第6章离散时间信号与系统的z域分析

6.4.2 LTI离散时间系统零状态响应的 zT分析法 p188
若已知LTI离散时间系统的单位冲激序列响应
h[n]和输入信号f[n] 。计算
h[n]H(z)，| z|:(ah，bh) f[n]F(z)，| z|:(af，bf ) y[z]F(z)H(z)，| z|:公共部分
则：yf [n]Z1[Y(z)，]| z|:公共部分 当因果信号通过散 因LT果系 I 离统时， 由于公共收敛域在 一， 定因 存此可 不再讨再讨论收敛
区外极点是反因果分量 的贡献。
收敛边界a
pk
，b
max
pk'
。
min
j Im[ z ]
0a
b
Re[ z ]
图6-1 （a）
2、因果序列的ZT的收敛域是Z平面上某园的
园外部分 z:(a，) ，全部极点为区内极点 pk
，收敛边界 a pk max
如图6-1（b）所示。
j Im[ z ]
0a
Re[ z ]
若f： [n]F(z),z:(a，)
则n： [fn]zF/(z),z:(a，)
证明：
F ( z ) f [ k ] z k , | z |: ( a . ) k0
上式两端对 z求导，得：
F ' ( z ) f [ n ]( n ) z n 1 n0
z 1 nf [ n ] z n n0
M
bM (z i )
则
H(z)
i1 N
(z pj )
j1
j Im[z]
1
0
1
Re[ z]
图6-5 H(z)极点分布与h[k]的关系
2.离散时间系统的因果性 3.因果LTI离散时间系统的稳定性p196
设因果LTI离散时间系统，系统函数H(z)有极点
p k,(k 1 、 2 、 、 N )
当
1 线性特性p172
若 f1[n]F1(z), z :(a1，b1)
f2[n]F2(z), z :(a2，b2)
则 c1 f1[n]c2 f2[n]c1F1(z)c2F2(z), z :公共部分
其中，c c 为常数 12
2 双边ZT的移位特性p173
若 f[n]F(z),z:(a，b) 则 f[nm]zmF(z),z:(a，b)
第6章lti离散时间信号与系统的z域分析61双边z变换62反z变换63单边z变换64lti离散时间系统的z域分析65离散时间信号的傅里叶变换66离散时间系统的频率响应61双边z变换611双边z变换的定义p168定义反变换正变换612z变换的收敛域p170使离散序列fn的ztfz存在的z的范围称为fz的收敛域
正变 Zf换 [n]f[n]znF(z),z:(a，b )
n
反
变 Z1换 F(z)21 j
F(z)zn1dZf[n],z:(a，b )
c
例1.
nu[n] nu[n]z n n
n z n n0
当z 1
1时
1
1
z
1
即 nu[n] z , z z
例2.单位冲激序列
[n] [n]zn 1 n
左移位： f[n1]u[n] zF (z)z[f0],z:(a， ) f[n2]u[n] z2F(z)z2f[0]z[f1],z:(a， )
证明1：f [ n 1]u [ n ] f [ n 1]z n n0
令 m n 1 f [ m ] z ( m 1) m 1
令m n
z f [ n ] z n n 1
3 系统函数的求解方法小结
（1）若已知激励和零状态响应的z变换，根据定义
H(z)Y(z) 求解。
F(z)
（2）若已知系统的单位样值响应h[n]，则
h[n] H (z) 。
（3）若已知系统的差分方程，则对差分方程两边取z 变换，并考虑当n<0时，h(n)和y(n)均为零，从而求得
h(n)。
（4）若已知系统的模拟框图，则根据其输入激励与输 出响应的关系，利用z变换求解。
6.4.3 用单边ZT解差分方程p189 对差分方程取单边ZT，自动引入初始条件， 化差分方程为代数方程。 解该代数方程得响应的ZT Y(z) 。 取反ZT得响应y[n]。
6.4.4 LTI离散时间系统的模拟p192
1 LTI离散时间系统模拟所用的基本部 件p192
离散系统模拟所用基本器件为：
即： nF ' ( z ) nf [ n ]z n , z : ( a ， ) n0
所以 nf [ n ] zF ' ( z ) z : ( a , )
[证毕 ]
2、单边ZT的移位特性p183
若： f[n]F(z),z:(a，) 即： f[n]u[n]F(z),z:(a，) 则右移位： f[n1]u[n]z1F(z)f[1],z:(a，) f[n2]u[n]z2F(z)z1f(1)f[2],z:(a，)
(m为整)数
5.时域反转特性p176
若 f[n]F(z),z :(a，b) 则： f[n]F(1),z :(1，1) z ab
3 序列指数加权（Z域尺度变换）特性 p174
若
f[n]F(z),z:(a，b) 则z： 0nf[n]F(zz0),z:(a|z0|，b|z0|) 推论 (1)n： f[n]F(z),z:(a，b)
即[n]1, z :(0，)
6.1.2 z变换的收敛域 p170
使离散序列f[n]的ZT F(z)存在的z的范围，称为
F(z)的收敛域。通常用z平面上的阴影表示。
1.双边zT的收敛域是z平面上某个环， 如图6-（ 1 a)所示，z : (a，b )。
既有区内极点pk，也有区外极点pk' ， 区内极点是因果分量的 贡献，
pk
m
1时，系统稳定。否则系统不稳定，其中，
ax
若系统函数除单位园上有一阶极点外，其余极点均位
于单位园内，称系统为临界稳定系统，临界稳定系统 肯定也是不稳定系统。
f 1 [n]
y[m]
f [n]
=f1[n]+f2[n]
a
y[n]
f [n]
=af[n],a为常数
D
y[n]
=f[n-1]
f 2[n]
（a） 加法器
（b） 数乘器
（c）单位 延时器
图6-2 离散系统模拟的基本器件
2．离散系统的模拟
若一阶系统的差分方程为：
y [ n ] a 1 y [ n 1 ] f[ n ]
证明：
z0n f [n] z0n f [n]zn f [n](z01z)n
n
n
已知：a z b时， f [n]zn F(z)n则当：a z01z
b时， f [n](z01z)n
n
z F( )
z0
即：
z0n
f
[n]
F( z z0
),
z
: (a |
z0
|，b
|
z0
|)
4 时域卷和特性p175 若 f1[n]F1(z),z :(a1，b1)
k
n
当 z
:
(
a
，b
2
2)
f1[k ]F2 ( z) z k
k
f1[
k
]
z
k
F2
(
z
)
k
当 z : (a1，b 1 )F1 ( z ) F2 ( z )
即 f1[n] f 2[n] F1 ( z ) F2 ( z ), z : 公共部分 [证毕 ]
6.2反z变换p178 6.3单边ZTp180
则有：
1
F(z)
1
z
y(z)
-a 图6-3 系统模拟图
6.4.5 LTI离散时间系统的零极图. 因果性及稳定性
1 LTI离散时间系统的零极图分析p194
线性移位不变离散系统：
H(z)N(z) D(z)
零点 ， limH(z)0，即 N(z)0的根 z
极点 p， limH(z)，即 D(z)0的根 zp
f2[n]F2(z),z :(a2，b2) 则： f1[n]f2[n]F1(z)F2(z),z :公共部
证明： f1[n] f 2[n] f1[n] f 2[n]z n n
f1[k ] f 2 [n k ] z n
n k
交换求和次序
f1[k ]
f
2
[
n
k
]
z
k
6.3.1 单边ZT的定义p180
f[n]F(z), z :(a，) 正变换：
Zf[n]f[n]zn F(z),z:(a，) n0
反变换：
Z1F(z) 1 F(z)zn1dz f[n], z :(a，)
2j c
6.3.2 单边ZT的性质 p181
除具双边ZT的全部性质外，还具有如下性质： 1、序列乘线性加权（Z域微分）特性p181
第6章 LTI 离散时间信号与系统的z域分析
6.1 双边z变换(zT) 6.2 反z变换 6.3 单边zT 6.4 LTI离散时间系统的z域(zT)分析 *6.5离散时间信号的傅里叶变换 *6.6离散时间系统的频率响应
6.1 双边z变换(zT) p168
6.1.1 双边zT的定义 p168
定义 f[n]F(z),z:(a，b)
f [n] F(z), z :(a， )
当(z 1)F(z)的收敛域含单位园时
(即a 0)：
f [] lim f [n] lim(z 1)F(z)
n
z1
6.4 LTI离散时间系统的Z域(zT)分 析 p185
6.4.1 LTI离散时间系统的系统函数 H(z) p185
1.H(z)的定义(见后后页)
例如某离散系统的系统函数为：
H(z)(z1)2z(2z 2 2z3z1)3
2
4
则该系统函数的零、极点图如图所示。
jIm[z]
2 1
(2)
0 0.5 1
Re[z]
图6-4 的零、极点分布图
系统函数的零、极点分布图与时域 特性的关系
若系统函数H(z)有零点 i ，极点 j
( i 1 、 2 、 、 M ， j 1 、 2 、 、 N )
[证毕 ]
*3、初值定理
f [n] F(z), Z : (a， )
设F(z)分子、分母的阶分别为 M、N， 当N M时，f [0] limF(z)
z
证明：
F(z) f [n]zn f [0] f [1]z1 f [2]z2 n0
所以 limF(z) f [0] z
证毕
*4、终值定理
图6-1 （b）
3、反因果序列的ZT的收敛域是z平面上某园
的园内部分，全部极点
p
/ k
均为区外极点，
收敛边界 b pk' min 。
如图6-1（c）所示。
j Im[ z ]
0
b
Re[ z ]
图6-2 （c）
4、有限长序列的ZT的收敛域是全Z平面
z :(0.)
6.1.3 双边z变换的性质 p172
2.LTI离散时间系统的系H统(Z数 ) 与单位冲激序列h响 [n]的 应关系
h[n] H(Z)
6.4.1系统函数p185
1.定义:若LTI离散系统输入信号为f[n]时， 输出信号为yf[n]， 定义系统的系统函数：
H (z ) Z Z y ff[ [ n n ] ] Y F f( ( z z ) ),z:(a h ， h )b
z
f [n]zn
f
[
0
]
n0
zF ( z ) zf [0 ]
证明2： f [n 1]u[n ] f [n 1]z n
n0
m n 1
f [m ]z (m1)
m 1
mn
z 1 f [n ]z n n1
z
1
f [n]zn
f
[
1]z
n0
z 1F ( z ) f [1]