任取两个小于1的正实数x，y，所有基本事件构成区域01(,)|01xx yyΩ⎧⎫<<⎧⎪⎪=⎨⎨⎬<<⎪⎪⎩⎩⎭，即正方形ABCD内部；事件N=“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域220101(,)|11xyN x yx yx y⎧⎫<<⎧⎪⎪⎪<<⎪⎪⎪=⎨⎨⎬+>⎪⎪⎪⎪⎪⎪+>⎩⎩⎭，即扇形BAD以外正方形ABCD以内的阴影部分.由（1）知π()14P N=-，全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x，y，可以看作在区域Ω中任取56个点；满足“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”的(,)x y共有12对，即有12个点落在区域N 中，故其概率为1235614=，用频率估计概率，有π31414-≈，即π11414≈，故1122π4 3.143147≈⨯=≈，即π的近似值为3.143．【方法点睛】本题主要考查了几何概型问题，其中解答中涉及几何概型及其概率的计算、几何概型的应用等知识点，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中仔细审题，转化为几何的度量关系是解答的关键． 5．几何概型中测度的选取不正确ABC 中,直角顶点为C .（1）在斜边AB 上任取一点M ,求AM <AC 的概率;（2）在∠ACB 的内部,以C 为端点任作一条射线CM ,与线段AB 交于点M ,求AM <AC 的概率. 【错解】（1）如图所示,在AB 上取一点C ',使AC '=AC ,连接CC '.由题意,知AB .由于点M 是在斜边AB 上任取的,所以点M 等可能分布在线段AB 上,因此基本事件的区域应是线段AB . 所以()AC P AM AC AB '<===. （2）在∠ACB 的内部作射线CM ，则所求概率为AC AC AB AB '==【错因分析】第（2）问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确，因为在∠ACB 的内部作射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度而不是长度. 【正解】（1）如图所示,在AB 上取一点C ',使AC '=AC ,连接CC '. 由题意,知AB .由于点M 是在斜边AB 上任取的,所以点M 等可能分布在线段AB 上,因此基本事件的区域应是线段AB .所以()AC P AM AC AB '<===.（2）由于在∠ACB 内作射线CM ,等可能分布的是CM 在∠ACB 内的任一位置(如图所示), 因此基本事件的区域应是∠ACB ,又1(18045)67.52ACC '∠=-=，90ACB ∠=，所以()ACC P AM AC ACB '∠<==∠的角度的角度67.53904=. 【名师点睛】在确立几何概型的基本事件时,一定要选择好观察角度,注意判断基本事件的等可能性.1．在边长为(2)a a >的正方形内有一个半径为1的圆，向正方形中随机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为35，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．235a B ．225aC ．25aD ．35a2．欧阳修《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．卖油翁的技艺让人叹为观止．设铜钱是直径为4 cm 的圆，它中间有边长为1 cm 的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴（不计油滴的大小）正好落入孔中的概率为A ．14π B ．14 C ．116πD ．1163．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB =2BC =4，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π 4．在[]1,1-上随机取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(13)25x y -+=相交”发生的概率为 A ．12 B ．513C ．512D ．345．如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是A ．12 B ．34C ．18D ．386．在区间(0,2)内任取一个实数a ，则使函数()21log a f x x -=在()0,+∞上为减函数的概率是A ．12 B ．14 C ．16D ．187．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计如下实验来估计π的值：在区间[1,1]-内随机抽取200个数，构成100个数对(,)x y ，其中以原点为圆心，1为半径的圆的内部的数对(,)x y 共有78个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为 A ．257B ．227 C ．7825D ．72258．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为 A ．4π B ．3π C ．2πD ．1π9．如图所示，椭圆内切于矩形，其中矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300粒黄豆，落在椭圆内的黄豆数为204粒，以此实验数据为依据，可以估计出椭圆的面积约为A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.3210．在区间[]1,10上任取一个实数x ，则28x ≤的概率为A ．39 B ．29C ．15D ．1311．某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课，每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7:50~8:30，课间休息10分钟．某同学请假后返校，若他在8:50~9:30之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是A ．12B ．13 C ．23D ．3512．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于235cm 的概率为A ．34B ．16C ．14D ．5613．如图，在边长为2的正方形中，随机撒1000粒豆子，若按π≈3计算，估计落到阴影部分的豆子数为A ．125B ．150C ．175D ．20014．设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A ．12B ．13 C ．23D ．1415．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有60 kg 的果子收成，则此圭田中的收成约为 A ．25 kg B ．50 kg C ．1500 kgD ．2000 kg16．如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形（阴影部分）放在圆内，现在向圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为A ．11-πB ．1πC ．πD ．41π-17．某小区计划在一正六边形花园内均匀地栽种900株花卉，如图所示，则阴影部分能栽种的株数为A．200B．400C．350D．30018．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于236cm 与281cm之间的概率为A．116B．18C．14D．1219．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于A．产生的随机数的大小B．产生的随机数的个数C．随机数对应的结果D．产生随机数的方法20．如图面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分，若往矩形ABCD投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个，试估计阴影部分的面积为A．B．C．D．21．为了了解奥运五环及其内部所占面积与单独五个圆环及其内部面积之和的比值P，某同学设计了如右图所示的数学模型，通过随机模拟的方法，在长为8，宽为5的矩形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点的个数为n，若圆环的半径为1，则比值P的近似值为A ．325nN π B ．32nN π C ．8n NπD ．532n Nπ22．若正方形ABCD 的边长为4， E 为四边形上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于__________． 23．在[0,20]中任取一实数作为x ，则使得不等式12log (1)4x ->-成立的概率为__________．24．设x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，记“以(x ，y)为坐标的点落在不等式221x y +≥所表示的平面区域内”为事件A ，则事件A 发生的概率为__________．25．在区间[20,100]内任取一个实数m ，则实数m 落在区间[50,75]的概率为__________． 26．若在区间[1,4]-上随机选取一个数x ，则事件1x ≥发生的概率为__________．27．在区间（0，4）内任取一实数t ，则2og 1(l 1t -<）的概率是__________．28．记函数y =D ，在区间[]3,5-上随机取一个数x ，则D x ∈的概率为__________．29．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则事件“310a -<”发生的概率为__________． 30．已知函数()2x f x =，则在[0,10]内任取一个实数0x ，使得0()16f x ≥的概率是__________．31．矩形ABCD 中，6, 4AB =AD =，若在该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP △的面积不大于3的概率是A ．18 B ．16 C ．14D ．1232．已知圆C 的半径为2，在圆内随机取一点P ，并以P 为中点作弦AB ，则弦长AB ≤的概率为A ．14B ．34C D 33．设函数2()log f x x =，在区间(0,5)上随机取一个数x ，则()2f x 的概率为A ．15B ．25 C ．35D ．4534．如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC ∆为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，已知2BC =，4AC =，在ABC ∆上任取一点，则此点取自正方形DEFC 的概率为A ．19 B ．29C ．49D ．5935．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为A ．15B ．14 C ．13D ．1236．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．4π- B ．32π-C ．3π-D 37．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全，即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10，飞行才是安全的．假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等，那么蜜蜂飞行安全的概率是A ．512B ．23 C ．127D ．42538．已知A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点B ，则弦AB 的长度大于等于半径长度的概率为A ．12 B ．14C ．23D 39．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于16 2cm 的概率为 A ．23 B ．34C ．25D ．1340．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为 A ．0.18 B ．0.32 C ．0.36D ．0.6441．如图，点C 在以AB 为直径的圆上，且满足CA CB =，圆内的弧线是以C 为圆心，CA 为半径的圆的一部分．记ABC △三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ．在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为1P ，2P ，则A ．12P P =B ．12P P >C ．1241P P +=π+ D ．2111P P -=π+ 42．如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形，直角三角形两直角边的比为1:2，小正方形的边长为2，作出小正方形的内切圆，现在大正方形内随机取–点，则此点取自圆内部分的概率为A ．8πB ．12π C ．20πD ．25π43．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为ABCD44．小李与小方是同一公司的职员，他们公司的班车早上7点到达A 地，停留20分钟，他们在6:40至7:30之间到达A 地搭乘班车，且到达A 地的时刻是随机的，则他们两人都能赶上公司班车的概率为 A ．0.6 B ．0.64 C ．0.72D ．0.845．小明和小波约好在周日下午4:00–5:00之间在某处见面，并约定好若小明先到，最多等小波半小时；若小波先到，最多等小明15分钟，则小明和小波两人能见面的概率为A ．1332 B ．1732C ．1932D ．233246．中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面左上方缀着的五颗黄色五角星，四颗小五角星环拱于大星之右，象征中国共产党领导下的革命人民大团结和人民对党的衷心拥护．五角星可通过正五边形连接对角线得到，且它具有一些优美的特征，如221211121111A E B A A B B A A B B E ==且等于黄金分割比12，现从正五边形11111A B C D E 内随机取一点，则此点取自正五边形22222A B C D E 内部的概率为ABCD47．从[]02，中任取一个数x ，从[]03，中任取一个数y ，则使224x y ≤＋的概率为A ．12 B ．π9 C ．π3D ．π648．下列概率模型中，几何概型的个数为①从区间[]1010-，上任取一个数，求取到的数在[0，1]内的概率；②从区间[]1010-，上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[]1010-，上任取一个整数，求取到大于1而小于3的数的概率；④向一个边长为4cm 的正方形内投一点，求点离中心不超过1cm 的概率． A ．1 B ．2 C ．3D ．449．如图，直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=，1AB AD ==，BC =AD 上任取点E ，连BE交AC 于点F ，则12AF <的概率为A ．14 B C ．23D ．3450．在区间[]ππ-，内随机取两个数分别记为a b ，，则使得函数()2222πf x x ax b =+-+有零点的概率为A ．π18-B ．π14-C ．π12-D ．2π14-51．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =__________． 52．把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数()[]f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]2,5上任取x ，则[]x =的概率为__________．53．一个正方体的外接球的表面积为48π，从这个正方体内任取一点，则该点取自正方体的内切球内的概率为__________．54．在等腰Rt ABC △中，在斜边AB 上取一点M ，则AM 的长小于AC 的长的概率为__________． 55．已知集合A ={x |－1<x <5}，B ={x |203x x->-}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是__________．56．已知圆C ：221x y +=，直线l ：(2)y k x =+，在[1,1]-上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C相交”发生的概率为__________．57．—只蚂蚁在三边长分别为6，8，10的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为__________．58．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．59．已知33x -≤≤，22y -≤≤，点M 的坐标为(),x y ．（1）求当,x y ∈R 时，点M 满足()2224x y +-≤的概率；（2）求当,x y ∈Z 时，点M 满足()2224x y +-≤的概率．60．已知关于x 的一元二次方程20x b ++=．（1）若{}0,1,2,3a ∈，{}0,1,2b ∈，求方程20x b ++=有实根的概率；（2）若[]0,3a ∈，[]0,2b ∈，求方程20x b ++=有实根的概率．61．（1）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a b 、，求log a b 为整数的概率？（2）两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去．试求这两人能会面的概率？62．甲与乙午觉醒来后，发现自己的手表因故停止转动，于是他们想借助收音机，利用电台整点报时确认时间．（1）求甲等待的时间不多于10分钟的概率；（2）求甲比乙多等待10分钟以上的概率．63．【2018年高考全国卷Ⅰ】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，A C．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p364．【2017年高考全国卷Ⅰ】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8πC ．12D ．4π 65．【2017年高考江苏卷】记函数f （x ）D ．在区间[–4，5]上随机取一个数x ，则x∈D 的概率是__________．1．【答案】A【解析】由几何概型可知2π35a =，则23π5a =．故选A ． 2．【答案】A【解析】由题意可得直径为4 cm 的圆的面积为π×22=4π，而边长为1 cm 的正方形面积为1×1=1，故所求概率P =14π，故选A ． 3．【答案】B【解析】以AB 为直径的圆的面积为21222⨯π=π，矩形ABCD 的面积为428AB BC ⋅=⨯=，由几何概型的概率公式可知，所求事件的概率为284π=π，故选B ． 4．【答案】C【解析】直线y kx =与圆22(13)25x y -+=相交，555,1212d k ⎛⎫=<⇒∈- ⎪⎝⎭，直线斜率55,1212k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时与圆相交，故所求概率10512212P ==．故选C ． 5．【答案】D【解析】圆被8等分，其中阴影部分有3分，因此所求概率为38P =．故选D ． 6．【答案】B【解析】因为函数()()21log a f x x -=在()0,+∞上为减函数，所以0211a <-<，112a <<，由几何概型概率公式可得函数()()21log a f x x -=在()0,+∞上为减函数的概率是1112204-=-，故选B ．7．【答案】C【解析】根据几何概型公式知：178********S P S π===⇒π=，故选C ． 8．【答案】D【解析】由题意，边长为2的正方形的孔的面积为1224S =⨯=，又由半径为2的圆形纸板的面积为224S =π⨯=π，根据面积比的几何概型，可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为1414S P S ===ππ，故选D ． 9．【答案】C【解析】设椭圆面积为S ，椭圆内切于矩形，其中矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300粒黄豆，落在椭圆内的黄豆数为204粒， ∴20464300S =⨯，以此实验数据为依据，可以估计出椭圆的面积约为：2420416.32300S ⨯==．故选C ． 10．【答案】B【解析】由已知区间[1，10]上任取一个实数x ，对应集合的区间长度为9，而满足28x ≤的x ≤3，对应区间长度为2，所以所求概率是29，故选B ． 11．【答案】A【解析】他在8:50~9:30之间随机到达教室，区间长度为40，他听第二节课的时间不少于10分钟，则他在8:50~9:10之间随机到达教室，区间长度为20， ∴他在8:50~9:30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是201=402，故选A ． 12．【答案】B【解析】设cm AC x =，(0,12)x ∈，则(12)cm CB x =-，由(12)35x x ->，解得57x <<，故所求概率是21126，故选B ．【解析】由题意知圆的半径为1，则圆的面积近似为3，又正方形面积为4，则阴影部分面积为11(43)0.522-==．设落到阴影部分的豆子数为n ，则12,12510004n n ==．故选A ．14．【答案】C【解析】由题意，函数2()23f x x x =--，令()0f x ≤，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，根据长度比的几何概型可得概率为3(1)24(2)3P --==--，故选C ．15．【答案】C【解析】1852110060(812)82x⨯⨯=⨯⨯+⨯，解得1500x =．故选C ．16．【答案】D【解析】如图所示，2S r π=π=圆，111=811824442COD S S S ⎛⎫⎛⎫-⨯=⨯-⨯⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ△圆空白，所以()==244S S S π---=ππ-星形圆空白，故点落在星形区域内的概率为441P -π==-ππ，故选D ． 17．【答案】D【解析】由题意可得阴影部分面积占正六边形面积的13，设阴影部分能栽种x 株，则有19003x =，解得300x =．故选D ．【解析】正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间，所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间．线段AB 的长度为12 cm ，则所求概率为961124-=．故选C ． 19．【答案】B【解析】随机数容量越大，概率越接近实际数． 20．【答案】B【解析】向矩形ABCD 内随机投掷1000个点，相当于1000个点均匀分布在矩形内，而有400个点落在非阴影部分，可知落入阴影部分的点数为600，所以，阴影部分的面积=60041000⨯=2.4．故选B ． 21．【答案】C【解析】设“五环及其内部所占面积”为S ，则40,58S n n S N N ==⨯，故24085π15ππS n n P N N===⨯⨯⨯，故选C ． 22．【答案】18【解析】由题3BG DF ==时5AG AF ==，则当E 在,GC CF 上运动时，AE 的长度大于5 故AE 的长度大于5的概率等于111168+=，故答案为：18．23．【答案】45P =【解析】依题意，111222log (1)4log (1)log 16x x ->-⇔->0116117x x ⇔<-<⇔<<，故所求概率17142005P -==-．故答案为：45P =．24．【答案】1﹣8π【解析】由题得x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，对应的区域是长方形，其面积为24=8⨯．。

高中数学 331几何概型教案新人教B版必修3 教案

《几何概型》教学设计一、教学目标1.知识与技能目标：（1）通过本部分内容的学习，理解几何概型的意义、特点，掌握几何概型的概率公式；（2）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（3）通过解决具体问题的实例感受理解几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法，逐步学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力。

感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。

2.过程与方法目标：（1）情境引入，通过师生共同对“问题链”的探究，运用观察、类比、思考、探究、概括、归纳的方法体会数学知识的形成的过程，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力。

（2）通过小组的探究讨论，让学生学会分享自己的见解，培养学生的团队合作精神。

3.情感态度与价值观目标：本节课的主要特点是贴近生活，体会概率在生活中的重要作用，同时随机试验多，学习时养成勤学严谨的思维习惯。

通过学习，让学生体会生活和学习中与几何概型有关的实例，增强学生解决实际问题的能力；同时，适当地增加学生合作学习交流的机会，培养学生的合作能力.二、重点、难点1. 教学重点：体会几何概型的意义，几何概型的概念和公式的应用，注意理解几何概型与古典概型的区别与联系2.教学难点：在几何概型中把试验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，并且从中理解如何利用几何概型的知识把实际问题转化为各种几何概率问题，进而熟练应用几何概型的概率公式计算相关事件发生的概率。

三、教学设计情境引入设计意图问题１:若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},则从A中任取出一个数,这个数不大于3的概率是多少？变式1：若A=(0,9],则从A中任意取出一个数,则这个数不大于3的概率是多少？问题2:2008年奥运会期间，某厂商为推销其生产的福娃产品，特举办了一次有奖活动:顾客随意掷两颗骰子，如果点数之和大于10，可获得一套福娃玩具。

高中数学-几何概型知识点

（1）几何概型：几何概型知识点一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P(A)=_________（一般地，线段的测度为该线段的长度；平面多边形的测度为该图形的面积；立体图像的测度为其体积）（2）几何概型的基本特点：① ____________ ② _______________例题精选例1. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求<AM AC 的概率？【分析】点M 随机的落在线段AB 上，故线段AB 为区域D ，当点M 位于如图的AC '内时<AM AC ，故线段 AC '即为区域d解: 在AB 上截取'=AC AC ，于是P AM AC P AM AC AC AB AC AB <=<===''()22)(【变式训练】如图，在等腰直角三角形ABC 中，在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求<AM AC 的概率？解：在∠ACB 内的射线是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的，在AB 上截取'=AC AC ，则ACC '67.5∠=︒ ，故满足条件的概率为=67.5900.75例2. 如图，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）Ａ．-π24 Ｂ．-π44Ｃ．-π22Ｄ．-π42【解析】设正方形的边长为2，则1片阴影部分的面积为⎝⎭⎪--⋅⨯=-⎛⎫ππ42111211222，所以阴影部分的面积⎝⎭⎪=-=-⎛⎫ππS A 24124，=-πP A 22)(，故选C.课堂练习与作业1．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2，3]，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是( ). A ．B ．C ．D ．2．在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π ，－上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ). A ．31B ．π2C ．21D ．323．若在圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( ).A ．21B ．31C ．41D ．1614．如图，在边长为 3 的正方形内有区域 A （阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域 A 的面积．若每次在正方形内随机产生 10000 个点，并记录落在区域 A 内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域 A 内点的个数的平均值为 6600 个，则区域 A 的面积约为 ( ) A. 5B. 6C. 7D. 85. 如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f (x )={x +1,x ≥0−12x +1,x <0 的图象上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ( )A. 16 B. 14C. 38D. 126. 如图，在半径为 2R ，弧长为 4π3R 的扇形 OAB 中，以 OA 为直径作一个半圆．若在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( )51525354A. 38B. 58C. 34D. 787.某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 ( )A. 13B. 12C. 23D. 348．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中随机取点，则点落在四棱锥O －ABCD (O 为正方体体对角线的交点)内的概率是( ).A ．61B ．31C ．21D ．329.在棱长为 2 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 内随机取一点 P ，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ( )A. π12B. 1−π12C. π6D. 1−π610. 在区间 [−2,1] 上随机取一个实数 x ，则 x 使不等式 ∣x −1∣≤1 成立的概率为．11．已知函数f (x )＝log 2x ， x ∈，在区间上任取一点x 0，使f (x 0)≥0的概率为．参考答案1．解析：区域Ω为[-2，3]，子区域A 为(1，3]，而两个区间的长度分别为5，2．选B2．解析：在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π－，上随机取一个数x ，即x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π－，时，要使的值介于0到之间，需使－≤x ≤－或≤x ≤，两区间长度之和为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为＝．故选A.3．解析：所求概率为＝．故选D4.B 【解析】设区域 A 的面积约为 S ，根据题意有 660010000=S3×3，所以，S =5 94，所以区域 A 的面积约为 6．⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，cos x 212π3π3π2π3πcos x 21π3π31224π1π⨯⨯ 1615. B 【解析】易知点 C 的坐标为 (1,2)，点 D 的坐标为 (−2,2)，所以矩形 ABCD 的面积为 6，阴影部分的面积为 32，故所求概率为 14．6.B 【解析】阴影部分的面积为 S 1=12×4π 3×2R −12R 2=5π6R 2，扇形 OAB 的面积为S 2=4π3R 2，所以在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率 P =S S==58．7. B 【解析】解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过 10 分钟，故所求概率为10 1040=12．解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过 10 分钟，7：50~8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过 10 分钟，故等车时间不超过 10 分钟的概率为 1−2040=12．8．解析：所求概率即为四棱锥O －ABCD 与正方体的体积之比．选A9.B 【解析】点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心，以 1 为半径的半球的外部．记点 P 到点 O 的距离大于 1 为事件 A ，则 P (A )=2 − ××12=1−π12．10.【解析】因为 ∣x −1∣≤1⇔−1≤x −1≤1⇔0≤x ≤2，所以在区间 [−2,1] 上使不等式 ∣x −1∣≤1 成立的 x 的范围为 x [0,1]，故所求概率 P =1−01−(−2)=13．11．解析：因为f (x )≥0，即log 2 x 0≥0，得x 0≥1，故使f (x )≥0的x 0的区域为[1，2]．答案：．32。

高一下学期数学人教A版必修33.3.1几何概型课件

几何概型
复习回顾
一只口袋内装有大小相同的10个球，其中7个白球， 3个红球，从中摸出一个球,摸出的球是红球算中奖，问中奖的的概率是多少？
这是什么概型问题？它是如何定义的?
定义：（1）实验中所有可能出现的基本事件
只有有限个; （2）每个基本事件出现的可能性相等. 我们将具有以上两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
例2：取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？
解：记“剪得两段绳长都不小于1m”为事件A.
把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A产生.由于中间一段的长度等于1m.
P(
A)
中间一段绳长总绳长
1 3
变式训练2
取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长之差不小于1m的概率有多大？
讲授新课
几何概型的定义
• 如果每个事件产生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下: • 几何概型的特点:
((12P))(实每A)验个中基全所本部构有事结成可件果事能出所件出现构A的现的成区的可的域结能区长果性域度相(长基（等度本面.（事积面件或积)体有或积无体）限积多）个.
课下作业
P142 习题3.3 A组第3题 B组第1题
思考题
甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率.
分析：本实验的所有基本事件所构成区域在哪？事件A包含的基本事件所构成区域在哪？
解：设事件A={等待的时间不多于10分钟} 事件A产生的区域为时间段[50，60]

高一数学必修3课件 3.3几何概型(1)

例3、如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点，作射线 OC，则∠AOC和∠BOC都不小于 1/3 30°的概率为。
A
30°
C P Q C B
O 变式1、如图所示，在等腰直角 △OAB中，在斜边AB上任取一点 C，连结OC，则线段AC<AO的概率为。 A
45°
30°
C
O B
2 2
三、例题分析例1、某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时（整点报时），求他等待的时间不多于10分钟的概率。
(1) 阅读题目，搜索信息，判断是否是解：设 A={等待的时间不多于 10分钟 }，几何概型 (2)求构成事件 A的区域长度和则事件 A恰好是打开收音机的时刻位于 [50，60]时
A
30°
C P Q C B
O 分析：记A={∠AOC和∠BOC都不小于30°}。把∠AOB三等分。于是，当OC处在∠POQ的内部时，事件A发生。由于∠POQ等于∠AOB的1/3，于是事件A发生的概率为：P(A)=1/3。故答案为： 1/3 【题结】这是一道角度型的几何概型问题。样本空间就是扇形圆心角。
1 2
1 2
3 8
分别求这2种情况下甲获胜的概率.
只要红色区域的面积所占比例不变，不管这些区域是相邻还是不相邻，也不管这些区域的面积是大还是小，甲获胜的概率是不变的!
问题2 如图所示，在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机的取出100ml的水样放到显微镜下观察，那么，能够发现草履虫的概率是多大？
间段内，因此由几何概型的求概率公式得：试验的全部结果所构成的区域总长度
构成A的时间长度 (3)用公式直接计算，并下结论 10 1 P ( A) = = 时间总长度 60 6

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思考4：在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎样计算的？
思考5：一般地，在几何概型中事件A发生的概率有何计算公式？
P（A）
构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
思考6：向边长为1的正方形内随机抛掷一粒芝麻，那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中心的概率分别是多少?由此能说明什么问题？
B
N
N
B
B
N
BB
N N
B
与扇形的弧长(或面积)有关,与扇形区域所在的位置无关.
思考4：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概型. 参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？
(1)可能出现的结果有无限多个；
(2)每个结果发生的可能性相等.
思考2：下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少？
B
N
N
B
B
N
BB
N N
B
思考3：上述每个扇形区域对应的圆弧的长度(或扇形的面积)和它所在位置都是可以变化的,从结论来看,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？
3.3 几何概型 3.3.1 几何概型
一、问题提出： 1.计算随机事件发生的概率，我们已经学习了哪些方法? (1)通过做试验或计算机模拟，用频率估计概率；
(2)利用古典概型的概率公式计算.
2.古典概型有哪两个基本特点？ (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)；
(2)每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.
x
P( A)
602 402 602
5 9
四、练习:P140 练习: 1，2. 五、小结：
1.几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，其概率计算原理通俗、简单，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积.
2.如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型.通过适当设置，将随机事件转化为几何问题，即可利用几何概型的概率公式求事件发生的概率. 六、作业：P142 习题3.3A组:1.
思考5:某班公交车到终点站的时间等可能是11:30 ～12：00之间的任何一个时刻，那么“公交车在11： 40～11：50到终点站”这个随机事件是几何概型吗？若是，怎样理解其几何意义？
知识探究（二）：几何概型的概率
对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，我们希望建立一个求几何概型的概率公式.
思考1：有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少？你是怎样计算的？
思考2：在玩转盘游戏中，对于下列两个转盘，甲获胜的概率分别是多少？你是怎样计算的？
B
N
B
பைடு நூலகம்
N BN
B
N
B
N BN
思考3：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从
外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？
3.在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率.对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题.
二、知识探究（一）：几何概型的概念
思考1:某班公交车到终点站的时间可能是11:30 ～ 12:00之间的任何一个时刻;往一个方格中投一粒芝麻,芝麻可能落在方格中的任何一点上.这两个试验可能出现的结果是有限个,还是无限个?若没有人为因素,每个试验结果出现的可能性是否相等？
概率为0的事件可能会发生，概率为1的事件不一定会发生.
三、理论迁移：
例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.
例2 甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面，先
到者等候另一人20分钟，过时离去，求甲乙两人
能会面的概率.
y
60
20
O 20
60