考点05 半角模型2021学年八年级数学上册期末考点专项复习之全等三角形辅助线解题方法(人教版)

考点5：半角模型
1．（2020·南京师范大学盐城实验学校月考）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM= 1，CN=3，求MN的长．
2．（2020·盐城市盐都区实验初中月考）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD=CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF；
（2）如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
3．（2020·全国专题练习）如图，已知：正方形ABCD，点E，F分别是BC，DC上
的点，连接AE ，AF ，EF ，且45EAF ∠=︒，求证：BE DF EF +=．
4．（2020·山东济南·期末）如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF ＝45°，连接EF ，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中∠ADF 与∠ABG 可以看作绕点A 旋转90°的关系．这可以证明结论“EF ＝BE ＋DF ”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．
（1）延长CB 到点G ，使BG ＝ ，连接AG ； （2）证明：EF ＝BE ＋DF
5．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，将ADF 绕点A 顺时针旋转90︒ 后，得到ABM ，连接EM ，AE ，且使得45∠=︒MAE ．
（1）求证：=ME EF ；（2）求证：222EF BE DF =+.
6．如图所示，在ABC ∆中，30A B ∠=∠=︒，60MCN ∠=︒，MCN ∠的两边交AB 边于E ，F 两点，将MCN ∠绕C 点旋转
（1）画出BCF ∆绕点C 顺时针旋转120︒后的ACK ∆； （2）在（1）中，若222AE EF BF +=，求证：2BF CF =
；
（3）在（2）的条件下，若31AC =+，直接写出EF 的长.
7．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF=45°.将∠DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到
∠DCM.
（1）求证：EF=FM
（2）当AE=1时，求EF 的长．
8．（2019·全国初二专题练习）如图：E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、DA 上一点，且CE+AF=EF ，请你用旋转的方法求∠EBF 的大小．
9．（2020·陕西期末）如图，AB AD BC DC ===，90C D ABE BAD ∠=∠=∠=∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，过点A 作GAB FAD ∠=∠，且点G 在
CB 的延长线上．
（1）GAB ∆与FAD ∆全等吗？为什么？ （2）若2DF =，3BE =，求EF 的长．
10．（2020·重庆北碚·初三其他）已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，． 当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=．
（1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段,BM DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段,BM DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
参考答案1．解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，
截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°．
∵CE⊥BC，
∴∠ACE＝∠B＝45°．
在△ABM和△ACE中
AB AC
B ACE BM CE
⎧
∠
⎪
∠
⎪
⎨
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．
∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠BAM＋∠CAN＝45°．
于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN ＝45°．
在△MAN和△EAN中
AM AE
MAN EAN AN AN
⎪
∠
⎪
⎩
∠
⎧
⎨
＝
＝
＝
，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2＋NC2．
∴MN2＝BM2＋NC2．
∵BM＝1，CN＝3，
∴MN2＝12＋32，
∴MN
．
2．【详解】
（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，
∴∠DBE=∠DCF=90°．
在△BDE和△CDF中，
∵
,
,
,
BED CFD
DBE DCF
BD CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴DE=DF．
（2）过点D作∠CDG=∠BDE，交AN于点G．在△BDE和△CDG中，
∵ ,,
,EBD GCD BD CD BDE CDG ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴ △BDE ≌△CDG （ASA ） ∴DE =DG ，BE =CG ． ∵∠BDC =120°，∠EDF =60°， ∴ ∠BDE+∠CDF =60°． ∴ ∠FDG =∠CDG +∠CDF =60°．
∴ ∠EDF =∠GDF ． 在△EDF 和△GDF 中，
,
,,DE DG EDF GDF DF DF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △EDF ≌△GDF （SAS ）． ∴ EF =FG ．
∴ EF =FC +CG =FC +BE ．
3．【详解】
如解图，将ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG 的位置，使AB 与AD 重合．
∠AG AE =，,DAG BAE DG BE ∠=∠=． ∠45EAF ∠=︒．
∠904545GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒， ∠EAF GAF ∠=∠． 在AGF 和AEF 中，
,AG AE
GAF EAF AF AF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∠()AGF AEF SAS △≌△．
∠EF GF =．
∠GF DG DF BE DF =+=+， ∠BE DF EF +=．
4．解：（1）根据旋转的性质知BG=DF ，从而得到辅助线的做法：延长CB 到点G ，使BG=DF ，连接AG ；
（2）∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB=AD ，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°， 在∠ADF 和∠ABG 中
AD AB ADF ABG DF BG =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴∠ADF ∠∠ABG （SAS ）， ∴AF=AG ，∠DAF=∠GAB ， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠EAB=45°， ∴∠GAB+∠EAB=45°， ∴∠GAE=∠EAF =45°， 在∠AGE 和∠AFE 中0
AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴∠ADF ∠∠ABG （SAS ）， ∴GE=EF ，
∴EF ＝GE=BE+GB=BE ＋DF 5．【详解】
证明：（1）∵将ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到ABM ，
∴MB DF ＝，AM AF ＝，∠∠BAM DAF ＝， MA AF ∴⊥， 45∠︒MAE ＝， 45∴∠︒EAF ＝，
∴∠∠MAE FAE ＝，
在△AME 和AFE △中
AM AF MAE FAE AE AE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()AME AFE SAS ∴≅，
∴=ME EF ；
（2）由（1）得：=ME EF ， 在Rt MBE 中，222+MB BE ME =， 又∵MB DF =，
222∴+EF BE DF =．
（1）作图如图所示
（2）证明：连结KE ，作KH ⊥AC 于H ，如图，
∵∠A=∠B=30°，∠MCN=60°， ∴∠ACB=120°， ∴∠ACE+∠BCF=60°，
∵△BCF 绕点C 顺时针旋转120゜后的△ACK ，
∴BF=AK ，∠KCA=∠FCB ，CK=CF ，∠KAC=∠B=30°， ∴∠KCE=∠KCA+∠ACE=∠FCB+∠ACE=60°， ∴∠KCE=∠FCE ， 在△CKE 和△CFE 中
CK CF KCE FCE CE CE ⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△CKE ≌△CFE ，
∵AE2+EF2=BF2，
∴AE2+KE2=AK2，
∴△AEK为直角三角形，
∴∠AEK=90°，
∴∠KEC=∠FEC=45°，
∴∠BCF=180°-45°-60°-30°=45°，
∴∠KCA=45°，
设KH=a，在Rt△KHC中，a；在Rt△KHA中，AK=2a，
∴AK：KC=2a，
∴BF：，
即CF；
（3）设KH=a，在Rt△KHC中，HC=a；在Rt△KHA中，a，
∴，解得a=1，
∴AK=2a=2，
在Rt△AEK中，∠KAE=∠KAC+∠CAE=60°，
∴∠AKE=30°，
∴AE=1
2
AK=1，
∴
∴ 7．【详解】
(1)∠∠DAE 逆时针旋转90°得到∠DCM ∠DE=DM ∠EDM=90° ∠∠EDF + ∠FDM=90° ∠∠EDF=45°
∠∠FDM =∠EDM=45° ∠ DF= DF ∠∠DEF∠∠DMF ∠ EF=MF …
（2） 设EF=x ∠AE=CM=1 ∠ BF=BM -MF=BM -EF=4-x ∠ EB=2
在Rt∠EBF 中，由勾股定理得222EB BF EF += 即2
2
2
2(4)x x +-=
解之，得 5
2
x =
8．解：将∠BCE 以B 为旋转中心，逆时针旋转90º，使BC 落在BA 边上，得∠BAM ，则∠MBE=90º，AM=CE,BM=BE,因为CE ＋AF ＝EF ，所以MF ＝EF ，又BF=BF,所以∠FBM∠∠FBE,所以∠MBF=∠EBF, 所以∠EBF=
9．【详解】 解：（1）∵90D ABE ∠=∠=︒，点G 在CB
的延长线上， ∴∠ABG =∠D =90°， 在△GAB 和△F AD 中，
∵GAB FAD ∠=∠，AB =AD ，∠ABG =∠D ， ∴△GAB ≌△F AD （ASA ）； （2）∵△GAB ≌△F AD ， ∴AG =AF ，GB =DF ，
∵90BAD ∠=︒，45EAF ∠=︒， ∴∠BAE +∠DAF =45°，
∴∠BAE +∠GAB =45°，即∠GAE =45°， ∴∠GAE =∠EAF ， 在△GAE 和△F AE 中，
∵AG =AF ，∠GAE =∠EAF ，AE =AE ， ∴△GAE ≌△F AE （SAS ）， ∴GE =EF ，
∵GE =GB +BE =DF +BE =2+3=5， ∴EF =5．
10．【详解】
（1）BM+DN=MN 成立．
证明：如图，把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ，则可证得E 、B 、M 三点共线．
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°， 又∵∠NAM=45°， ∴在△AEM 与△ANM 中，
AE AN
EAM NAM AM AM ⎪
∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝ ∴△AEM ≌△ANM （SAS ）， ∴ME=MN ，
∵ME=BE+BM=DN+BM ， ∴DN+BM=MN ； （2）DN -BM=MN ．
在线段DN 上截取DQ=BM ，如图，
在△ADQ 与△ABM 中，
∵AD AB ADQ ABM DQ BM ⎪
∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝， ∴△ADQ ≌△ABM （SAS ）， ∴∠DAQ=∠BAM ， ∴∠QAN=∠MAN ． 在△AMN 和△AQN 中，
AQ AM QAN MAN AN AN ⎪
∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝ ∴△AMN ≌△AQN （SAS ）， ∴MN=QN ， ∴DN -BM=MN ．。